TÍTULO DE LA INVESTIGACIÓN: Seguridad en dos ruedas: Análisis de la mejora de la estabilidad de la bicicleta como medio de transporte mediante la implementación de un giroscopio como sistema de seguridad. AUTORES: Mendivil de la Fuente, Álvaro André Montalbán Guillén, Giancarlo Jair FACULTAD - ESPECIALIDAD: Ciencias e Ingeniería – Ingeniería Mecánica DOCENTE ORIENTADOR(A): Valverde Guzmán, Quino Martín AÑO (*): 2018 (*) Año de finalización de la investigación VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN DIRECCIÓN DE GESTIÓN DE LA INVESTIGACIÓN PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación Texto académico Proyecto de investigación: Seguridad en dos ruedas: Análisis de la mejora de la estabilidad de la bicicleta como medio de transporte mediante la implementación de un giroscopio como sistema de seguridad. Integrantes: ALVARO ANDRE MENDIVIL DE LA FUENTE GIANCARLO JAIR MONTALBAN GUILLEN Docente Orientador: QUINO MARTIN VALVERDE GUZMAN Facultad: Ciencias e ingeniería Especialidad: Ingeniería Mecánica Lima, Febrero de 2018 Índice General INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 3 CAPÍTULO 1. LA BICICLETA COMO MEDIO DE TRANSPORTE .................................................... 5 CAPÍTULO 2. EL CONTROL MOMENT GYROSCOPE COMO SISTEMA DE ESTABILIZACIÓN. ..... 9 2. 1. Sistemas de estabilización en vehículos de 2 ruedas ................................................... 9 Control de dirección ............................................................................................................ 9 Rueda de reacción ................................................................................................................ 9 Control Moment Gyroscope .............................................................................................. 10 2. 2. Funcionamiento de un CMG .......................................................................................... 11 Precesión giroscópica ........................................................................................................ 11 Funcionamiento de un CMG .............................................................................................. 13 CAPÍTULO 3. MODELAMIENTO DINÁMICO DE LOS SISTEMAS BICICLETA-CMG. ................... 16 3.1 Modelo dinámico desarrollado por Yetkin .................................................................... 17 3.2 Modelo dinámico del sistema propuesto ....................................................................... 18 Para el marco de la bicicleta con las ruedas. ................................................................... 22 Para el gimbal. .................................................................................................................... 23 Para la volante de inercia .................................................................................................. 24 3.3 Breve comparación de ambos modelos. ........................................................................ 29 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LA MEJORA DE LA ESTABILIDAD DE LA BICICLETA .................... 32 Torque de precesión (torque estabilizador) ....................................................................... 33 Tamaño y peso ....................................................................................................................... 33 Potencia consumida por el giroscopio ................................................................................. 34 Facilidad de fabricación ........................................................................................................ 35 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES .................................................................................................... 36 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 37 1 Índice de Tablas Tabla 1. Tiempo promedio (en minutos) del recorrido convencional de una persona hacia su trabajo utilizando tres diferentes medios de transporte. Fuente: Soluciones Ambientales. __________________________________________________________ 5 Tabla 2. Métodos de balanceo según Torque y método de balance. Fuente: Elaboración propia ___________________________________________________ 10 Tabla 3. Variables utilizadas en el modelo dinámico de Yetkin ________________ 17 Tabla 4. Variables usadas en el sistema propuesto. Fuente: Elaboración propia __ 20 Tabla 5. Cuadro comparativo de ambos modelos. Fuente: Elaboración propia ___ 29 Índice de Ilustraciones Ilustración 1 .Diagrama de Reaction Wheel. Fuente: Comparison of control moment gyros and reaction wheels for small earth-observing satellites. Votel, R _________ 10 Ilustración 2. Ejemplo de precesión giroscópica [Van Biezen, M]. Fuente: Elaboración propia ___________________________________________________ 12 Ilustración 3. Diagrama de Control Moment Gyroscope. Fuente: Comparison of control moment gyros and reaction wheels for small earth-observing satellites Votel, R. __________________________________________________________________ 14 Ilustración 4. Forma constructiva de un DGCMG. Fuente: High-Precision Control for Magnetically Suspended Rotor of a DGMSCMG Based on Motion Separation, Jinjin Xie1, Gang Liu y Hu Liu ________________________________________________ 15 Ilustración 5. Single Gimbal CMG. Fuente: Development of Control Moment Gyroscopes for Attitude Control of Small Satellites __________________________ 15 Ilustración 6. Marco de referencia de la bicicleta con sus tres ángulos principales. Fuente: Stabilization of Autonomous Bicycle. Harun Yetkin ___________________ 17 Ilustración 7. Modelo del sistema propuesto. Fuente: Elaboración propia _______ 19 Ilustración 8. Direcciones positivas y negativas de los ángulos α y β. Fuente: Elaboración propia ___________________________________________________ 21 Ilustración 9. Velocidad angular del gimbal. Fuente: Elaboración propia _______ 23 Ilustración 10. Velocidad angular de la volante. Fuente: Elaboración propia ____ 24 2 INTRODUCCIÓN La bicicleta es un medio de transporte bastante popular dentro de la comunidad occidental. Su rapidez y practicidad la convierten en una solución ante el problema del tránsito en el Perú. Sin embargo, dada la falta de seguridad vial, se percibe a la bicicleta como insegura debido a la alta