Notes on flat pseudo-Riemannian manifolds

Abstract

En estas notas estudiamos algunos conceptos básicos de geometría afin y su relación con la geometría Riemanniana. Proporcionamos una caracterización para variedades afines que posee una contraparte válida para variedades pseudo-Riemannianas cuya conexión de Levi-Civita es plana.Se prueba que ningún grupo de Lie semisimple conexo puede admitir una conexión afín plana invariante a izquierda. Caracterizamos grupos de Lie pseudo-Riemannianos planos y se demuestra que la unimodularidad del grupo de Lie es condición necesaria y suciente para que la conexión de Levi-Civita asociada a una pseudo-métrica plana invariante a izquierda sobre este resulte geodésicamente completa. Adicionalmente, se describe la forma de cómo obtener métricas hiperbólicas planas invariantes a izquierda sobre el brado cotangente de un grupo de Lie afín plano simplemente conexo. Por ultimo, se exponen algunas propiedades de grupos de Lie dotados de pseudo-métricas bi-invariantes, además exhibimos la construcción de álgebras de Lie ortogonales mediante el uso del método de doble extensión ortogonal.

In these notes we survey basic concepts of affine geometry and their interaction with Riemannian geometry. We give a characterization of affine manifolds which has as counterpart those pseudo-Riemannian manifolds whose Levi-Civita connection is at. We show that no connected semisimple Lie group admits a left invariant flat affine connection. We characterize at pseudo-Riemannian Lie groups. For a at left-invariant pseudo-metric on a Lie group, we show the equivalence between the completeness of the Levi-Civita connection and unimodularity of the group.We emphasize the case of at left invariant hyperbolic metrics on the cotangent bundle of a simply connected at affine Lie group. We also discuss Lie groups with bi-invariant pseudo-metrics and the construction of orthogonal Lie algebras.