Moduli analítico de curvas analíticas irreductibles planas

Abstract

En la matemática es muy común tratar de clasificar objetos respecto a alguna relaci´on de equivalencia, para realizar dicha clasificación podemos proceder de maneras diferentes, por ejemplo, podemos buscar elementos de una clase de equivalencia que se mantengan inalterados, estos elementos se llamaran invariantes. Sin embargo estos podrían no ser invariantes con otra relaci´on de equivalencia, y por ende no tendríamos ninguna información sobre la equivalencia de dos objetos, entonces podemos abordar el problema de clasificar, obteniendo un método que nos permita encontrar un representante para cada clase de equivalencia, de manera que verificar si dos elementos son equivalentes se resume a encontrar y comparar tales representantes, que son llamados formas normales o formas canónicas. O. Zariski, en un curso dictado en la Ecole Polytechnique [10], en 1973, inspirado por el trabajo ´ de S. Ebey [3], expuso su investigación sobre el problema de la clasificación analítica de curvas planas pertenecientes a una clase de equisingularidad dada. Abramo Hefez y Marcelo E. Hernandes [6], en el 2007 dan fin al problema dado por O. Zariski, ellos mostraron como quebrar la complejidad del espacio Moduli estratificando la clase de equisingularidad dada por medio de un buen invariante numérico que separe las curvas en muchos tipos, tal que la equivalencia analítica en cada estrato sea manejable. En el primer capítulo de esta tesis, se dan las nociones básicas a ser utilizadas a lo largo del texto. Introducimos el concepto de curva algebraica irreducible plana o rama plana y se estudia su parametrización dada por el Teorema de Newton-Puiseux. Luego estudiamos el anillo local de una rama plana, el semigrupo de valores asociado a una curva algebraica plana, y Finalizamos el capítulo con una sección dedicada específicamente a las curvas analíticas. El segundo capítulo contiene los resultados de la teoría de singularidades que utilizaremos. Introduciremos el concepto de germen de aplicaciones, así como las relaciones de equivalencia entre gérmenes, que son A, R, L, C y la K-equivalencia. También presentaremos la relación entre la equivalencia analítica de curvas analíticas planas irreducibles y la K-equivalencia de sus ecuaciones y la A-equivalencia de sus parametrizaciones. La parte central de este capítulo está dedicada al teorema de la transversal completa, cerrando este capítulo aplicando el teorema de la transversal completa presentando las formas normales para las curvas planas analíticas irreducibles con semigrupo ⟨3, v1⟩ y ⟨4, 7⟩. En el último capítulo introducimos el concepto de diferenciales de Kähler, el conjunto de valores de las diferenciales de Kähler que es un invariante bajo la equivalencia analítica de curvas. Dedicando el resto del capítulo a la demostración de la existencia y unicidad de las A-formas normales, comenzando con las formas normales bajo la A1-acci´on, para luego pasar de la A1-equivalencia a la Ae-equivalencia y finalmente aplicar la H-acción, para obtener las A-formas normales.