cantidad de accidentes que se registran. El capítulo 1 permitirá al lector comprender la situación tanto internacional como nacional que enfrenta el uso de la bicicleta, así como algunas cifras que justifican nuestro estudio. Mientras se estudiaba dicha problemática, se consideró varias posibilidades para afrontar e intentar solucionar dicha dificultad. Siendo así, que se identificó uno de los mecanismos más usados en la navegación en donde su uso se orienta a la estabilización de satélites y barcos: El giroscopio. El capítulo 2 inicia con un listado de sistemas de estabilización y su importancia en la correcta elección del sistema para nuestro proyecto. En este apartado se menciona por primera vez lo que es un Control Moment Gyroscope, el cual es un sistema que permite orientar los vehículos con alta precisión y bajo consumo energético. Se introduce al lector a una comprensión de su principio de funcionamiento como medio de estabilización. Más adelante en el capítulo 3 se presentará mayor rigurosidad matemática al presentar las ecuaciones que gobiernan la dinámica de dichos sistemas de estabilización implementados en una bicicleta, bajo ciertas simplificaciones pertinentes sin pérdida de generalidad. El propósito de este apartado es aplicar un sistema ya desarrollado por Harun Yetkin en su tesis de maestría Stabilization of Autonomous Bicycle a quien mencionamos a lo largo de todo este trabajo por ser el referente de nuestra investigación. El primer paso fue la comprensión del sistema CMG-bicicleta y extrapolarlo a uno propio que se presenta dentro del mismo 3 capítulo con la particularidad de usar dos giroscopios en vez de uno. Seguido se realiza el sistema propio utilizando la formulación de Lagrange-Euler, la cual describe el comportamiento de un sistema dinámico en términos del trabajo y la energía almacenados en el sistema. Finalmente se realiza una comparación de ambos modelos en términos de ecuaciones analíticas. En el capítulo 4 se realizará el análisis de la mejora de la estabilidad del sistema propuesto mediante el uso de criterios de estabilidad tales como: Torque de precesión (torque estabilizador), tamaño y peso, potencia consumida por el giroscopio, facilidad de fabricación y la velocidad angular del volante del giroscopio. Con las cuales se contrastó antes modelos y se evaluó la mejora de la estabilidad de la bicicleta al usar el sistema Control Moment Gyroscope con el uso de dos giroscopios. Finalmente, en el capítulo 5 se presentan las conclusiones analíticas del trabajo de investigación. Se pretende motivar a la comunidad científica en la exploración de nuevos retos de ingeniería que pretendan mejorar la calidad de vida de las personas; por ejemplo, la seguridad en un vehículo como la bicicleta, la cual no solo beneficia al usuario, sino que lo mantiene sano y beneficia al planeta reduciendo la contaminación al disminuir el uso de combustibles fósiles. El presente trabajo cuenta con la colaboración principal de nuestro docente orientador Quino Valverde G., así como el apoyo de diversos docentes de la PUCP a quienes estamos profundamente agradecidos. Dedicamos esta obra a nuestras familias, quienes son nuestro motor para continuar con la dedicada labor de aportar a la Ingeniería. Asimismo, motivamos una vez más al lector al entendimiento de nuestra perspectiva y esperamos sea de su agrado. Los autores 4 CAPÍTULO 1. LA BICICLETA COMO MEDIO DE TRANSPORTE Durante el siglo XIX, la bicicleta evocó un nuevo y emocionante mundo, en el cual no importaba el estatus social para poder viajar lejos y utilizando únicamente la fuerza humana. Sin embargo, una gran interrogante por muchos años fue si de verdad este invento por el que muchos pelean patentes, estaba destinado a ser el inicio de una nueva era de viajes prolongados y de alta eficiencia o; si era simplemente el juguete de jóvenes tras su paseo por el parque. Han pasado casi dos siglos desde que la bicicleta comenzó a adaptar un concepto tecnológico en el que no pueden pasar desapercibidos años de desarrollo e ingenio que lo convierten en una maravilla de la ingeniería que transformó la imaginación del hombre; convirtiendo a la bicicleta, de esta manera, en una fuente de inspiración y admiración para quienes gustan de los viajes con el pelo al viento. (David V. Herlihy 2005) De esta manera, la bicicleta se convirtió en uno de los medios de transporte más eficientes, menos contaminantes, más económicos e incluso con beneficios para la salud. En distancias medianas y cortas la bicicleta es uno de los transportes más veloces, ya que puede evadir la congestión. Si la comparamos con el transporte público, la bicicleta es mucho más rápida incluso en distancias largas (Ver Tabla 1.1). Tabla 1. Tiempo promedio (en minutos) del recorrido convencional de una persona hacia su trabajo utilizando tres diferentes medios de transporte. Fuente: Soluciones Ambientales. 5 Asimismo, las emisiones de dióxido de carbono y gases contaminantes de la bicicleta son completamente nulas dada la no utilización de combustibles fósiles. De esta manera al no requerir ningún tipo de combustible solo se requiere comprar la bicicleta, en comparación con un automóvil, es al menos 10 veces más barato y no requiere un gasto diario del combustible ya que utiliza la fuerza humana. El sedentarismo ocasionado por el estilo de vida de las genera altos niveles de obesidad y enfermedades relacionadas a ello. El uso de la bicicleta en este sentido no solo reduce los niveles de riesgo, sino que también aporta una fuente de energía al cuerpo durante el día, mejorando la calidad de vida de las personas. (Soluciones Ambientales 2008) Sin embargo, surge una problemática que es la que se aborda en el presente trabajo, el problema de los siniestros registrados en las últimas décadas que se produjeron tras el uso masivo de la bicicleta y la falta de cultura y seguridad vial por parte de los agentes externos al ciclista. En adelante, se expondrán las posibles causas de los accidentes en el uso de la bicicleta. Son múltiples los accidentes reportados en relación con el uso de la bicicleta como medio de trasporte. Son diversos los motivos por los cuales las víctimas han sufrido lesiones categorizadas como leves y graves. Entre las causas, se ha identificado la repentina pérdida de la estabilidad dada por la impericia