Matemáticas (Mag.)
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Ítem Texto completo enlazado Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2020-08-06) Huaringa Mosquera, Suzanne Maria; Fernández Sanchez, Percy BraulioEn teoría de Galois clásica, las raíces de un polinomio f(X) ∈ K [X], sus raíces generan una extensión E del cuerpo K, llamado el cuerpo de descomposición E de f(X). En el presente trabajo estudiaremos su análogo en teoría de Galois diferencial. Si dotamos a un anillo de una operacion llamada derivación (que verifica las propiedades básicas de la derivada usual) llamaremos a este par, anillo diferencial. Veremos que dado un cuerpo diferencial K y un operador diferencial lineal homogéneo L definido sobre el, sus soluciones generan una extension diferencial E del cuerpo diferencial K, dicha extensión es llamada de Picard-Vessiot. Mostraremos con detalle la construcción de una extensión de Picard-Vessiot [1] y veremos que en efecto siempre es posible realizarla. También veremos que es única salvo K−isomorfismo diferencial.Ítem Texto completo enlazado Minimal possible counterexamples to the two-dimensional Jacobian Conjecture(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2019-06-12) Horruitiner Mendoza, Rodrigo Manuel; Valqui Hasse, Christian HolgerLet K be an algebraically closed field of characteristic zero. The Jacobian Conjecture (JC) in dimension two stated by Keller in [8] says that any pair of polynomials P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (a Jacobian pair ) defines an automorphism of L via x-> P and y -> Q. It turns out that the Newton polygons of such a pair of polynomials are closely related, and by analyzing them, much information can be obtained on conditions that a Jacobian pair must satisfy. Specifically, if there exists a Jacobian pair that does not define an automorphism (a counterexample) then their Newton polygons have to satisfy very restrictive geometric conditions. Based mostly on the work in [1], we present an algorithm to give precise geometrical descriptions of possible counterexamples. This means that, assuming (P;Q) is a counterexample to the Jacobian Conjecture with gcd(deg(P); deg(Q)) = k, we can generate the possible shapes of the Newton Polygon of P and Q and how it transforms under certain linear automorphisms. By analyzing the minimal possible counterexamples, we sketch a path to increase the lower bound of max(deg(P); deg(Q)) to 125 for a minimal possible counterexample to the Jacobian Conjecture.Ítem Texto completo enlazado Aspectos geométricos de la irresolubilidad de una ecuación algebraica de grado cinco(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2016-06-09) Sosaya Salazar, Sandro Wilfredo; Rosas Bazán, Rudy JoséEn el presente trabajo estudiaremos que es imposible obtener una fórmula a base de operaciones fundamentales (adición, sustracción, división, multiplicación, potenciación y radicación) que nos dé las soluciones de una ecuación algebraica general de grado n mayor o igual que 5. Este problema fue resuelto por el matemático Niels Henrik y por Évariste Galois. Daremos una demostración algo “más geométrica" que la clásica demostración vía la teoría de Galois. La idea central será el estudio de las \deformaciones" que sufren las raíces de un polinomio como consecuencia de una \deformación" del polinomio.