Matemáticas Aplicadas con mención en Procesos Estocásticos
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Ítem Texto completo enlazado Estudio del método de Galerkin discontinuo nodal aplicado a la ecuación de advección lineal 1D(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2019-01-21) Sosa Alva, Julio César; Casavilca Silva, Juan EduardoThe present work focuses on Nodal Discontinuous Galerkin Method applied to the one-dimensional linear advection equation, which approximates the global solution, partitioning its domain into elements. In each element the local solution is approximated by using interpolation in such a way that the total numerical solution is a direct sum of those approximations (polynomials). This method aims at reaching a high order through a simple implementation. This model is studied by Hesthaven and Warburton [16], with the particularity of Joining the best of the Finite Volumes Method and the best of Finit Element Method . First, the main results are revised in detail concerning the Jacobi orthogonal polynomials; more precisely, its generation formula and other results which help implementing the method. Concepts regarding interpolation and best approximation are studied. Furthermore, some notions about Sobolev space interpolation is revised. Secondly, theoretical aspects of the method are explained in detail , as well as its functioning. Thirdly, both the two method consistency theorems (better approximation and interpolation), proposed by Canuto and Quarteroni [4], and error behavior theorem based on Hesthaven and Warburton [16] are explained in detail. Finally, the consistency theorem referred to the interpolation is veri ed numerically through the usage of the Python language as well as the error behavior. It is worth mentioning that, from our numerical results, we propose a new bound for the consistency (relation 4.2 (4.2)), whose demonstration will remain for a future investigation.Ítem Texto completo enlazado Resolución de la ecuación de advección lineal unidimensional por un método de volúmenes finitos compacto de alto orden(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2018-02-12) Chávez Pacheco, Xyoby; Casavilca Silva, Juan EduardoLos métodos numéricos de alto orden, necesarios para la discretización espacial, son una de las áreas más activas del campo de la dinámica de fluidos computacional (CFD en sus siglas en inglés). Dentro de estos, los Métodos de Volúmenes Finitos (MVF) han encontrado difcultades en la implementación de los procesos de reconstrucción. En el presente trabajo presentamos e implementamos en Python un novedoso proceso de reconstrucción compacto de alto orden propuesto por Q. Wang [22]. La novedad yace en que el orden alto es alcanzado usando un estencil compacto; es decir, usando únicamente celdas vecinas. En este proceso se obtiene un conjunto de relaciones que sirven para obtener los coeficientes de los polinomios de reconstrucción sobre los volúmenes de control de interés preservando sus valores promedios y el de sus derivadas. Con estas relaciones obtenemos un sistema lineal sobredeterminado que al ajustarse por mínimos cuadrados resultan en un sistema tridiagonal por bloques para el caso de una ecuación de advección 1D. Para esta ecuación de advección usamos además el Análisis de Fourier para examinar los números de onda modificados por el MVF compacto. La reconstrucción incluye parámetros que son optimizados para mejorar las propiedades de dispersión/disipación. Así mismo, el análisis de estabilidad de von Neumann nos permite estimar el número CFL (Courant Friedrich Levy) máximo para dos métodos de Runge-Kutta. Finalmente, validamos tanto los órdenes de convergencia de la combinación del MVF compacto con dos esquemas de Runge-Kutta como los parámetros óptimos de los esquemas de reconstrucción.Ítem Texto completo enlazado Aplicación de estrategias de asignación de activos basadas en un modelo de Markov de regímenes cambiantes(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2017-08-03) Mejía Tamariz, Carla Mónica; Oliveros Ramos, David RicardoLos cambios de régimen en la economía afectan el comportamiento de los activos financieros y suponen retos para los procesos de asignación de activos. Como varios autores han señalado, el Modelo de Optimización de Media-Varianza de Markowitz, ampliamente utilizado desde su publicación en la década de los 50s, presentaba ciertas limitaciones que no fueron consideradas en sus etapas iniciales de desarrollo. En la práctica estas limitaciones se evidenciaron ante la ocurrencia de cambios abruptos en los mercados financieros. En particular, esto sucedió durante la crisis financiera del 2007-2008, siendo los más vulnerables aquellos inversionistas que habían reducido significativamente su exposición a la liquidez para invertir en activos riesgosos. La poca liquidez del mercado impidió a los inversionistas vender sus posiciones riesgosas u obtener coberturas a _n de evitar las caídas pronunciadas de los activos. Este tipo de eventos extremos o riesgos de cola, puso en discusión los límites de la diversificación dada la naturaleza cambiante de los activos financieros y las limitaciones de una estrategia de inversión estática. Más aún, puso