Matemáticas (Mag.)
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Ítem Texto completo enlazado Aspectos geométricos de la envoltura convexa del movimiento browniano planar(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-01-19) Quesada Vargas, Juan Carlos; Farfán Vargas, Jonathan SamuelEn el presente trabajo de tesis estudiaremos algunos aspectos geométricos de la envoltura convexa de una trayectoria del movimiento browniano planar en un determinado intervalo de tiempo. De manera más precisa, estudiaremos el perímetro, el área y el diámetro de dicha envoltura convexa. En el primer capítulo, revisaremos el movimiento browniano planar y algunas de sus propiedades tales como el principio de reflexión, la ley de la terna de Lévy y la ley del arcoseno que nos servirá como base teórica para justificar las cotas establecidas por James McRedmond y Chang Xu para estimar el diámetro promedio de dicha envoltura convexa. En el segundo capítulo se estudiarán las principales propiedades de cuerpos convexos y la envoltura convexa de una curva donde se desarrollará las propiedades que nos permitan justificar de manera más clara la fórmula de Cauchy para el perímetro y el área de un cuerpo convexo. En el tercer capítulo se utilizará como teorema principal la fórmula de Cauchy para justificar lo que se encontró de manera explícita tanto para el perímetro promedio y el área promedio de la envoltura convexa del recorrido de un movimiento browniano planar hasta el instante t = 1. Por último, en el cuarto capítulo se utilizará la terna de Lévy como teorema principal para el desarrollo de la estimación del diámetro promedio de dicha envoltura convexa.Ítem Texto completo enlazado Implementación numérica de una ecuación diferencial de movimiento en un grado de libertad con componente estocástica(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2020-10-07) Torres Murga, Saul Moises; Agapito Ruiz, Rubén ÁngelEn dinámica, mediante la ecuación diferencial ordinaria de movimiento, es posible determinar la posición en el tiempo de una masa que se desplaza debido a que es perturbada por alguna acción determinística. En este trabajo se propuso aplicar a la masa una perturbación no determinística de origen sísmico en un grado de libertad vertical y dentro del rango lineal. La pregunta de investigación fue: ¿será´ posible migrar la ecuación diferencial ordinaria (EDO) de movimiento hacia una ecuación diferencial estocástica (EDE) de movimiento? Bajo ese marco, se estudiaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos. Utilizando estas ramas de las matemáticas aplicadas se logró obtener una EDE de movimiento. Se estudió también la aproximación de Euler-Maruyama la cual se implementó, luego de verificar su estabilidad estocástica y numérica, para obtener una solución de la EDE de movimiento encontrada. Los resultados obtenidos permitieron confirmar que el uso de una versión no determinística genera resultados satisfactorios. Se recomienda efectuar análisis similares con otras variables, por ejemplo, en sistemas con un grado de libertad diferente, con más de un grado de libertad y/o considerando un comportamiento no lineal.Ítem Texto completo enlazado Integración estocástica y tiempo local(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2018-02-20) Mogollón Aparicio, Juan Arturo; Farfán Vargas, Jonathan SamuelEn el presente trabajo presentamos una construcción del movimiento browniano para lo cual probaremos en forma detallada los teoremas de extensión de Kolmogorov y el de Kolmogorov-Censot, luego hacemos una construcción detallada y autocontenida de la integral estocástica en la que los integradores son martingalas continuas cuadrado integrables. Esta es una posible extensión a la clásica integral de Itô en la cual el integrador es un movimiento browniano. En este contexto de integración estocástica enunciaremos y probaremos la fórmula de Itô y algunas de sus consecuencias. Finalmente trabajaremos con el tiempo local, la fórmula de Tanaka y estudiaremos una particular prueba.