Matemáticas (Dr.)
URI permanente para esta colecciónhttps://hdl.handle.net/20.500.14657/9040
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Ítem Texto completo enlazado La hipótesis de Riemann como problema de análisis funcional(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-11-05) Sotelo Pejerrey, Alfredo; Alcántara Bode, Julio CesarJ. Alcántara-Bode demuestra en [3] que la Hipótesis de Riemann es verdad si y sólo si el operador integral en L2 (0,1), (Aρf)(o)=So1p(0/x) f(x) dx es inyectivo, dondeρ es la función parte fraccionaria. El operador Aρ es Hilbert-Schmidt, no nuclear y se conoce su determinante de Fredholm. En el presente trabajo de tesis, varias herramientas del análisis funcional son usadas para obtener información adicional no trivial de los operadores Aρ y Aρ (α), donde (Aρ(α)f)(o)= ş10 ρ(αθ/x) f(x)d(x). Usando el teorema de descomposición de Ringrose de Aρ y Aρ(α), brindamos información espectral de sus partes normales y Volterras, así como una estimativa de sus números singulares. Basados en el teorema de Müntz, se demuestran fórmulas que involucran a los operadores Aρ(α) y Aρ(β), aplicamos el lema de Douglas para establecer que h E Ran (Aρ(α)) y Ker (A˚ρ (α))= {0}, para todo 0 < α<1 y h (x)= x. Situado en el contexto de trazas singulares, demostramos que si Aρ pertenece a algún ideal geométricamente estable I de L2 (0,1), entonces τ(Aρ)= 0 para toda τtraza singular no trivial en I. Esto fue posible gracias a los resultados de N. Kalton, A. Albeverio, D. Guido, T. Isola y el hecho que los operadores 1/αAρ(α)- 1/βAρ(β)son Volterra. Finalmente, formulas inductivas son presentadas para calcular las trazas de las potencias de Aρ y Aρ(α), así como la construcción de una familia de isometrías parciales con propiedades muy particulares.Ítem Texto completo enlazado Clasificación de planos torcidos graduados(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-11-05) Bances Hernández, Ricardo Manuel; Valqui Haase, Christian HolgerEn esta tesis se obtiene una clasificación casi completa de todos los productos tensoriales torcidos graduados de K [x ] con K [y ]. Para ello se usa una representación de un producto tensorial torcido graduado de K [x ] con K [y ] en el álgebra L(K N0 ), la cual está inmersa en el conjunto de matrices infinitas con entradas en K .De esta manera el problema de clasificar a los productos tensoriales torcidos graduados de K [x ] con K [y ] se traduce en el problema de clasificar a las matrices infinitas con entradas en K que satisfacen ciertas condiciones. Con este método se logra clasificar a los productos tensoriales graduados de K [x ] con K [y ] en un ejemplo particular y tres casos principales: álgebras cuadráticas, clasificadas porConner yGoetz por métodos diferentes, una familia llamada A(n,d ,a) con la propiedad de n +1 - extensión para cualquier n 2 y un tercer caso no completamente clasificado, para el cual se describen los cálculos iniciales que ilustran cómo se puede alcanzar la clasificación de las posibles aplicaciones de torcimiento con una cantidad creciente de cálculo computacional. Además, en este tercer caso, se obtiene una familia de productos tensoriales torcidos graduados B(a,L) parametrizada por una familia de sucesiones casi-balanceadas. Los miembros de la familia B(a,L) no tienen la propiedad dem- extensión, para ningún m.Ítem Texto completo enlazado Estratificación del espacio de foliaciones holomorfas de grado 4 en el plano proyectivo complejo(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-08-11) Medina García de Correa, Nélida Salomé; Puchuri Medina, LilianaLa clasificación de las foliaciones holomorfas en P2C es un problema parcialmente resuelto. Cano et al describen las de grados 0, 1 en PnC y Cerveau et al las de grado 2 en P2C, con una sola singularidad. Mumford y Fogarty demuestran que restringiendo la acción lineal de un grupo reductivo G a los puntos semiestables de una variedad proyectiva X se obtiene un cociente bueno. El objetivo de este trabajo es estratificar el espacio de foliaciones holomorfas de grado 4 en el plano proyectivo complejo, denotado por F4. Para ello, estudiamos la acción lineal por cambio de coordenadas del grupo de automorfismos de P2C en F4 en el sentido de la Teoría de invariantes geométricos. Aplicando resultados y métodos desarrollados por Hesselink, Kirwan y Alcántara construimos una estratificación de las foliaciones inestables de F4 mediante subvariedades algebraicas no-singulares, irreducibles, localmente cerradas. Caracterizamos la foliación genérica de los estratos con singularidades aisladas según el número de Milnor y multiplicidad de un punto sigular común, primer jet no trivial, existencia de recta invariante, y calculamos la dimensión del estrato. Demostramos que el conjunto de foliaciones inestables de F4 tiene dos componentes irreducibles. Obtenemos foliaciones de F4 con un único punto singular.