del usuario y que, generalmente, va asociada a factores externos como la marcha sobre calles húmedas o mojadas, sinuosas y con poca visibilidad por la noche. (Sánchez, 2002). Asimismo, se debe considerar el hecho de que el usuario maneje la bicicleta utilizando algún elemento distractor como auriculares o algún otro dispositivo móvil. Al respecto, se ha realizado una investigación en la ciudad de Boston (USA), dado el incremento exponencial del uso de la bicicleta en las calles. El objetivo fue brindarle al usuario mayor confort y percepción de seguridad. El estudio muestra a un total de 1974 ciclistas observados, de los cuales el 31,2% de ellos estuvieron distraídos1. Haciéndose notar la distracción auditiva en 17,7% y visual en 13,5%. Ambas 1 Considérese distraído al usuario que realiza cualquier otra actividad simultaneas al pedaleo y la vista atenta de la trayectoria a seguir 6 estuvieron representadas por audífonos y celulares en mano, respectivamente.(Wolfe et al. 2017) Un registro de accidentados en la ciudad de Copenhague, muestra que un 37,6% constituyen ciclistas lesionados en 2011 según la base de Datos de Accidentes de Dinamarca. La percepción de seguridad es un concepto referido a un sentimiento subjetivo resultante de la interacción entorno del tráfico-usuario. No es un concepto absoluto (a diferencia de la seguridad vial) pues varía según la edad y la pericia del ciclista. Algunas circunstancias de accidentes son calzada resbaladiza (nieve, hielo, hojas húmedas, etc.), agujeros en la carretera, piedras, objetos sueltos (como bolsas de compras o ropa que se queda pegada en la rueda o cadena). Transportar niños pequeños sin un asiento adecuado puede resultar en accidentes cuando el pie del niño queda atrapado en la rueda. Muchas causas de los accidentes están asociadas a factores intrínsecos a la persona. Los accidentes se pueden prevenir mediante el uso de medidas que cambien el comportamiento del usuario de la vía hacia un comportamiento más seguro. Algunas medidas de seguridad también aumentan la percepción de seguridad, pero no de todas. Por su parte, muchas ciudades presentan déficit en la gestión de sus vías públicas, entre ellas el Perú. Las calles no se encuentran en buen estado y hay una notoria ausencia de ciclovías. Según el reporte de la OMS2 del 2013 en Chile, se presentó un caso muy grave-con una cifra de 144 fallecidos- respecto a la situación que afrontan los ciclistas de dicho país. Según la directora de Bicicultura, Amarilis Horta, quién afirma lo siguiente: “Chile es uno de los países de la OCDE3 con los límites de velocidad más altos permitidos; en ciudades europeas tienen el 50% de sus calles limitadas a 20-30 Km/h, lo cual reduce sustancialmente el peligro de muerte por accidente de tránsito”. (La segunda Online, “Ciclistas en riesgo”, 2014) En el año 2015 se reportaron 60 accidentes de tránsito en la costa Verde de la ciudad de Lima. El colectivo COSTA VERDE DE TODOS alzó su voz de protesta para 2 Organización Mundial de la Salud (OMS) 3 Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) 7 manifestar su preocupación ante la falta de compromiso por parte del municipio de Lima de generar espacios públicos para peatones y construir más ciclovías. “La ley es para todos, tenemos los mismos derechos que los automóviles. El Ministerio de Transportes ni siquiera considera a la bicicleta como vehículo de transporte”, afirmó el ciclista Nils Castro (La República, 2015) 8 CAPÍTULO 2. EL CONTROL MOMENT GYROSCOPE COMO SISTEMA DE ESTABILIZACIÓN. 2. 1. Sistemas de estabilización en vehículos de 2 ruedas Los vehículos de dos ruedas (bicicletas y motocicletas) son por naturaleza inestables, debido a que poseen solo un punto de apoyo en cada rueda. Estos vehículos son ideales para el transporte urbano, debido a su maniobrabilidad, reducido tamaño y peso, y practicidad. Sin embargo, no son de uso común, ya que son vehículos inseguros: la más mínima perturbación genera pérdida de estabilidad. A continuación, se menciona y realiza una breve descripción de los sistemas más comunes que el hombre ha desarrollado en su intento por convertir bicicletas y motocicletas en medios de transporte más seguros y estables. Control de dirección Consiste en controlar el manubrio del vehículo de manera automática para poder direccionarlo en el sentido en el que se esté cayendo, para poder reponer el centro de masa. Este movimiento se ejecuta solo cuando montamos bicicleta a bajas velocidades para evitar caídas. Rueda de reacción Según la tercera ley de Newton, cualquier acción en un objeto estático o en movimiento, una reacción de igual magnitud y dirección contraria se produce. De igual manera se lleva a cabo en los sistemas giratorios, al aplicar un torque a una solido rígido, una reacción de igual magnitud y dirección opuesta se produce en el sistema. Las ruedas de reacción aprovechan este efecto para maniobrar y colocar en la inclinación deseada una nave sin necesidad de usar combustible. Si bien este método 9 se usa mayormente en satélites pequeños, se podrían también aplicar a vehículos terrestres. El problema con el uso de la rueda de reacción es que se requeriría de un torque muy grande y que sea aplicado rápidamente para poder estabilizar el vehículo. (Karthikeyan, KC. ,2016). Ilustración 1 .Diagrama de Reaction Wheel. Fuente: Comparison of control moment gyros and reaction wheels for small earth-observing satellites. Votel, R Control Moment Gyroscope El Control Moment Gyroscope o CMG es un dispositivo que aprovecha el fenómeno de la precesión giroscópica para producir un torque en el sistema. Consta de una volante de inercia que gira a altas velocidades y es forzada a precesar para generar un torque en el eje deseado. Son usados en su mayoría para orientar naves que se encuentran orbitando en el espacio. El CMG a diferencia de la rueda de reacción produce un torque mayor con una mejor eficiencia energética. Tabla 2. Métodos de balanceo según Torque y método de balance. Fuente: Elaboración propia Métodos para balanceo de bicicletas Sistema Torque Consumo de energía CMG Alto Muy Alto Control de Bajo para velocidades dirección bajas Bajo Rueda-Reacción Bajo Medio 10 Luego de una cuidadosa selección se optó por usar un sistema Control Moment Gyroscope CMG, debido a que este es el que ofrece una mayor fuerza de estabilización, la cual es la que contrarresta al momento producida por la fuerza de gravedad, asimismo es inclusive más preciso que sus análogos. La desventaja de este sistema es que tiene un alto consumo de energía debido al constante giro a alta velocidad del volante de inercia. Para que el CMG funcione la rueda tiene que girar a velocidad constante, eliminando cualquier posibilidad que el usuario sea el que accione el sistema. Por tal motivo, se requerirá el uso de un motor y baterías para su funcionamiento. 