Ítem Texto completo enlazado Modelo de colas con vacancias e interrupciones en el servidor bajo procesos de Lévy(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2017-02-03) Atoche Díaz, Wilmer Jhonny; Valdivieso Serrano, Luis HilmarLos modelos de colas tradicionales se concentran en el comportamiento de los clientes, desde que arriban al sistema, esperan ser atendidos, se atienden y salen del sistema. Los clientes entran y esperan a ser atendidos en una fila de espera (cola), cuando el servidor está ocupado. Siempre se asume que el servidor que se desocupa está disponible para atender al primero de la fila de espera. El presente trabajo se basa en los estudios de Kella et al. (2010) y de Wu et al. (2015), centrándose en el estudio de la carga de trabajo en el servidor, considerando llegadas, salidas, fallas y vacancias en el servidor. Esta forma de estudiar el comportamiento de la carga de trabajo en el servidor hace que el modelo aplicado se ajuste mejor a la realidad. La tesis se encuentra dividida en cinco capítulos. En el segundo capítulo, denominado Preliminares, se describe un proceso básico de colas para definir los elementos que lo componen, la terminología y la notación que usamos en un sistema de colas, luego bajo el modelo de nacimiento y muerte se desarrolla el modelo M/M/1/K, que nos muestra en forma estable e ideal las cantidades fundamentales de un sistema de colas. Finalmente, se definen las interrupciones del servicio por fallas y vacancias en el servidor. En el tercer capítulo, denominado Procesos de Lévy, se presenta la teoría de procesos estocásticos, procesos de Lévy, procesos de Lévy espectralmente positivos y colas con entradas de Lévy, las definiciones y teoremas nos permiten modelar posteriormente. En el cuarto capítulo, es donde se formula el modelo, se desarrolla el estudio de la distribución de estado estacionario, la distribución transitoria y la descomposición estocástica. En el quinto capítulo, denominado Simulación, se ilustra la simulación de la carga de trabajo basado en un proceso de Lévy de incrementos dados por una distribución gamma, la tasa de servicio permanece constante, las fallas y vacancias son procesos de renovación. En este capítulo también se muestra la caracterización del modelo, así como su respectiva media y varianza. El sexto y último capítulo presenta las conclusiones y las futuras investigaciones que se podrían realizar a partir del presente trabajo.Ítem Texto completo enlazado Cambio de fase en el proceso de contacto sobre Zd(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2015-04-24) Oliveros Ramos, David Ricardo; Beltrán Ramírez, Johel VictorinoEl proceso de contacto en un tipo de proceso de Markov en tiempo continuo para el cual el espacio de estados, también llamados configuraciones, es X = {0, 1} Z d y en el cual cada coordenada de una configuración del proceso pasa de 1 a 0 a una tasa constante igual a 1, y el paso de 0 a 1 es proporcional a la cantidad de unos en las coordenadas vecinas, siendo λ la constante de proporcionalidad que parametriza el modelo. En este trabajo se muestra que el proceso de contacto puede ser construido formalmente a partir de la descripción anterior de las tasas de transición entre las configuraciones, mostrando además que existe un único proceso de Markov definido por tales tasas. Se utilizaron algunas técnicas básicas para el estudio de sistemas de partículas en interacción (monotonicidad, acoplamiento, dualidad) que permitieron demostrar algunas propiedades del proceso de contacto, como la autodualidad y la monotonía de la ergodicidad con respecto al parámetro del proceso. El resultado principal es mostrar que en una dimensión (d = 1) existe un parámetro crítico finito (λc) que determina un cambio de fase para la ergodicidad del proceso, siendo ergódico si λ < λc y que existen al menos dos medidas invariantes para el proceso si λ > λc. Este resultado se generaliza para el proceso en d dimensiones, mostrando que el parámetro crítico λd está acotado por 1/ 2d ≤ λd ≤ 2/d .Ítem Texto completo enlazado Procesos de Lévy: propiedades e integración estocástica(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2011-06-14) Chávez Bedoya Mercado, Luis Carlos; Gasco Campos, Loretta Betzabe RosaLos procesos de Lévy son procesos estocásticos que poseen incrementos estacionarios e independientes, y además son continuos en probabilidad. Muchas de las investigaciones teóricas y aplicaciones actuales de los procesos estocásticos en ingeniería, economía y finanzas están basadas en procesos de Lévy; tomamos esto como motivación para profundizar en el estudio de dichos procesos así como para difundir sus aspectos teóricos y prácticos. Asimismo, el cálculo estocástico es una de las principales herramientas teóricas en muchos campos, en especial las finanzas y más precisamente la valuación de instrumentos derivados. Uno de los resultados fundamentales del cálculo estocástico es la fórmula de Ito, cuya validez más allá del movimiento browniano, siendo lógica y necesaria su extensión a procesos de Lévy. Los objetivos de la presente tesis son los siguientes: (1) Enunciar y demostrar las principales propiedades de los procesos de Lévy. (2) Demostrar la descomposición