Tesis y Trabajos de Investigación PUCP
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Ítem Texto completo enlazado La geometría simpléctica en la mecánica clásica(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-03-05) Rosales Ventocilla, Jimmy Leonardo; Castillo Egoavil, Hernan AlfredoEste trabajo se adentra en la exploración de las aplicaciones de la geometría simpléctica en la física en el contexto de la mecánica clásica. La motivación subyacente a esta exploración radica en la comprensión de que la teoría convencional proporcionada por la literatura tradicional resulta insuficiente para analizar todas las complejidades que un sistema físico puede resentar. Por ejemplo, asegurar la existencia de trayectorias periódicas o identificar simetrías en el sistema no puede alcanzarse plenamente con los conocimientos clásicos de la mecánica. Por lo tanto, se hace imperativo incorporar los conceptos de geometría diferencial y sistemas dinámicos en el marco de la mecánica. Para alcanzar este objetivo, comenzaremos por revisar los fundamentos de la mecánica, enfocándonos inicialmente en los formalismos Lagrangiano y Hamiltoniano. A medida que desarrollemos estos conceptos esenciales, observaremos cómo emergen de manera natural los conceptos de variedades diferenciales, formas diferenciales, formas simplécticas y otros elementos relacionados con la geometría diferencial y simpléctica. Adicionalmente, profundizaremos en la teoría de invariantes, donde presentaremos y demostraremos el teorema de Noether en el contexto de la geometría diferencial. Este teorema proporcionará una comprensión más profunda para abordar los sistemas físicos desde una perspectiva geométrica. Finalmente, exploraremos cómo estas influyentes teorías matemáticas, tanto la teoría de invariantes como la geometría simpléctica, nos dotarán de herramientas más sólidas para enfrentar las complejidades de los sistemas físicos analizados en la literatura de la mecánica clásica, permitiéndonos resolverlos de manera más efectiva.Ítem Texto completo enlazado Integración en variedades(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2020-08-26) Agapito Ruiz, Rubén ÁngelDado que el tema de tesis es "Integración en Variedades", iniciamos esta disertación con el estudio del espacio en donde nos moveremos. Para ello, con el fin de ser autocontenido y de establecer notaciones, recordamos en el Capítulo 1 algunas herramientas básicas del Cálculo Diferencial. Adicionalmente, justificamos la existencia de funciones chichón (bump functions, en inglés) sobre Ir. La utilidad de este tipo de funciones aparece en el estudio de particiones de la unidad del Capítulo 2. En este capítulo, introducimos las variedades diferenciables —junto con los conceptos de subvariedad, espacio tangente, haz tangente y campos vectoriales—, espacios topológicos que son el resultado de la abstracción del concepto de superficie en R3. La idea básica de una variedad es la introducción de objetos locales que soporten el proceso de diferenciación, para luego pegarlos compatiblemente. Ello se hace patente en cada concepto nuevo que elaboramos en este capítulo, el cual nos enseña —entre muchas cosas— a cultivar la sana costumbre de preguntarnos si está bien definido cada concepto nuevo que presentamos, es decir, si es independiente del representante local. En el Capítulo 3, desarrollamos el estudio de las formas diferenciales, elementos esenciales para el proceso de integración. Es común en este capítulo discutir primero un concepto nuevo sobre un espacio vectorial, para luego llevarlo a una variedad (vía su espacio tangente en cada punto). Es así como del estudio de las formas exteriores llegamos a las formas diferenciales; lo cual también realizamos sobre los conceptos de orientación y el elemento de volumen. Este último concepto nos lleva al estudio de las métricas Riemannianas, cuya idea intuitiva es la de proveer de un espacio vectorial con producto interno a cada punto de una variedad. Finalizamos el capítulo con la introducción de variedades con frontera, concepto necesario para establecer el Teorema de Stokes. En el Capítulo 4, analizamos la integración de formas diferenciales con soporte compacto sobre una variedad orientable, y la integración de funciones continuas, en donde se requiere adicionalmente que nuestra variedad dada sea Riemanniana. Luego de ello estudiamos el Teorema de Stokes, del cual presentamos dos versiones, una para variedades con frontera suave, por ejemplo, una superficie con frontera difeomorfa a un círculo, y la otra para variedades cuya frontera presente esquinas, por ejemplo, un cuadrado en R2 o un subconjunto abierto de R3 acotado por un poliedro. El último capítulo representa la justificación del título de la tesis, sin embargo, ello nos ha servido de excusa para adentramos a la Geometría Diferencial Moderna, ya que los capítulos anteriores representan un buen punto de partida para estudios más avanzados —en cualquier dirección— de Matemáticas y de Física Teórica.Ítem Texto completo enlazado Estructuras métricas de contacto y polinomios de Brieskorn-Pham(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2016-11-15) Ballón Bordo, Álvaro José; Cuadros Valle, JaimeEsta tesis presenta una visión global y prácticamente autocontenida de los avances que se llevaron a cabo en la décadas de los años 1960 y 1970 con respecto al estudio de las estructuras de contacto en variedades diferenciables. Nuestro objetivo principal sería exhibir explícitamente estructuras métricas de contacto en las denominadas variedades de Brieskorn, que surgen como el conjunto de ceros de los llamados polinomios de Brieskorn-Pham intersecado con la esfera unitaria. Para ello comenzaremos desarrollando a grandes rasgos los conceptos relacionados a la geometría simpléctica, la geometría compleja y las variedades de Kähler. Luego realizaremos un esbozo de prueba del teorema de Boothby-Wang, que constituye una generalización de la fibración de Hopf. A continuación presentaremos la construcción de estructuras métricas de contacto, en particular, las denominadas estructuras de Sasaki. El objetivo de ello es obtener estructuras de Sasaki en las variedades de Brieskorn, las cuales exhibiremos en coordenadas a fin de obtener un procedimiento para construirlas en una variedad de Brieskorn arbitraria. Por último, relacionaremos lo estudiado con la fibración de Boothby-Wang para probar que las estructuras construidas pueden ser proyectadas como hipersuperficies en el espacio proyectivo complejo. Debido a la naturaleza de las nociones presentadas, se espera que el lector tenga un conocimiento elemental de la geometría riemanniana.Ítem Texto completo enlazado Dinámica de las líneas de curvatura(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2016-11-10) Ysique Quesquén, Alan; Rabanal Montoya, RolandSe estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3.