On a class of predator-prey models of Gause type with Allee effect and a square-root functional response

Abstract

A predator-prey model of Gause type is an extension of the classical Lotka-Volterra predator-prey model. In this work, we study a predator-prey model of Gause type, where the prey growth rate is subject to an Allee effect and the action of the predator over the prey is given by a square-root functional response, which is non-differentiable at the y-axis. This kind of functional response appropriately models systems in which the prey have a strong herd structure, as the predators mostly interact with the prey on the boundary of the herd. Because of the square root term in the functional response, studying the behavior of the solutions near the origin is more subtle and interesting than other standard models.Our study is divided into two parts: the local classification of the equilibrium points, and the behavior of the solutions in certain invariant set when the model has a strong Allee effect. In one our main results we prove, for a wide choice of parameters, that the solutions in certain invariant set approach to the y-axis. Moreover, for a certain choice of parameters, we show the existence of a separatrix curve dividing the invariant set in two regions, where in one region any solution approaches the y-axis and in the other there is a globally asymptotically stable equilibrium point. We also give conditions on the parameters to ensure the existence of a center-type equilibrium, and show the existence of a Hopf bifurcation.

Un modelo depredador-presa de tipo Gause es una extensión del clásico modelo depredador-presa de Lotka-Volterra. En este trabajo estudiamos un modelo depredador-presa de tipo Gause, donde el crecimiento de las presas es sujeto a un efecto Allee y la acción del depredador sobre la presa es dada por una funcional de respuesta de raíz cuadrada, la cual no es diferenciable en el eje y. Este tipo de respuesta funcional modela apropiadamente sistemas en los cuales la presa posee un fuerte comportamiento de rebaño, pues los depredadores interactúan con las presas mayormente en la frontera del rebaño. Debido al término de raíz cuadrada en la respuesta funcional, el estudio del comportamiento de las soluciones cerca al origen es más sutil e interesante que en otros modelos.Nuestro estudio es dividido en dos partes: la clasificación local de los puntos de equilibrio, y el comportamiento de las soluciones en cierto conjunto invariante cuando el modelo tiene un efecto Allee fuerte. En uno de nuestros resultados principales probamos, para una amplia selección de parámetros, que las soluciones en cierto conjunto invariante se aproximan al eje y. Además, para cierta elección de parámetros, probamos la existencia de una curva separatriz que divide el conjunto invariante en dos regiones: una donde toda solución se aproxima al eje y, y otra donde hay un punto de equilibrio global y asintóticamente estable. También damos condiciones para asegurar la existencia de un equilibrio de tipo centro, y mostramos la existencia de una bifurcación de Hopf.