Ítem Texto completo enlazado Curva polar de una foliación asociada a sus raíces aproximadas(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2018-10-05) Saravia Molina, Nancy Edith; Fernández Sánchez, Percy; García Barroso, EveliaLas foliaciones no dicríticas de segundo tipo fueron caracterizadas por Mattei - Salem [Ma-Sa] en término de su multiplicidad y de su unión de separatrices. En este trabajo de tesis, damos otra caracterización a las foliaciones no dicríticas de segundo tipo con el polígono de Newton de la foliación y el de su unión de separatrices. De otro lado, Loray [Lo] enuncia una caracterización para un tipo de foliaciones con singularidades cuspidales que tienen la misma resolución que su unión de separatrices, sin embargo Fernández, Mozo y Neciosup [F-Mo-N] encuentran una impresición en la caracterización debido a que la condición es necesaria pero no suficiente. Lo que hacemos en este trabajo es caracterizar a dicha familia de foliaciones cuando son de segundo tipo y damos condiciones necesarias y suficientes cuando son de tipo curva generalizada en términos de su orden pesado. Finalmente, generalizamos el resultado de García Barroso y Gwozdziewicz [GB-G1] a foliaciones, esto es, descomponemos la curva polar de una foliación curva generalizada asociada a sus raíces aproximadas. Dicha descomposición viene expresada en función del tipo topológico de la separatriz de la foliación.Ítem Texto completo enlazado Representación y clasificación de productos tensoriales torcidos(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2018-01-25) Arce Flores, Jack Denne; Valqui Haase, Christian Holger; Guccione, Juan JoséEsta tesis estudia la clasificación de los productos tensoriales torcidos de dos álgebras asociativas con unidad A y B, es decir, las estructuras de álgebra que puede adoptar el producto tensorial de espacios vectoriales subyacentes A B, compatibles con las estructuras de A y B. En primer lugar desarrollamos la teoría básica que se encuentra dispersa en varios artículos de investigación y establecemos como primer resultado propio, la dualidad que existe entre las aplicaciones de torcimiento de un producto tensorial torcido y su álgebra opuesta. Este resultado parece haber sido conocido entre los expertos del área sin embargo no se encuentra ninguna prueba en la literatura. Luego estudiamos el caso en que uno de los factores del producto tensorial torcido tiene dimensión finita. Por ejemplo si A tiene dimensión finita, se establece que bajo estas condiciones definir una aplicación de torcimiento de A con B es equivalente a definir un par de representaciones matriciales (p , ph), una de B y otra de Aop. La primera tiene coeficientes en A y la segunda tiene coeficientes en Endk(B). Además, obtenemos una representación matricial el del producto tensorial torcidos en Mn(B). Estas representaciones constituyen el resultado principal propio en el segundo capítulo. Como aplicación describimos los productos tensoriales torcidos estudiados por Cibils, Jara et al. y Guccione et al. en términos del par de representaciones (p , ph) y deducimos las condiciones que permiten a los autores en cada uno de los casos lograr una clasificación (parcial o total). A continuación nos enfocamos en las aplicaciones de torcimiento de Kn con Km. Establecemos una caracterización de estas aplicaciones de torcimiento en términos de matrices con coeficientes en K, la cual se debe a que ambas álgebras son conmutativas y de dimensión finita. Tal caracterización nos permite clasificar completamente las aplicaciones de torcimiento de rango reducido 1 que en nuestro lenguaje se ve muy diferente de la clasificación alcanzada por Jara et al.. Luego desarrollamos herramientas para el estudio de dos familias de productos tensoriales torcidos: las estándar y las casi-estándar. Estas herramientas permiten estudiar la relación entre las aplicaciones de torcimiento estándar, y casi-estándar, con las álgebras de camino de Quivers, y establecen una generalización del resultado obtenido por Cibils para n = 2. Para analizar utilizamos todos de los resultados obtenidos para clasificar los productos tensoriales torcidos en el caso de dimensiones bajas, incluyendo todas las aplicaciones de torcimiento de K3 con K3.