de Lévy-Ito. (3) Desarrollar la teoría básica de integración estocástica cuando se tiene como integrador medidas martingala valuadas. (4) Demostrar la fórmula de Ito para procesos de Lévy. (5) Describir algunas aplicaciones de los procesos de Lévy en finanzas. El presente trabajo se encuentra dividido en cuatro capítulos. En el primer capítulo se presentan conceptos y definiciones importantes previos al estudio de los procesos de Lévy, los cuales serán de suma importancia y utilidad en los capítulos siguientes. Se desarrolla el proceso de Poisson y sus propiedades más importantes. Posteriormente, se hace una breve introducción a la convolución de medidas de probabilidad y las variables aleatorias infinitamente divisibles, terminando en la demostración parcial (la prueba se completa en el Capítulo 2, basándose en la descomposición de Ito-Lévy) de la celebrada fórmula de Lévy-Khintchine, la cual establece que toda medida de probabilidad en R que es infinitamente divisible tiene una función característica de la siguiente forma: φµ(u) = exp imu − σ 2u 2 + Z R−{0} [e iuy − 1 − iuy1 {|y|<1} (y) v*(dy), donde v* es una medida definida en R- {0}, la cual cumple que ZR-{0} (|y|2 1) v* 8dy) < ∞, m ∈ R, σ 2 > 0 y u ∈ R. El capítulo concluye con la demostración de un teorema que 6 afirma que cualquier medida de probabilidad infinitamente divisible puede ser obtenida como el límite en distribución de una sucesión de procesos de Poisson compuestos. En el Capítulo 2 se demuestran las propiedades más importantes de los procesos de Lévy, algunas de ellas son: divisibilidad infinita, una modificación de un proceso Lévy es un proceso de Lévy, todo proceso de Lévy tiene una modificación cadlag y todo proceso de Lévy es un proceso de Markov fuerte. Posteriormente, se realiza el estudio de los saltos de un proceso de Lévy, se definen y enuncian las propiedades de la medida salto y se define la integración Poisson. Finalmente, y después de resultados previos se demuestra la descomposición de Lévy-Ito, la cual afirma que si η un proceso de Lévy, entonces existe b ∈ R, un movimiento browniano B y una medida de Poisson N en R+ ×(R− {0}), independiente de B, tal que para todo t ≥ 0; η(t) = bt + B(t) + Z |x|a xN (t,dx), con a> 0, es decir que un proceso de Lévy se puede descomponer en la suma de un movimiento browiniano, saltos compensados menores que a, saltos mayores que a y un componente de tendencia bt. En el Capítulo 3 se desarrolla la teoría de integración estocástica, pero teniendo como integrador a medidas martingala valuadas. Se desarrolla la teoría L 2 , demostrando las principales propiedades de la integral estocástica, para después extender la teoría de integración a una clase más general de funciones. Posteriormente, se mencionan algunos tipos de integrales basadas en procesos de Lévy, como son las integrales estocásticas brownianas, las integrales estocásticas del tipo Poisson y las integrales estocásticas del tipo Lévy. El principal resultado de este capítulo es la demostración de la fórmula de Ito para integrales del tipo Lévy, habiendo desarrollado antes de ello la fórmula de Ito para integrales brownianas y Poisson. En el Capítulo 4 se muestran dos aplicaciones de los procesos de Lévy en finanzas. La primera es la descripción y demostración de las principales propiedades de un modelo de precios y la segunda es la comparación de tres modelos de retornos de acciones en un mercado financiero de poca liquidez. Asimismo, en los dos apéndices se demuestran y/o enuncian resultados que son utilizados en las demostraciones de los cuatro capítulos. Si bien es cierto que los resultados que se presentan han sido demostrados y/o mencionados en la literatura, el principal aporte de la presente tesis consiste en brindar una introducción coherente, accesible, completa y sobre todo autocontenida de los procesos de Lévy y la derivación de la fórmula de Itˆo para procesos de Lévy. Esto es importante, ´ debido a que la complejidad y los diversos enfoques sobre el tema hacen difícil que se pueda dar un desarrollo completo y detallado utilizando una notación uniforme. Los resultados de los primeros tres capítulos se encuentran en diverso grado de dificultad y formalismo en Applebaum [1], Protter [14], Cont y Tankov [6], Oksendal y Sulem [13], Sato [16], Bertoin [3] y El Karoui y Méléard [7]. Sólo en los principales resultados de la tesis se indican la(s) fuente(s) de las que han sido tomados y el aporte hecho en cada demostración; aunque varios de los resultados y definiciones han sido completados y/o clarificados respecto a su versión original, sin ser ésto mencionado en el trabajo.