2. 2. Funcionamiento de un CMG Como se mencionó en la sección anterior el método a usar será el CMG, el cual se basa en el principio de la precesión giroscópica. Precesión giroscópica La precesión giroscópica es un fenómeno que ocurre en todos los objetos que poseen un giro sobre alguno de sus ejes. Este ocurre debido a la ley de conservación de momento angular. En la explicación dada Michel van Biezen para un mejor entendimiento se pone el siguiente ejemplo. Se tiene una rueda en el extremo de una vara que puede rotar libremente (ver ilustración 2). La rueda al girar con velocidad angular W posee un momento angular L0. El peso de la rueda genera un torque t en dirección de -X, el cambio de momento angular (dL) se da en dirección del torque aplicado, para que este cambio ocurra el disco tendría que moverse en esa dirección. Como la distancia de la rueda a la base es fija, el disco empezara a girar siguiendo la dirección del torque. 11 Ilustración 2. Ejemplo de precesión giroscópica [Van Biezen, M]. Fuente: Elaboración propia La definición de torque es: �⃗ 𝑑𝑑𝐿𝐿 �⃗ 𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Dada esta definición, el cambio de momento angular 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃗ siempre se dan en el sentido del torque 𝑇𝑇�⃗ . Además, se puede hallar la velocidad angular a la que se da el movimiento de precesión de la siguiente manera. Observando el gráfico se tiene que: 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 = sin𝑑𝑑 = tan𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ≪ 1° 𝐿𝐿0 12 Se define: � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐿𝐿 1 𝑑𝑑𝐿𝐿 1 𝑇𝑇Ω�⃗ = = ∗ = ∗ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿0 𝐿𝐿0 Finalmente se halla la velocidad de precesión: ��⃗ 𝑟𝑟 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 𝑔𝑔Ω = 2 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑟𝑟 ∗ 𝑊𝑊 𝑟𝑟 ∗𝑊𝑊 Entonces en general se puede establecer que, si a algún objeto que posea un movimiento angular en algún eje, se le aplica un torque en dirección perpendicular al eje de giro, el objeto iniciará un movimiento de precesión en el eje ortogonal al eje de giro y al eje en donde se aplica el torque. Funcionamiento de un CMG El principio de un CMG es de la precesión giroscópica, pero en el caso del CMG el torque el cual realiza el cambio de momento angular es forzado con el fin de generar el torque de precesión en el eje deseado. Esto se realiza con la ayuda de un motor secundario situado en un marco auxiliar que permite del giro de la volante, a este marco se le llama gimbal (ver arreglo de la ilustración 3). El motor secundario al imponerle un torque al eje de giro de la volante y hacerlo girar con ángulo 𝛿𝛿, el sistema ofrece un torque de resistencia perpendicular al torque que hace girar la volante y al torque de hace girar el eje. El CMG aprovecha este torque para contrarrestar la fuerza generada por la gravedad. La fuerza estabilizadora que ofrece el CMG es proporcional a la velocidad angular tanto de la volante como su eje de giro (Votel, 2012) 13 Ilustración 3. Diagrama de Control Moment Gyroscope. Fuente: Comparison of control moment gyros and reaction wheels for small earth-observing satellites Votel, R. En el ejemplo de la sección anterior, si se fija el brazo, se generaría un torque en todo el sistema con dirección en Z. Existen dos tipos de CMG, los de un gimbal o SGCMG (por sus siglas en ingles) y los de doble gimbal o DGCMG (por sus siglas en ingles). El ultimo ofrece la ventaja de poder ejercer el torque de precesión en cualquier eje; sin embargo, son más complicados de controlar. La ilustración 4 muestra una forma constructiva de un DGCMG. El SGCMG es más fácil de controlar pues posee una dinámica más sencilla, por ello será utilizado en el presente trabajo. 14 Ilustración 4. Forma constructiva de un DGCMG. Fuente: High-Precision Control for Magnetically Suspended Rotor of a DGMSCMG Based on Motion Separation, Jinjin Xie1, Gang Liu y Hu Liu A continuación, se muestra una figura de un CMG con un gimbal. Nótese que la volante solo puede girar en el eje del gimbal, a diferencia de la ilustración 4. Ilustración 5. Single Gimbal CMG. Fuente: Development of Control Moment Gyroscopes for Attitude Control of Small Satellites 15 CAPÍTULO 3. MODELAMIENTO DINÁMICO DE LOS SISTEMAS BICICLETA-CMG. En este capítulo se describirán las ecuaciones de movimiento del sistema cuando tiene una velocidad lineal nula, es decir en equilibrio dinámico. En primer lugar, se presentará el modelo dinámico realizado por Harun Yetkin en su tesis de maestría Stabilization of Autonomous Bicycle. Luego, utilizando la misma metodología se realizará con detalle el modelo dinámico de un sistema propuesto, para finalmente hacer una breve comparación entre ambos. En ambos modelos se realizarán las mismas consideraciones para facilitar el modelado. Las consideraciones son las siguientes: 1. La bicicleta se divide en tres solidos rígidos:  El marco de la bicicleta con las ruedas  Gimbal (El CMG sin la volante de inercia)  Flywheel (La volante de inercia) 2. Las ruedas se consideran como apoyos puntuales debido a que se consideraron con ancho despreciable. 3. Las ruedas ofrecen suficiente fuerza de rozamiento para evitar deslizamiento con el suelo. 4. Las masas de la bicicleta y la volante se considerarán concentradas en su centro de gravedad para efectos del cálculo de los momentos. 5. Las variables a controlar serán 𝑑𝑑 y sus derivadas. 6. El centro de masa de la bicicleta se considera en el asiento debido a que se cuenta a la persona que la está montando. 7. La masa de la bicicleta será la suma de la bicicleta con la masa de un adulto promedio en Perú. 16 Cabe mencionar que la nomenclatura usada en la tesis de Harun Yetkin es distinta a la que presentamos, esto se debe a que fue cambiada para poder realizar una comparación más sencilla con nuestro modelo. 