About the stability between a foliation of degree two and the pencil of conics that defines it

Abstract

En este artículo estudiamos foliaciones de grado dos en el plano proyectivo que acepten integral primera, también, de grado dos. Tales integrales primera definen una familia lineal de cónicas. El criterio de Hilbert-Munford es una poderosa herramienta de la teoría de invariantes geométricos. Una aplicación de esta teoría es la caracterización de la inestabilidad en el espacio de foliaciones de grado dos respecto a la acción por un cambio de coordenadas, y asimismo la caracterización de la estabilidad de las familias lineales de cónicas, ambas dadas por Alcántara. El objeto de este artículo es presentar una prueba alternativa del hecho de que una foliación de grado dos definida por una familia lineal de cónicas es inestable si y solo si la correspondiente familia lineal es inestable.

In this paper, we study foliations on the projective plane of degree two which have a first integral with degree two. Such first integrals define a pencil of conics.The Hilbert-Mumford criterion is a powerful tool of the Geometric Invariant Theory. An application of this theory is the characterizarion of the instability of the space of foliations of degree two, with respect to the action by a change of coordinates, and the characterization of the stability of pencils of conics, given by Alcántara.The aim of the paper is to give another proof of the fact that a foliation of degree two defined by a pencil of conics is unstable if, and only if, the pencil is unstable.