Ítem Texto completo enlazado Extensiones del concepto de función co-radiante(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2017-11-09) Jordán Liza, Abelardo; Martínez Legaz, Juan EnriqueEn la presente tesis se han introducido y estudiado nuevas nociones de función co-radiante de valor real extendido y de valor conjunto, definidas en un cono de un espacio euclídeo. El estudio exhaustivo que se hace de ellas ha permitido hacer contribuciones en el análisis multivaluado no convexo, así como disponer de herramientas matemáticas adecuadas para analizar con un nivel de generalidad superior, las tradicionales funciones de producción que en la teoría económica se las denomina funciones de rendimientos decrecientes a escala. Se proponen las funciones alfa-co-radiantes que incluyen funciones como las de Cobb-Douglas de grado alfa y las de elasticidad de sustitución constante. Asimismo, se presentan representaciones convexas de las funciones alfa co-radiantes y se hacen algunos aportes para las funciones cóncavas y homogéneas de grado alfa. Los resultados de mayor relevancia en esta tesis se basan en las nociones originales de aplicación multivaluada coradiante, así como en la de aplicación multivaluada inversa co-radiante. Las aplicaciones multivaluadas co-radiantes de valor no convexo son importantes para el moderno tratamiento matemático de las tecnolog´ıas de producción. Se presenta un análisis minucioso de estas aplicaciones desde el punto de vista de la convexidad abstracta. Esto ´ultimo posee un conjunto de técnicas para problemas no convexos, usando ideas provenientes del análisis convexo. Los principales resultados son las representaciones externas para aplicaciones multivaluadas co-radiantes y para aplicaciones multivaluadas inversas co-radiantes, valiéndonos de aplicaciones multivaluadas denominadas elementales o generadoras. Asimismo, se define la función coste asociada a una aplicación multivaluada de producción y se hace un análisis de esta función en el esquema de la convexidad abstracta. Finalmente, se establecen condiciones que permiten recuperar una aplicación multivaluada primitiva a partir de la función coste. Cabe mencionar, que la convexidad abstracta tiene importantes aportes en áreas como la Optimización Global y la Teoríıa del Transporte ´ Optimo; por consiguiente la tesis se enmarca en un área de investigación de gran interés en la actualidad, que va más allá del esquema económico que motivó la presente investigación.Ítem Texto completo enlazado Clasificación analítica de ciertos tipos de foliaciones cuspidales (C3,0)(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2014-10-24) Neciosup Puican, Hernán; Fernández Sánchez, Percy; Mozo Fernández, JorgeSin duda, uno de los problemas ubicuos de las matemáticas es el de la clasificación de objetos, una vez definido un criterio de equivalencia. Así pues, se clasifican estructuras algebraicas, objetos geométricos, o ecuaciones, siguiendo criterios de isomorfismo, conservación de ciertas estructuras geométricas, o relación entre los espacios de soluciones. Uno de los objetivos de estudiar estas clasificaciones es hallar un representante “sencillo” a cada una de las clases de equivalencia, cuyas propiedades, fáciles de estudiar, permiten deducir por analogía propiedades de los objetos más generales. Mencionamos algunos ejemplos conocidos. 1. Toda matriz cuadrada es equivalente a una matriz en forma de Jordan. Así deducimos por ejemplo, la descomposición de un endomorfismo en su parte semisimple y nilpotente. 2. Todo grupo abeliano finito es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos. Un problema de equivalencia similar para grupos simples finito ocupó la labor de numerosos matemáticos durante décadas. 