Matemáticas (Mag.)
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Ítem Texto completo enlazado Deformaciones de estructuras complejas(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2013-10-04) Villareal Montenegro, Yuliana; Fernández Pilco, PercyResumen Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de estas cartas. Definimos M= {Mt : t ∈ B} y ̟ :M→ B de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia diferenciable de variedades complejas compactas (M,B,̟), al primer grupo de cohomología de Mt, es decir KSt : Tt(B) → H1(Mt,_t), donde _ es el haz de gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le llama La Aplicación Infinitesimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las variaciones de primer orden de la estructura compleja. En consecuencia, dada (M,B,̟) una familia analítica compleja de variedades complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales _ = dMt/dt de Mt = ̟−1(t) son ciertos elementos de H1(Mt,_t). Por otro lado, dada una variedad compleja compacta M, si (M,B,̟) con 0 ⊂ B ⊂ C es una familia analítica compleja tal que M = ̟−1(_ 0). ¿Podemos decir que dMt/dt _ t ∈ H1(M,_) es una deformación infinitesimal de M? Pues no está claro que cada θ deba surgir de ésta manera. Resulta que si θ surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales. Si existen clases de cohomología θ que no cumplan las condiciones dicionales, entonces θ no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados Obstrucciones a la deformación de M. Esta teoría de la obstrucción, garantiza la existencia de una familia analítica compleja para cualquier H1(M,_). Finalmente, hablaremos sobre el Número de Moduli, m(M), que viene a ser el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja (M,B,̟) con M = ̟−1(0), que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas para M y nos da a conocer cuántas de éstas estructuras o deformaciones son iguales y diferentes.Ítem Texto completo enlazado Moduli analítico de curvas analíticas irreductibles planas(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2012-05-22) Marcavillaca Niño de Guzmán, Edison; Fernández Pilco, PercyEn la matemática es muy común tratar de clasificar objetos respecto a alguna relaci´on de equivalencia, para realizar dicha clasificación podemos proceder de maneras diferentes, por ejemplo, podemos buscar elementos de una clase de equivalencia que se mantengan inalterados, estos elementos se llamaran invariantes. Sin embargo estos podrían no ser invariantes con otra relaci´on de equivalencia, y por ende no tendríamos ninguna información sobre la equivalencia de dos objetos, entonces podemos abordar el problema de clasificar, obteniendo un método que nos permita encontrar un representante para cada clase de equivalencia, de manera que verificar si dos elementos son equivalentes se resume a encontrar y comparar tales representantes, que son llamados formas normales o formas canónicas. O. Zariski, en un curso dictado en la Ecole Polytechnique [10], en 1973, inspirado por el trabajo ´ de S. Ebey [3], expuso su investigación sobre el problema de la clasificación analítica de curvas planas pertenecientes a una clase de equisingularidad dada. Abramo Hefez y Marcelo E. Hernandes [6], en el 2007 dan fin al problema dado por O. Zariski, ellos mostraron como quebrar la complejidad del espacio Moduli estratificando la clase de equisingularidad dada por medio de un buen invariante numérico que separe las curvas en muchos tipos, tal que la equivalencia analítica en cada estrato sea manejable. En el primer capítulo de esta tesis, se dan las nociones básicas a ser utilizadas a lo largo del texto. Introducimos el concepto de curva algebraica irreducible plana o rama plana y se estudia su parametrización dada por el Teorema de Newton-Puiseux. Luego estudiamos el anillo local de una rama plana, el semigrupo de valores asociado a una curva algebraica plana, y Finalizamos el capítulo con una sección dedicada específicamente a las curvas analíticas. El segundo capítulo contiene los resultados de la teoría de singularidades que utilizaremos. Introduciremos el concepto de germen de aplicaciones, así como las relaciones de equivalencia entre gérmenes, que son A, R, L, C y la K-equivalencia. También presentaremos la relación entre la equivalencia analítica de curvas analíticas planas irreducibles y la K-equivalencia de sus ecuaciones y la A-equivalencia de sus parametrizaciones. La parte central de este capítulo está dedicada al teorema de la transversal completa, cerrando este capítulo aplicando el teorema de la transversal completa presentando las formas normales para las curvas planas analíticas irreducibles con semigrupo ⟨3, v1⟩ y ⟨4, 7⟩. En el último capítulo introducimos el concepto de diferenciales de Kähler, el conjunto de valores de las diferenciales de Kähler que es un invariante bajo la equivalencia analítica de curvas. Dedicando el resto del capítulo a la demostración de la existencia y unicidad de las A-formas normales, comenzando con las formas normales bajo la A1-acci´on, para luego pasar de la A1-equivalencia a la Ae-equivalencia y finalmente aplicar la H-acción, para obtener las A-formas normales.Ítem Texto completo enlazado Ergodicidad, rigidez y topología de subgrupos de Bih0(C)(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2012-05-21) Ysique Quesquén, José Walter; Fernández Pilco, PercyLa presente tesis basa su contenido en temas de dinámica compleja, tiene como primer objetivo el estudio de los teoremas de densidad, ergodicidad y rigidez de Y. Iliashenko [I2; I3]; y como segundo objetivo se estudia un teorema debido a C. Camacho [Ca1], el cual analiza el comportamiento topológico de un germen del tipo parabólico. Para lograr los objetivos planteados introducimos las definiciones y resultados necesarios, los cuales buscamos expresarlos de tal modo que sean accesibles al lector y poder así de alguna manera que lo tratado en esta tesis se constituya en material de consulta y aplicación en otras áreas de la matemática.