3.1 Modelo dinámico desarrollado por Yetkin A continuación, se presenta el modelo con la nomenclatura cambiada. Ilustración 6. Marco de referencia de la bicicleta con sus tres ángulos principales. Fuente: Stabilization of Autonomous Bicycle. Harun Yetkin La lista de variables usada se presenta a continuación: Tabla 3. Variables utilizadas en el modelo dinámico de Yetkin Variable Símbolo Unidad Masa de la bicicleta mb [kg] Altura del c.m. de la bicicleta hb [m] Masa del gimbal mg [kg] Altura del c.m. del gimbal hg [m] Masa de la volante mf [kg] Altura del c.m. de la volante hf [m] Velocidad de la volante ?̇?𝜑 [rad/s] Constante de la gravedad g [m/ s2] Inercia de la bicicleta Ibx;y;z [kg. m2] 17 Inercia del gimbal Igx;y;z [kg. m2] Inercia de la volante Ifx;y;z [kg. m2] Angulo de inclinación 𝑑𝑑 [rad] Angulo del gimbal 𝛽𝛽 [rad] Aplicando el método de Lagrange- Euler, llegó a esta ecuación: 𝐾𝐾 ?̈?𝑑 = 1 𝑔𝑔 sin𝑑𝑑 + 2𝐼𝐼 ∗ �?̇?𝑑 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� − 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓�?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽� + 𝑑𝑑(𝑑𝑑) ℎ𝑏𝑏 sin𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝐾𝐾2 + � 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑏𝑏 � cos2 𝛽𝛽 + � 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 � sin2𝑔𝑔𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝛽𝛽 Donde: 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓 + 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔 = 𝐾𝐾1 𝑚𝑚 ℎ 2 2 2𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑔𝑔 ℎ𝑔𝑔 + 𝑚𝑚𝑓𝑓 ℎ𝑓𝑓 = 𝐾𝐾2 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑏𝑏 − 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑓𝑓 − 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐼𝐼 3.2 Modelo dinámico del sistema propuesto A diferencia del modelo de Yetkin, nuestra propuesta utiliza dos CMG para reducir su tamaño y aumentar el torque de estabilización. Además, que el eje de giro de la volante se encuentra en el eje Z. Las reacciones en la bicicleta debido al torque del motor para mover la volante y el gimbal son efectos contraproducentes a nuestro modelo. Las consideraciones realizadas anulan estos efectos; sin embargo, en realidad no es así. La peculiaridad de utilizar dos CMG es que girarán en sentido opuesto el uno con el otro, esto es puesto que, se busca eliminar estos efectos al hacerlos girar en sentidos opuestos; también para que el torque de precesión de ambos CMG actúe sobre el mismo eje y en la misma dirección. 18 Ilustración 7. Modelo del sistema propuesto. Fuente: Elaboración propia 𝑥𝑥′ ′1, 𝑦𝑦1, 𝑧𝑧′1 es solidario al primer cmg. Posee 𝜑𝜑̇ 𝑘𝑘�′1 y 𝛽𝛽̇ 𝚥𝚥′1̂ 𝑥𝑥′2, 𝑦𝑦′ ′2, 𝑧𝑧2 es solidario al segundo cmg. Posee −?̇?𝜑 𝑘𝑘�′2 y −𝛽𝛽̇ 𝚥𝚥′2̂ 19 Tabla 4. Variables usadas en el sistema propuesto. Fuente: Elaboración propia Nombre Símbolo Unidades BICICLETA Masa de la bicicleta 𝑚𝑚𝑏𝑏 [kg] Inercia de la bicicleta con respecto a su eje X 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 [kg *m2] Distancia del centro de masa de la bicicleta con respecto al suelo ℎ𝑏𝑏 [m] Angulo de rodadura de la bicicleta 𝑑𝑑 [rad] Velocidad angular de rodadura de la bicicleta ?̇?𝑑 [rad/s] Aceleración angular de rodadura de la bicicleta ?̈?𝑑 [rad/s2] Velocidad tangencial del centro de masa 𝑣𝑣𝛼𝛼𝑏𝑏 [m/s] VOLANTE DE INERCIA Ángulo de giro de la volante 𝜑𝜑 [rad] Velocidad angular de la volante ?̇?𝜑 [rad/s] Aceleración angular de la volante ?̈?𝜑 [rad/s2] Masa de la volante de inercia 𝑚𝑚𝑓𝑓 [kg] Inercia de la volante respecto a algún eje 𝐼𝐼?𝑓𝑓 [kg *m2] Distancia del centro de masa respecto al suelo ℎ𝑓𝑓 [m] Velocidad tangencial del centro de masa 𝑣𝑣𝛼𝛼𝑓𝑓 [m/s] GIMBAL Ángulo de giro del gimbal 𝛽𝛽 [rad] Velocidad angular del gimbal ?̇?𝛽 [rad/s] Aceleración angular del gimbal ?̈?𝛽 [rad/s2] Masa del gimbal 𝑚𝑚𝑔𝑔 [kg] Inercia del gimbal respecto a algún eje 𝐼𝐼?𝑔𝑔 [kg *m2] Distancia del centro de masa respecto al suelo ℎ𝑔𝑔 [m] Velocidad tangencial del centro de masa 𝑣𝑣𝛼𝛼𝑔𝑔 [m/s] PERTUBACIÓN Fuerza de perturbación 𝐹𝐹(𝑑𝑑) [N] Distancia a la que la perturbación se aplica respecto al suelo 𝑙𝑙 [m] 20 Ilustración 8. Direcciones positivas y negativas de los ángulos α y β. Fuente: Elaboración propia El modelado se realizará utilizando la misma metodología que en la tesis de Yetkin. Mediante el método de Lagrange-Euler. Se analizará solo un CMG, ya que ambos poseen la misma energía. Se define el Lagrangniano: 𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 Donde: T: Energía cinética del sistema. U: Energía potencial del sistema. Se encuentra la energía potencial del sistema. La energía potencial del sistema es la suma de la energía de cada parte 𝑈𝑈 = (𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔) ∗ cos𝑑𝑑 Se multiplica las masas por las alturas de la volante y del gimbal por dos, ya que al ser dos CMG idénticos estos valores se duplican. 21 Se encuentra la energía cinética del sistema 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑓𝑓 + 𝑇𝑇𝑔𝑔 Donde: Tb: Energía cinética de la bicicleta Tf: Energía cinética de la volante de inercia Tg: Energía cinética del gimbal La energía cinética total de la volante de inercia es 2 veces la energía de una sola, al igual que en el gimbal. La energía cinética se halla sumando la energía por cada velocidad. Velocidad tangencial y velocidades angulares en cada eje del sólido. Para el marco de la bicicleta con las ruedas. La velocidad angular de la bicicleta es: �𝑊𝑊����⃗𝑏𝑏 = ?̇?𝑑𝚤𝚤 ̂ La inercia de la bicicleta es: 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 0 0 𝐼𝐼𝑏𝑏 = � 0 𝐼𝐼 𝑓𝑓 𝑏𝑏 0 � 0 0 𝐼𝐼𝑧𝑧𝑏𝑏 La energía cinética se da con la expresión: 1 1 2 𝑇𝑇𝑏𝑏 = ∗ 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑣𝑣𝛼𝛼 2 𝑏𝑏 + ∗ 𝐼𝐼 x �𝑊𝑊����⃗ 2 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 La velocidad tangencial de la bicicleta es: 𝑣𝑣𝛼𝛼𝑏𝑏 = ℎ𝑏𝑏 ∗ ?̇?𝑑 La energía cinética de la bicicleta es: 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ 2 𝑏𝑏 ∗ ?̇?𝑑2 𝐼𝐼𝑏𝑏?̇?𝑑2𝑇𝑇𝑏𝑏 = + 𝑏𝑏 2 2 22 Para hallar la energía cinética de la volante y del gimbal se hallará la velocidad angular de cada uno con respecto a sus ejes. Para el gimbal. Ilustración 9. Velocidad angular del gimbal. Fuente: Elaboración propia La velocidad angular del gimbal es: 𝑊𝑊�����⃗ = ?̇?𝑑𝐼𝐼 + ?̇?