Matemáticas Aplicadas

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Existencia de equilibrio competitivo en economias con bienes indivisibles y el teorema de unimodularidad
(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-03-24) Leiva Huamaní, Pedro Luis; Jordan Liza, Abelardo
En esta tesis estudiamos un nuevo enfoque sobre las preferencias de un agente que adquiere cestas de consumo con bienes indivisibles y tenemos como objetivo principal encontrar condiciones bajo las cuales el equilibrio competitivo siempre existe para economías con bienes indivisibles en las que participan un conjunto finito de agentes. Por este motivo, consideramos una economía con n distintos bienes indivisibles que están disponibles en múltiples unidades y con un precio lineal, donde las preferencias de un agente están representadas por una función real definida sobre un subconjunto finito no vacío de Zn, llamada valoración. De esta manera, el primer objeto que estudiamos es el "Conjunto de precios de indiferencia" (LIP), el cual está conformado por los vectores de precios (en IRn) que hacen que el agente sea indiferente entre más de una cesta de consumo. Además, se demuestra que este conjunto está conformado por una colección finita de conjuntos convexos (n - 1)-dimensionales, los cuales forman un complejo poliedral racional (n - 1)-dimensional. Después de esto, enunciamos el teorema de equivalencia valoración-complejo, el cual afirma que cualquier complejo poliedral que satisface una cierta propiedad corresponde al LIP de una valoración y viceversa. De esta manera, podemos estudiar las demandas del agente usando directamente la geometría del LIP. Luego, definimos los "Tipos de demanda D", usando un conjunto de vectores que describen las formas en que las cestas demandadas por el agente pueden cambiar en respuesta a un pequeño cambio en los precios. Finalmente, probamos el "Teorema de unimodularidad", el cual nos proporciona condiciones para la existencia del equilibrio competitivo en este tipo de economías. Cabe mencionar que el principal aporte de este trabajo, es la presentación detallada de los resultados que han sido establecidos en las referencias [1], [2] y [7], tanto en el contexto matemático como económico.
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El teorema fundamental de precios de arbitraje con costos de transacción en un mercado de divisas
(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2013-10-04) Dall'Orto Cacho, David; Valdivieso Serrano, Luis Hilmar
Harrison and Kreps (1979) aplicaron el principio de no arbitraje al estudio sistemático de tres diferentes modelos de mercados financieros, siendo uno de ellos el modelo de Black - Scholes. Una característica importante de dicho estudio fue la estrecha relación entre los argumentos del principio de no arbitraje y la teoría de martingalas. Esta relación dio lugar al “Teorema Fundamental de Precios de Arbitraje”, término acu˜nado por Dybvig and Ross (1987). De manera general, se puede decir que un modelo matemático en un mercado financiero está libre de arbitraje si y solo si existe una martingala sujeta a una medida de probabilidad equivalente. La incorporación de la teoría de martingalas permitió la aplicación de herramientas matemáticas más complejas, siendo el primer intento para convertir el principio general de no arbitraje a teoremas matemáticos para su aplicación el realizado por Harrison and Pliska (1981), al utilizar espacios de probabilidad de dimensión finita. Basados en esto y posteriores desarrollos, se ha creído conveniente en este trabajo revisar la aplicación del referido teorema fundamental a mercados financieros sin costos de transacción (sin fricciones), para luego estudiar su aplicación a mercados financieros particulares (mercados de divisas) que incorporen costos de transacción. Esto ´ultimo, sin duda, acerca la teoría a la realidad. Tanto en el modelo sin fricciones como en el presente trabajo se presentará la condición de arbitraje débil, que establece una restricción para evitar que los agentes, sin inversión alguna, culminen su participación en el mercado con portafolios que, luego de liquidados, tengan un valor mayor a cero. En otras palabras, el presente trabajo establecerá las condiciones que deberán cumplir los precios de varios activos financieros en un mercado discreto bajo costos de transacción para que los agentes económicos no tengan oportunidades de arbitraje. Si bien, este estudio podría extenderse a mercados financieros cualesquiera, nos centraremos básicamente en el estudio de un mercado de divisas.