Tesis y Trabajos de Investigación PUCP
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Ítem Texto completo enlazado El teorema de Hasse-Minkowsky para formas cuadráticas de cuatro o más variables(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2016-11-14) Castillo García, Alberto Alonso; Poirier Schmitz, Alfredo BernardoEl objetivo principal de este trabajo es concluir la prueba del teorema de Hasse- Minkowsky (de manera específica, los casos n = 4 y n ≥ 5) iniciada en mi tesis de pregrado [2]. Adicionalmente, regresaremos a resultados cuya prueba quedó pendiente en aquella tesis. Es más, como gran parte de las definiciones y resultados que necesitamos se encuentran ahí, haremos múltiples referencias a [2] a lo largo de este trabajo. En el primer capítulo nos ocuparemos del teorema de Chevalley, pero principalmente buscamos cómo relacionar este resultado con el lema de Hensel. Ello nos permitirá obtener un mecanismo para encontrar condiciones bajo las cuales una forma cuadrática representa a cero. La ventaja de semejante desarrollo reside en que solo se necesita trabajar con ecuaciones sobre cuerpos finitos (en este caso Z/pZ), en donde encontrar soluciones resulta menos laborioso que en Qp. En el segundo capítulo definimos el símbolo de Legendre, una herramienta necesaria para la prueba de la bimultiplicidad del símbolo de Hilbert (resultado que quedó pendiente en la tesis de pregrado). Como aplicación del concepto y propiedades del símbolo de Legendre probaremos la ley de reciprocidad cuadrática, la cual es útil por mérito propio. En el tercer capítulo probaremos la bimultiplicidad del símbolo de Hilbert, el primer resultado de relevancia en esta tesis. Lo que en realidad haremos será establecer una fórmula que nos permita hallar el símbolo de Hilbert de cualquier par de números p-´adicos; a partir de ´esta, la bimultiplicidad del símbolo resulta obvia. Cerramos el capítulo con la prueba de una proposición que verá utilidad cuando se ataque el teorema de Hasse-Minkowsky. En el cuarto capítulo exhibiremos algunas propiedades topológicas del cuerpo Qp. La más notable es el teorema de aproximación débil, que será utilizado para tratar el teorema central. En el quinto capítulo trabajaremos con símbolos de Hilbert aplicados al cuerpo global Q. Además, se probará un segundo resultado de relevancia, la fórmula producto de Hilbert. Luego se desarrollarán ejemplos ilustrativos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones con símbolos de Hilbert, lo que dará lugar a un resultado auxiliar que será empleado en la prueba del teorema de Hasse-Minkowsky. El sexto capítulo es básicamente una extensión del capítulo5 de [2]. Nos limitamos a presentar algunos resultados adicionales y a probar una proposición que quedó pendiente en [2]. En el sétimo capítulo concluimos la prueba del teorema de Hasse-Minkowsky para los casos n = 4 y n ≥ 5. El octavo y último capítulo es aplicativo. Utilizaremos el teorema de Hasse- Minkowsky para clasificar formas cuadráticas sobre los racionales.Ítem Texto completo enlazado Raíces p-ádicas de la unidad(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2015-11-23) Mas Huamán, Ronald Jesús; Poirier Schmitz, Alfredo BernardoEl tema de la presente tesis es el estudio de la ecuación x n − 1 = 0 en los números p-ádicos. Para ello la primera tarea es factorizar f(x) = x n − 1 a como de lugar en producto de irreducibles. Llegado a esa instancia, la idea es conseguir una extensión que nos permita descomponer completamente el polinomio f(x) y mostrar el comportamiento algebraico de las raíces. En los p-ádicos, ello se logra una vez introducidos los conceptos de índice de ramificación y grado de clases residuales. Empezamos esta tesis con un repaso de las extensiones ciclotómicas sobre Q en el Capítulo 1. Estas resultan de adjuntar una raíz primitiva de la unidad a ´ Q, generando así una extensión que resulta ser de Galois. Además, dado que los enteros p-ádicos también poseen una buena reducción módulo el primo p de preferencia, es preciso recordar algunas propiedades de los cuerpos finitos. Este repaso nos permitirá realizar un correcto manejo del grado de clases residuales y índice de ramificación, conceptos estrechamente relacionadas con el grado de la extensión. A partir de allí, en el Capítulo 3 concentramos nuestra atención en los números p-ádicos. Nos valdremos de algunos resultados expuestos en la tesis de maestría de Jos´e Condori [2], sobre todo en lo referente a las propiedades elementales de los números p-ádicos. Como caso especial estudiaremos las raíces p-ádicas de la unidad en Qp y también mostraremos las extensiones cuadráticas que se pueden construir. Es bien sabido que hallar una extensión cuadrática equivale a resolver la ecuación x 2 − a = 0 con a ∈ Qp. En el Capítulo 4 completamos el estudio de las propiedades algebraicas de las 1 raíces p-ádicas de la unidad y las separamos en dos subgrupos µ(p)(K) y µ(p∞)(K), los mismos que son las raíces de orden coprimo con p y raíces de orden una potencia de un primo. Por muy simple que parezca, esta agrupación de las raíces nos permitirá una clasificación de ciertas extensiones p-ádicas. Finalmente, es grato resaltar al Doctor Alfredo Poirier por su paciencia en la asesoría brindada para la elaboración de esta tesis.