𝛽𝚥𝚥�′𝑔𝑔 1 Se tiene que hallar la velocidad con respecto a los ejes del gimbal. Se tiene que: 𝐼𝐼 = sin𝛽𝛽 𝑘𝑘�′1 + cos𝛽𝛽 𝚤𝚤�′1 Entonces la velocidad angular quedaría de la siguiente manera: �𝑊𝑊����⃗ = ?̇?𝑑 cos𝛽𝛽 𝚤𝚤�′ + ?̇?𝛽𝚥𝚥�′ + ?̇?𝑑 sin𝛽𝛽 𝑘𝑘�′𝑔𝑔 1 1 1 La velocidad tangencial del centro de masa del gimbal es: 𝑣𝑣𝛼𝛼𝑔𝑔 = ℎ𝑔𝑔 ∗ ?̇?𝑑 23 La inercia del gimbal es: 𝑏𝑏′ ⎡𝐼𝐼 1𝑔𝑔 0 0 ⎤ 𝐼𝐼 = ⎢ 0 𝐼𝐼𝑓𝑓 ′ 1 ⎥𝑔𝑔 ⎢ 𝑔𝑔 0 ⎥ ⎢ ′ ⎥ ⎣ 0 0 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑔𝑔 ⎦ Entonces, su energía cinética es dada por: 1 𝛼𝛼2 1 �����⃗ 2𝑇𝑇𝑔𝑔 = 2 ∗ � ∗ 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑣𝑣𝑔𝑔 + ∗ 𝐼𝐼2 2 𝑔𝑔 x 𝑊𝑊𝑔𝑔 � 2 𝑏𝑏′ 2 2 𝑓𝑓′ ′𝑚𝑚 ℎ ∗ ?̇?𝑑2 𝐼𝐼 1 ?̇?𝑑 cos 𝛽𝛽 𝐼𝐼 1 ?̇?𝛽2 𝐼𝐼𝑧𝑧1 ?̇?𝑑2 sin2 𝛽𝛽 𝑇𝑇𝑔𝑔 = 2 ∗ � 𝑔𝑔 𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 2 2 2 2 � Para la volante de inercia De manera similar se analiza la volante de inercia. La diferencia con el gimbal es que la volante posee un giro en el eje z’. Ilustración 10. Velocidad angular de la volante. Fuente: Elaboración propia 24 La velocidad angular de la volante es: �𝑊𝑊����⃗𝑓𝑓 = ?̇?𝑑𝐼𝐼 + ?̇?𝛽𝚥𝚥�′1 + ?̇?𝜑𝑘𝑘�′1 Se necesita la velocidad angular en términos de 𝑥𝑥′ ′ ′1, 𝑦𝑦1, 𝑧𝑧1 Se tiene que 𝐼𝐼 = sin𝛽𝛽 𝑘𝑘�′1 + cos𝛽𝛽 𝚤𝚤�′1 Entonces �𝑊𝑊����⃗ �′ �′ �′𝑓𝑓 = ?̇?𝑑 cos𝛽𝛽 𝚤𝚤1 + ?̇?𝛽𝚥𝚥1 + ( ?̇?𝜑 + ?̇?𝑑 sin𝛽𝛽) 𝑘𝑘1 La velocidad tangencial del centro de masa es: 𝑣𝑣𝛼𝛼𝑓𝑓 = ℎ𝑓𝑓 ∗ ?̇?𝑑 Su inercia es: ′ ⎡𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑓𝑓 0 0 ⎤ ′ 𝐼𝐼𝑓𝑓 = ⎢ ⎥ ⎢ 0 𝐼𝐼 𝑓𝑓1 𝑓𝑓 0 ⎥ ⎢ ′ ⎥ ⎣ 0 0 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 ⎦ Entonces la energía cinética de la volante es: 1 1 𝑇𝑇𝑓𝑓 = 2 ∗ � ∗ 𝑚𝑚 𝛼𝛼 2 𝑓𝑓𝑣𝑣𝑓𝑓 + ∗ 𝐼𝐼𝑓𝑓 x �𝑊𝑊����⃗ 2 𝑓𝑓 � 2 2 2 ′𝑚𝑚 2 𝑏𝑏1 2 2 𝑓𝑓 ′ 1 2 𝑇𝑇 = 2 ∗ � 𝑓𝑓 ℎ𝑓𝑓 ∗ ?̇?𝑑 𝐼𝐼𝑓𝑓 ?̇?𝑑 cos 𝛽𝛽 𝐼𝐼+ + 𝑓𝑓 ?̇?𝛽 𝑓𝑓 2 2 2 𝐼𝐼𝑧𝑧 ′ 1 𝑓𝑓 ( ?̇?𝜑 2 + 2 ?̇?𝜑?̇?𝑑 sin𝛽𝛽 + ?̇?𝑑2 sin2 𝛽𝛽) + 2 � Teniendo las energías cinéticas de cada sólido, se procede a hallar la energía cinética de todo el sistema. 25 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ 2 𝑏𝑏 ∗ ?̇?𝑑2 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 ?̇?𝑑2𝑇𝑇 = + + 2 2 2 𝑚𝑚 ℎ 2 ′ ′ ′ 𝑔𝑔 𝑔𝑔 ∗ ?̇?𝑑2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 2 2 𝑓𝑓1 2 𝑧𝑧1 2 2 ∗ � + 𝑔𝑔 ?̇?𝑑 cos 𝛽𝛽 𝐼𝐼𝑔𝑔 ?̇?𝛽 𝐼𝐼+ + 𝑔𝑔 ?̇?𝑑 sin 𝛽𝛽 + 2 2 2 2 2 � 2 𝑏𝑏′ ′𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓 ∗ ?̇?𝑑2 𝐼𝐼 1 𝑓𝑓 ?̇?𝑑 2 cos2 𝛽𝛽 𝐼𝐼𝑓𝑓1 ?̇?𝛽2 ∗ � + + 𝑓𝑓2 2 2 𝑧𝑧′𝐼𝐼 1 ( ?̇?𝜑2𝑓𝑓 + 2 ?̇?𝜑?̇?𝑑 sin𝛽𝛽 + ?̇?𝑑 2 sin2 𝛽𝛽) + 2 � La ecuación de Lagrange es de la siguiente forma 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 � � − = 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝐽𝐽 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 Se necesita la fuerza en términos de 𝑑𝑑 𝐹𝐹(𝑑𝑑)𝐽𝐽 = 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝑙𝑙 sin𝑑𝑑 Entonces quedaría de la siguiente manera 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 � � − = 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝑙𝑙 sin𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 Hallando cada termino por separado 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑈𝑈 𝑑𝑑𝑑𝑑 � � = � − 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑� 𝜕𝜕𝑈𝑈 = 0 𝜕𝜕?̇?𝑑 26 𝜕𝜕𝑇𝑇 2 ′ ′= 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 ?̇?𝑑 + 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 ?̇?𝑑 + 2 ∗ �𝑚𝑚 ℎ 2 𝑔𝑔 𝑔𝑔 ?̇?𝑑 ∗ +𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑔𝑔 ?̇?𝑑 cos2 𝛽𝛽 + 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 2 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝑔𝑔 ?̇?𝑑 sin 𝛽𝛽 � + 2 ′ ′ ∗ �𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ 2 𝑓𝑓 ?̇?𝑑 + 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑓𝑓 ?̇?𝑑 cos 2 𝛽𝛽 + 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 ( ?̇?𝜑 sin𝛽𝛽 + ?̇?𝑑 sin 2 𝛽𝛽) � 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑈𝑈 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 � − � = � � 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑇𝑇 � � = 𝑚𝑚 ℎ 2𝑏𝑏 𝑏𝑏 ?̈?𝑑 + 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 ?̈?𝑑 + 2𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑 ′ ′ ′ ∗ �𝑚𝑚 2𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔 ?̈?𝑑 ∗ +𝐼𝐼 𝑏𝑏1 ?̈?𝑑 cos2 𝛽𝛽 + 𝐼𝐼𝑏𝑏1?̇?𝑑�−2cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑔𝑔 ?̈?𝑑 sin2 𝛽𝛽 ′ + 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 ?̇?𝑑�2cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽�� + 2 ∗ �𝑚𝑚 ℎ 2 𝑏𝑏 ′ ′ ′ 𝑓𝑓 𝑓𝑓 ?̈?𝑑 + 𝐼𝐼 1𝑓𝑓 ?̈?𝑑 cos 2 𝛽𝛽 + 𝐼𝐼𝑏𝑏1 𝑧𝑧1𝑓𝑓 ?̇?𝑑�−2cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + 𝐼𝐼𝑔𝑔 ?̈?𝑑 sin 2 𝛽𝛽 ′ ′ ′ + 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 ?̇?𝑑�2cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 ?̇?𝜑 cos𝛽𝛽 ?̇?𝛽 + 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 ?̈?𝜑 sin𝛽𝛽� Agrupando términos se tiene que: 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑇𝑇 � � = ?̈?𝑑 ∗ �𝑚𝑚 ℎ 2 𝑏𝑏 ′ ′ 𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 𝐼𝐼𝑏𝑏 + 2 𝑚𝑚 ℎ2 + 2 𝑚𝑚 ℎ2𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑓𝑓 𝑓𝑓� + � 2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 + 2𝐼𝐼𝑏𝑏1 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕?̇?𝑑 𝑔𝑔 𝑓𝑓 ′ ′ ∗ �?̈?𝑑 cos2 𝛽𝛽 − ?̇?𝑑2 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + �2𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 + 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 � ′ ∗ �?̈?𝑑 sin2 𝛽𝛽 + ?̇?𝑑2 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + 2 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽 + sin𝛽𝛽 ?̈?𝜑� También, 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑈𝑈 = − 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑇𝑇 = 0 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑈𝑈 = (𝑚𝑚 ℎ 𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑓𝑓 ℎ𝑓𝑓𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔) ∗ −sin𝑑𝑑 27 La ecuación quedaría así: ?̈?𝑑 ∗ �𝑚𝑚 ℎ 2 + 𝐼𝐼𝑏𝑏 + 2 𝑚𝑚 ℎ2 ′ ′ 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑔𝑔 𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚 2𝑓𝑓 ℎ𝑓𝑓� + � 2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑔𝑔 + 2𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑓𝑓 � ′ ′ ∗ �?̈?𝑑 cos2 𝛽𝛽 − ?̇?𝑑2 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + �2𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 + 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 � ′ ∗ �?̈?𝑑 sin2 𝛽𝛽 + ?̇?