Sistemas periódicos: perturbación y aplicaciones

Abstract

La teoría de Floquet estudia las soluciones de una ecuación diferencial no autónoma del tipo x ′ = A(t)x, donde A(t) es una función matricial continua, de periodo T > 0 (T−periódica) y mediante un cambio de variable conveniente transforma la ecuación original en un sistema lineal[9, 3]; de este modo se reduce la dificultad del problema y es posible obtener alguna información sobre la estabilidad de las soluciones por medio del teorema de Hartman–Grobman, según el cual el comportamiento cualitativo de la ecuación diferencial y la de su parte lineal son localmente equivalentes cuando en la matriz jacobiana, todos sus autovalores tienen la parte real distinta de cero. Pero ¿qué sucede cuando algún autovalor es imaginario puro, cómo en el sistema diferencial x ′ = −y, y′ = x, donde sus soluciones llenan el plano con circunferencias concéntricas, centradas en el origen? Por ejemplo, la expansión de una aplicación de Poincaré para una perturbación sin parte lineal de x ′ = −y, y′ = x permite ver que el origen o bien es un foco débil o continua siendo un centro. Sin embargo, nos gustaría saber si después de una perturbación particular de x ′ = −y, y′ = x es posible encontrar una ´orbita periódica aislada (ciclo límite). En otras palabras, se estudiará la bifurcación de un centro para entender si el comportamiento de las soluciones cambian drásticamente con respecto a las soluciones del sistema sin perturbar y acotar el número de ciclos límites, pequeños que aparecen en la perturbación. En este trabajo se usa la teoría del promedio (Averaging Theory), clásica y la más reciente variante que usa el grado de Brouwer. La teoría del promedio vía el grado de Brouwer, [1] relaciona el número de soluciones T−periódicas de un sistema diferencial, cuyo campo de vectores depende de un parámetro pequeño ǫ > 0, y el número de ceros de una función a la que se denomina función promedio o función de bifurcación. De este modo, el problema de acotar las soluciones T−periódicas se reduce a estudiar los ceros de alguna función entre espacios euclidianos. El presente trabajo está dividido en tres capítulos, en el primero se presentan algunos conceptos preliminares, como por ejemplo el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, los sistemas lineales de dos dimensiones, el mencionado teorema de Hartman–Grobman y el teorema de Poincar´e–Bendixson que brinda una clasificación de muchos conjuntos α−límite y ω−límite, en el plano. El capítulo dos empieza con un resumen de la teoría de Floquet, seguido de la versión clásica de la teoría del promedio que usa conceptos como función orden y los símbolos de Landau: o y O, [12]. Este segundo capítulo incluye una breve introducción del concepto de grado para funciones en espacios de dimensión finita, el cual se usa para probar el teorema del promedio vía el grado de Brouwer [1], y concluye con una aplicación de la teoría del promedio para sistemas autónomos en el plano. El capítulo tres comienza con el teorema de reducción de Lyapunov– Schmidt que permite obtener el clásico teorema del promedio como el corolario de un resultado general y presenta una perturbación de los sistemas que admiten un centro isócrono. Este capítulo termina con algunas aplicaciones como la bifurcación de Hopf (cero) del sistema de Michelson y el número de ´orbitas periódicas para la ecuación diferencial de tercer grado de tipo x ′′′ − µx′′ + x ′ − µx = ǫF(x, x′ , x′′).