en relieve la gran influencia que puede tener el entorno macroeconómico sobre los mercados financieros y su desenvolvimiento de largo plazo. En ese sentido, desarrollos recientes plantean un proceso de optimización dinámico, que se adecúe a la naturaleza cambiante de los activos financieros y que permita incorporar las influencias macroeconómicas en los distintos regímenes. El presente trabajo tiene tres objetivos. En primer lugar, presentar la construcción y formalización matemática del Problema Intertemporal de Asignación de Activos de un inversionista que rebalancea su portafolio de manera dinámica. En segundo lugar, presentar el marco metodológico de un Proceso Oculto de Markov Discreto basado en regímenes cambiantes. El Proceso Oculto de Markov será utilizado para determinar los estados de la naturaleza en base a dos variables macroeconómicas: la tasa de crecimiento del PBI y la tasa de inflación. En tercer lugar, realizar un ejercicio de aplicación enlazando la metodología del Proceso Oculto de Markov Discreto con el Problema de Asignación de Activos del inversionista. Es decir, se incorporará al proceso de optimización de portafolios, los regímenes previamente determinados mediante el Proceso Oculto de Markov. De esta manera, la estimación de las ponderaciones óptimas de los activos financieros dependerá del estado de la naturaleza prevaleciente en cada momento del tiempo. El objetivo último será encontrar una estrategia de asignación de activos que permita ajustar dinámicamente las ponderaciones de los activos financieros de acuerdo a los regímenes determinados por las variables macroeconómicas. Los resultados del ejercicio de aplicación muestran que, en comparación a otras estrategias de inversión estáticas, la estrategia dinámica propuesta genera un mayor retorno ajustado por riesgo (mayor ratio Sharpe); ofrece mayor protección ante caídas abruptas en los mercados financieros, que suelen ocurrir en periodos de estrés; presenta un mayor retorno promedio al final del periodo de análisis y baja volatilidad, y muestra comportamientos más estables a lo largo del tiempo.Ítem Texto completo enlazado Teorema fundamental sobre valoración de activos en tiempo discreto y finito(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2015-11-23) Chávez Melgarje, John Dorian; Lugón Ceruti, AlejandroEl teorema fundamental de valoración de activos caracteriza modelos de mercados financieros libre de arbitraje; es decir, aquellos en los que no es posible generar utilidades libres de riesgo sin una inversión inicial. En términos generales, el teorema fundamental de valoración de activos afirma que un modelo de mercado es libre de arbitraje, sí y solo si, todos los activos en el modelo pueden tener un precio de una manera coherente. Es bien conocido el modelo clásico libre de fricción, que se trabaja en ausencia de costos de transacción y con tasas de interés de depósito y crédito iguales, que fue establecido por Harrison y Pliska en 1981 [5]. Jouini y Kallal en 1995, [6] Y [7], fueron los primeros en extender el teorema fundamental de valoración de activos incorporando costos de transacción proporcionales, conteniendo un stock con riesgo y una cuenta de banco libre de riesgo; en este modelo el mercado es libre de arbitraje, sí y solo si, existe una medida de probabilidad ]ID bajo la cual el proceso de precios del stock descontados por la tasa de interés de la cuenta de banco, es una martingala. La colección de tales medidas de probabilidad juega un rol fundamental en la determinación de los precios del activo. El propósito del presente trabajo consiste en desarrollar la propuesta de Alet Roux [11], quién extiende el teorema fundamental de valoración de activos hacia un modelo en el cual, el precio de un stock con riesgo S¡ está sujeto a costos de transacción proporcionales, en el sentido de que el precio de venta Sf de este stock es menor o igual al de compra Sf y además la cuenta de banco tiene una tasa de interés de depósito 7't menor o igual a la de crédito rf. En el artículo de Alet Roux [12], el autor extiende el teorema fundamental de valoración de activos para n activos, con costos de transacción proporcionales y tasas de interés y depósitos diferentes. Además, presenta una demostración alternativa a la aquí presentada en una de las implicaciones del teorema. Será el principal objetivo del presente trabajo presentar con detalle la demostración de que el proceso de precios descontados por la tasa de interés de depósito o crédito es libre de arbitraje sí y solo si éste puede ser expresado como una martingala bajo alguna medida de probabilidad equivalente P. Este documento está organizado de tal forma que en el capítulo 2, se presentan las definiciones necesarias sobre las estrategias de negociación de activos con la finalidad de maximizar utilidades y algunos lemas y proposiciones que son indispensables para su posterior aplicación en el capítulo siguiente. En el capítulo 3, se desarrolla la prueba del teorema fundamental de valoración de activos bajo costos de transacción proporcionales en tiempo discreto y finito. Finalmente, en el apéndice se incluyen algunas definiciones y resultados básicos que se aplican en el desarrollo de los capítulos anteriores.