𝑑2 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + 2 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽 + sin𝛽𝛽 ?̈?𝜑� + (𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔) ∗ −sin𝑑𝑑 = 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝑙𝑙 sin𝑑𝑑 Agrupando términos y separando ?̈?𝑑 ?̈?𝑑 ∗ �𝑚𝑚 ℎ 2 𝑏𝑏 ′ ′ 𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 𝐼𝐼𝑏𝑏 + 2 𝑚𝑚 2𝑔𝑔 ℎ𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓 ℎ2𝑓𝑓 + � 2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑔𝑔 + 2𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑓𝑓 � cos 2 𝛽𝛽 𝑧𝑧′ ′ ′ ′ ′ ′+ �2𝐼𝐼 1𝑔𝑔 + 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 � sin 2 𝛽𝛽 � + �2𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 + 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 − 2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑔𝑔 − 2𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑓𝑓 � ′ ∗ �?̇?𝑑2 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� + 2 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽 + sin𝛽𝛽 ?̈?𝜑� − (𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔) ∗ sin𝑑𝑑 = 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝑙𝑙 sin𝑑𝑑 Finalmente ?̈?𝑑 (𝑚𝑚 𝑏𝑏 ′ 𝑏𝑏′ ′ ′ ′1 1 𝑧𝑧1 𝑧𝑧1 𝑧𝑧1 𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔) ∗ sin𝑑𝑑 + �2 𝐼𝐼𝑔𝑔 + 2𝐼𝐼𝑓𝑓 − 2𝐼𝐼𝑔𝑔 − 2 𝐼𝐼𝑓𝑓 � ∗ �?̇?𝑑2 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� − 2 𝐼𝐼𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽 + sin𝛽𝛽 ?̈?𝜑� + 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝑙𝑙 sin𝑑𝑑 = ′ ′ ′ ′ �𝑚𝑚 ℎ 2 𝑏𝑏 2 2𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 𝐼𝐼𝑏𝑏 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔 ℎ𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓 ℎ𝑓𝑓 + � 2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 + 2𝐼𝐼𝑏𝑏1 � cos2 𝛽𝛽 + �2𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 𝑓𝑓 𝑔𝑔 + 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 � sin2 𝛽𝛽 � Dándole nombre a las constantes: 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝐶𝐶1 𝑚𝑚 2𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 + 2 𝑚𝑚 2𝑔𝑔 ℎ𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚 ℎ2𝑓𝑓 𝑓𝑓 = 𝐶𝐶2 ′ ′ ′ ′ 2 𝐼𝐼𝑏𝑏1 + 2𝐼𝐼𝑏𝑏1 − 2𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑔𝑔 𝑓𝑓 𝑔𝑔 − 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 = 𝐶𝐶3 𝐶𝐶 𝑧𝑧 ′ 1 1 sin𝑑𝑑 + 2𝐶𝐶3 ∗ �?̇?𝑑 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� − 2 𝐼𝐼𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽 + sin𝛽𝛽 ?̈?𝜑� + 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝑙𝑙 sin𝑑𝑑?̈?𝑑 = ′ ′ ′ ′ 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝐶𝐶2 + � 2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 + 2𝐼𝐼𝑏𝑏1𝑔𝑔 𝑓𝑓 � cos2 𝛽𝛽 + �2𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑔𝑔 + 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 � sin2 𝛽𝛽 28 No se aplica Lagrange con respecto a 𝑑𝑑 ya que esta es la variable a ser controlada, tanto el ángulo como sus derivadas. Hay que tener en cuenta que al aumentar o disminuir 𝛽𝛽, el torque de precesión no se aplica únicamente en el eje X, este empieza a tener componente en el eje Z. Este efecto no es deseado ya que contribuiría a un desequilibrio en la bicicleta. En ambos modelos al asumir que las ruedas poseen suficiente fricción este efecto se desprecia, pero es importante tenerlo en cuenta. En Control Moment Gyroscope Stabilization and Maneuverability of Inherently Unstable Vehicles and Mobile Robots sugiere que el ángulo 𝛽𝛽 no supere los ±45° ya que pasado este ángulo la componente del torque en Z supera a la componente en X. Por lo que en el momento de aplicar el control lo deseable es que el CMG regrese a su posición inicial 𝑑𝑑 = 0° lentamente para no afectar la estabilidad. 3.3 Breve comparación de ambos modelos. Se observa que ambos modelos son similares, diferenciándose únicamente en el multiplicador 2, el cual es resultado de tener dos CMG. Esto nos dice que, con las consideraciones hechas, no importa la orientación de los ejes de giro del CMG, el efecto es el mismo. La variante se encuentra en los efectos no deseados y las alturas de los centros de masa. En el siguiente cuadro se verá lado a lado cada modelo Tabla 5. Cuadro comparativo de ambos modelos. Fuente: Elaboración propia Modelo 𝐾𝐾1𝑔𝑔 sin𝑑𝑑 + 2𝐼𝐼 ∗ �?̇?𝑑 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� − 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓�?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽� + 𝑑𝑑(𝑑𝑑) ℎ?̈?𝑑 = 𝑏𝑏 sin𝑑𝑑 por Harun 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝐾𝐾2 + � 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐼𝐼 2𝑓𝑓𝑏𝑏 � cos 𝛽𝛽 + � 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑓𝑓 + 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓 � sin2 𝛽𝛽Yetkin Modelo 𝑧𝑧′𝐶𝐶1 sin𝑑𝑑 + 2𝐶𝐶3 ∗ �?̇?𝑑 cos𝛽𝛽 sin𝛽𝛽 ?̇?𝛽� − 2 𝐼𝐼 1�?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽 + sin𝛽𝛽 ?̈?𝜑� + 𝐹𝐹(𝑑𝑑) 𝑙𝑙 sin𝑑𝑑del ?̈?𝑑 = 𝑓𝑓′ ′ ′ ′ sistema 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝐶𝐶2 + � 2 𝐼𝐼 𝑏𝑏1 𝑔𝑔 + 2𝐼𝐼 𝑏𝑏1 � cos2𝑓𝑓 𝛽𝛽 + �2𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑔𝑔 + 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 � sin 2 𝛽𝛽 propuesto 29 Donde: 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓 + 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔 = 𝐾𝐾1 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ 2 2 2 𝑏𝑏 + 𝑚𝑚𝑔𝑔 ℎ𝑔𝑔 + 𝑚𝑚𝑓𝑓 ℎ𝑓𝑓 = 𝐾𝐾2 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑏𝑏 − 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑓𝑓 − 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓ℎ𝑓𝑓𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝐶𝐶1 𝑚𝑚 ℎ 2𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 2 𝑚𝑚𝑔𝑔 ℎ2 2𝑔𝑔 + 2 𝑚𝑚𝑓𝑓 ℎ𝑓𝑓 = 𝐶𝐶2 𝑏𝑏′ ′ ′ ′2 𝐼𝐼 1𝑔𝑔 + 2𝐼𝐼 𝑏𝑏1 − 2𝐼𝐼𝑧𝑧1 𝑧𝑧1𝑓𝑓 𝑔𝑔 − 2 𝐼𝐼𝑓𝑓 = 𝐶𝐶3 Nótese que se mantendrá la velocidad de la volante constante por lo que ?̈?𝜑=0. De ambas ecuaciones se puede observar que:  El término con la aceleración de la gravedad, el cual hace referencia al peso del sistema actuando para desequilibrar a la bicicleta y el término con la velocidad angular de la volante ?̇?𝜑 tienen signos opuestos, esto de debe a que uno contrarresta al otro. En nuestro caso seria el torque producido por el CMG el que vence al torque producido por la gravedad para estabilizar el sistema y llevarlo a su posición de equilibrio. ′  El torque producido por el CMG el cual posee esta forma 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 ?