Existencia de soluciones periódicas de una ecuación hamiltoneana asintóticamente lineal

Abstract

La teoría de Morse estudia propiedades analíticas y topológicas de campos vectoriales gradientes. Esta es una disciplina variada y rica, que tiene conecciones con diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones. Para nuestro propósito, es el concepto de índice de Morse donde encontramos mayor utilidad, visto que su estudio en flujos empezó con el trabajo de C. Conley [8]. Su afán era hallar una forma de generalizar el índice de Morse de un punto crítico no degenerado con respecto al flujo gradiente en una variedad compacta. El objetivo de este trabajo será probar la existencia de soluciones periódicas de una ecuación hamiltoneana asintóticamente lineal específica. Esto es llevado a cabo mediante la aplicación de la teoría de Morse en el sentido de C. Conley; tal teoría tiene la ventaja que no requiere que los puntos críticos de la funcional sean no degenerados. La tesis tendrá un primer y segundo capítulo introductorio, en donde haremos un estudio de algunos resultados necesarios para nuestro objetivo. Comenzamos con el estudio del índice de una solución periódica de un sistema hamiltoneano lineal y algunos conceptos enmarcados en el álgebra simpléctica, material que podemos encontrar en Mc. Duff y Salamon [11]. En segundo lugar, hablaremos de la teoría de Morse para flujos: acá presentamos el concepto de pareja de índice para un conjunto invariante aislado; el cual juega un papel imprescindible en la definición del índice de Morse de conjuntos invariantes aislados. Así, también enunciamos un resultado que establece la equivalencia de parejas de índice (Apaza, A., [5]). Por otra parte introducimos la definición de la descomposición de Morse de un conjunto invariante aislado. Tal descomposición permite además construir en forma discreta sucesiones exactas de grupos de cohomología, los cuales relacionan el índice del conjunto invariante aislado con los índices de los elementos de la descomposición de Morse. No obstante, el índice de Morse (según Conley) resulta ser invariante bajo continuación. Ver Smoller, J. [13]. En tercer lugar, planteamos y analizamos un problema concreto, referente a la existencia de soluciones periódicas de una ecuación hamiltoneana asintóticamente lineal. La existencia de tales soluciones es una de las interrogantes que generalmente se estudian en mecánica clásica. No obstante, el problema en estudio es la simplificación de un problema de mayor complejidad enmarcado dentro de las variedades simplécticas. Asimismo, se denominan simplectomorfismos a aquellas aplicaciones entre espacios simplécticos que preservan la estructura de dichos espacios. Y ejemplos de simplectomorfismos proviene de las soluciones de ecuaciones diferenciales hamiltoneanas. Por consiguiente la búsqueda de órbitas periódicas de una ecuación diferencial hamiltoneana es un caso particular del problema de existencia de simplectomorfismos. Para mejor detalle, consultar Mc. Duff y Salamon [11]. De aquí, en esta línea de investigación concretamente, planteamos el problema de la existencia de soluciones periódicas de sistemas hamiltoneanos. En tal sentido, el problema que tratamos generaliza resultados ya obtenidos anteriormente dado que se trabaja con una funcional indefinida; el cual es un resultado obtenido por Conley y Zenhder (ver [7]), cuyo artículo es la base principal del presente trabajo. Por otro lado, inmersos en el problema, presentamos el método debido a Amann (ver[2]) de reducción a puntos silla, mediante el cual el problema original de buscar puntos críticos de la funcional definida sobre un espacio de dimensión infinita se reduce al caso más simple de encontrar puntos críticos de una función definida sobre un espacio de dimensión finita. Finalmente, haciendo uso de las herramientas topológicas de la teoría de Morse presentadas en el Capítulo II, demostramos al final del Capítulo III la existencia de soluciones periódicas de nuestra ecuación diferencial hamiltoneana.