3. Toda superficie topológica compacta es homeomorfa a uno de los siguientes modelos: una esfera, una suma conexa de toros, o una suma conexa de un plano proyectivo y una de las anteriores. Problemas análogos en dimensión superior han resultado mucho más difíciles de abordar. Así, la célebre conjetura de Poincaré está relacionada con la clasificación de 3-variedades topológicas compactas. En particular, se puede mostrar que si una tal variedad tiene la homología de una 3-esfera S³, es homeomorfo a ella. La importancia de resolver este tipo de problemas muestra que la resolución de dicha conjetura en cualquier dimensión ha sido merecedora de tres Medallas Fields (Stephen Smale en 1966, Michael Freedman en 1986 y Grigori Perelman en 2006). La presente memoria se enmarca dentro de los problemas de clasificación. Más específicamente, nos proponemos estudiar la clasificación analítica, mediante la holonomía proyectiva, de ciertos tipos de foliaciones holomorfas singulares de codimension uno en (C³, 0). En concreto, el estudio que presentamos en esta tesis se escoge con la finalidad de establecer, hasta qué punto, una técnica sencilla, nos permite clasificar analíticamente las foliaciones cuspidales en (C³, 0). De este modo, el desarrollo de esta tesis se fundamenta en una interrogante fundamental que da sentido y forma a todos nuestros planteamientos. Esta interrogante es el siguiente ¿hasta qué punto la técnica de clasificación analítica usada por R. Moussu [Mou2], D. Cerveau y R. Moussu [CMou], R. Meziani [Me], M.Berthier, R. Meziani y P. Sad [BMS], entre otros, nos permite clasificar analíticamente las foliaciones cuspidales en (C³, 0)?. Esta pregunta, se presta a múltiples respuestas y a variados planteamientos, pero en el caso que nos ocupa cabe destacar un planteamiento que posteriormente pasaremos a describirÍtem Texto completo enlazado Webs planos y foliaciones Galois(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2014-10-23) Beltrán Cortez, Andrés William; Marín Pérez, David; Falla Luza, MaycolUn k−web W viene dado por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden definida de forma implícita por un polinomio de grado k que puede entenderse como una estructura geométrica descrita localmente por k−foliaciones en posición general. La geometría de webs es el estudio de invariantes de familias finitas de foliaciones y fue iniciado por Blaschke y su escuela a inicios de la década de 1920 en Hamburgo. Uno de los resultados emblemáticos obtenido por él junto con Dubordieu, es el que caracteriza la equivalencia local de un germen de un 3−web W en el plano complejo con el 3−web definido por dx · dy · d(x+ y) a través del anulamiento de un covariante diferencial: la curvatura K(W) del web W, que es una 2−forma meromorfa con polos en su discriminante ∆(W), este último conjunto es el lugar donde las tangentes a las hojas de las foliaciones que conforman el web dejan de ser transversales. La estructura local de un k−web no es rígida como sucede en los casos k = 1, 2 sino que admiten invariantes analíticos no triviales: el rango de un web, que no es sino la dimensión de un espacio que relaciona las integrales primeras de las foliaciones que definen a un web, y su curvatura. El estudio de webs desde el punto de vista local ha sido tratado por diferentes autores, ver [2, 11]. Un ejemplo de un k−web proveniente de la geometría algebraica proyectiva es obtenido al considerar una curva algebraica reducida C sobre P 2 C de grado k, la curva dual Cˇ ⊂ Pˇ2 C de C es la curva formada por las tangentes a C. Como Cˇ es de clase k entonces por un punto genérico ℓ ∈ Pˇ2 C pasan exactamente k tangentes a Cˇ. Podemos considerar estas k rectas como hojas de foliaciones sobre un abierto Zariski de Pˇ2 C , de esta manera obtenemos un k−web, llamado web algebraico asociado a la curva C, denotado por WC. Como consecuencia de un teorema clásico de Abel, el rango del k−web WC es maximal, en el sentido que coincide con la cota superior (k − 1)(k − 2)/2. Para un k−web con k > 3 la curvatura es definida como la suma de las curvaturas de todos los 3−subwebs extraídos de un web W. Miháileanu obtiene un resultado donde demuestra que el anulamiento de la curvatura de un k−web es una condición necesaria para la maximalidad del rango de W, ver [32]. Los webs de rango máximo que no son localmente equivalentes a ningún web algebraico WC han sido denominados excepcionales. En [25] los autores demuestran que para cada k > 4 existe una familia infinita de k−webs excepcionales contenidos en el espacio de k−webs de grado 1.