Análisis de la monotonicidad de la demanda vía relaciones de preferencia y funciones de utilidad

Abstract

La teoría económica es un ambiente donde las matemáticas brindan muchos aportes para modelizar comportamientos de agentes económicos. En este contexto, la presente tesis enfatiza el despliegue matemático para tratar el problema del consumidor en una economía descrita por bienes de consumo. Estos conforman canastas de consumo que son identi ficados con elementos de un cono convexo de un espacio vectorial apropiado como es el caso estándar de Rn, y por un sistema de precios, los cuales son identi ficados con vectores del cono dual topológico asociado al cono de las canastas de consumo. El problema del consumidor, es un modelo en el que un consumidor elige canastas de bienes (los cuales son accesibles para él considerando su restricción presupuestaria) de tal forma que maximice su satisfacción por el consumo de estas. El problema del consumidor se puede formular desde dos perspectivas distintas, ya sea mediante preferencias o mediante funciones de utilidad que representan la satisfacción del agente. En ambas formulaciones la solución al problema del consumidor es un conjunto de canastas de bienes dando lugar a una aplicación que asigna a cada vector de precios un conjunto de canastas (puede ser vacío, unitario o de varios elementos), a esta aplicación se le denomina correspondencia de demanda. En el presente trabajo se realiza una exposición pormenorizada de la monotonicidad de la correspondencia de demanda, vía preferencias y vía funciones de utilidad, tomando en cuenta condiciones de diferenciabilidad así como de no diferenciabilidad en lo que concierne a las funciones de utilidad. En algunos casos se debilita la clásica condición de concavidad para la función de utilidad. Asimismo, se evidencia el papel que juega la función de utilidad indirecta en el tratamiento de la monotonicidad de la función de demanda.

Economic theory is an environment where mathematics provides many contributions to model the behavior of economic agents. In this context, this thesis emphasizes the mathematical deployment to deal with the problem of the consumer in an economy described by consumer goods. These form bundles of consumption that are identi ed with elements of a convex cone of an appropriate vector space as is the standard case of Rn, and by a price system, which are identi ed with vectors of the topological dual cone associated with the cone of the bundles of consumption. The problem of the consumer, is a model in which a consumer chooses bundles of goods (which are accessible to him considering his budget constraint) in such a way that maximizes his satisfaction for the consumption of these. The consumer problem can be formulated from two di erent perspectives, either through preferences or through utility functions that represent the agent's satisfaction. In both formulations the solution to the problem of the consumer is a set of bundles of goods giving rise to an application that assigns to each price vector a set of bundles (it can be empty, unitary or of several elements), this application is called correspondence of demand. In the present work a detailed exposition is made of the monotonicity of the correspondence of demand, through preferences and through utility functions, taking into account conditions of di erentiability as well as non-di erentiability with respect to utility functions. In some cases the classic concavity condition for the utility function is weakened. Likewise, the role played by the indirect utility function in the treatment of the monotonicity of the demand function is evident.