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽, depende tanto de la inercia de la volante, velocidad angular de la volante como la del gimbal, y al ser directamente proporcionales, si cualquiera de los términos aumenta, más torque se producirá. Sin embargo, también significara mayor gasto de energía para aumentar de velocidad o al mover una mayor inercia. ′  Se observa lo que se mencionó anteriormente, el termino 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 ?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽, que se refiere al torque producido por el CMG depende de cos𝛽𝛽, esto quiere decir que a mayor ángulo del gimbal menor será el torque que contrarreste a la gravedad y se requerirá aumentar los demás términos, resultando en un 30 sistema ineficiente. Nótese que al llegar 𝛽𝛽 = 0° el torque se hará cero, incrementando la aceleración de 𝑑𝑑 y habiendo un mayor desequilibrio.  Con un centro de masa más bajo, habrá un menor torque producido por la gravedad, siendo más fácil estabilizar la bicicleta.  En caso exista un aumento de masa (para generar mayor inercia en la volante), se generará un mayor torque producido por la gravedad. Es decir, se necesitará un mayor torque estabilizador.  El signo de la fuerza de perturbación posee el mismo signo que el término de la gravedad, esto es porque también contribuye al desequilibrio del sistema. 31 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LA MEJORA DE LA ESTABILIDAD DE LA BICICLETA Ambos modelos al ser parecidos se procederá a analizar como afectara el que hallan dos CMG, además del efecto que tendrán al colocarlos a una mayor altura. Para un mejor análisis se definen unos criterios los cuales nos ayudaran a analizar el comportamiento del sistema como vehículo de transporte. Los criterios abarcan desde que tan bien funciona el sistema estabilizante hasta que tan complicada seria la construcción de la bicicleta. Los criterios son los siguientes: a) Torque de precesión (torque estabilizador): Es el torque generado por el CMG, el cual contrarresta al de la gravedad y evita el desequilibrio de la bicicleta. b) Tamaño y peso: Dentro de las características de un vehículo de dos ruedas, el tamaño y el peso son las cualidades más importantes. Si el vehículo es muy grande o muy pesado perdería maniobrabilidad y practicidad. c) Potencia consumida por el giroscopio: Se refiere a toda la potencia que consume el CMG; este parámetro es muy importante, ya que al ser un vehículo eléctrico necesita de un sistema eficiente para recorrer una mayor distancia. La potencia se calculará sumando las potencias del motor para acelerar la volante a la velocidad requerida y para vencer la fricción, y la del motor del gimbal que estará en constante movimiento para equilibrar la bicicleta d) Facilidad de fabricación: Se refiere a la facilidad de construir la bicicleta y los CMG. Además, de conseguir las piezas y del número de piezas. Se hará un análisis cualitativo de este parámetro e) Velocidad angular del volante del giroscopio (rangos permisibles): Se encontrarán los rangos permisibles de la velocidad angular de la volante, dentro de ese rango el sistema deberá funcionar como lo esperado y sin tener 32 que girar a velocidades demasiado altas, ya que esto significaría colocar un motor muy potente, el cual además de ser pesado es costoso. Torque de precesión (torque estabilizador) En ambos modelos se puede observar cual es el torque generado por el CMG. Este es para cada modelo: Modelo de Yetkin 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓� ?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽� Modelo propuesto ′ 2 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽� Se observa que el torque del modelo propuesto es el doble, mientras ambos tengan el mismo flywheel. Esto era de esperarse ya que hay 2 volantes actuando sobre el sistema. Tamaño y peso El modelo propuesto se espera que tenga un menor tamaño ya que al tener dos CMG, estos se pueden poner a lo largo del vehículo, ocupando menor espacio. En términos de peso, se analizará el caso en que ambos tengan el mismo torque estabilizante. La 2 inercia del flywheel, cuya geometría se asemeja a un cilindro es 𝑚𝑚∗𝑅𝑅 siendo m la 2 masa del flywheel y R el radio. Si asumimos que la masa de la volante es dada por 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉, donde u es una constante del material y V es el volumen del cilindro, la relación entre el aumento del radio con el de la masa tiene función cuadrática. Igualando torques y velocidades: Modelo propuesto: Radio= R Masa= 𝑐𝑐 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝑙𝑙 Al haber dos flywheel: Masa= 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝑙𝑙 = 2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 Inercia= 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅4 33 Modelo de Yetkin: Radio=r Masa= 𝑐𝑐 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑟𝑟2 ∗ 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑟𝑟2 Igualando torques: 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅4 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑟𝑟4/2 Se tiene que: 𝑟𝑟 = 4√2 ∗ 𝑅𝑅 Entonces las masa quedarían Modelo propuesto: 2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 Modelo de Yetkin: 2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑅𝑅2 Ambas masas son iguales, sin embargo, en el modelo propuesto la masa de cada volante es la mitad. La diferencia radica en el radio, siendo en el modelo de Yetkin 1.2 veces el valor del radio de la volante del modelo propuesto. Potencia consumida por el giroscopio No se cuenta con un método exacto para medir la potencia consumida; sin embargo, con el fin de comparar ambos modelos, la masa de cada volante será el indicador principal, las cuales en movimiento consumirían dicha potencia. La mayor potencia se consumirá en el motor del gimbal dado que la volante se mantendrá a velocidad constante. En el apartado de tamaño y peso se concluye que la volante del modelo de Yetkin siempre tendrá más masa que cada volante del modelo propuesto. Sin embargo, en el modelo propuesto se moverán dos volantes. El torque realizado por el motor del gimbal consumirá potencia proporcional a la inercia de la volante en ese eje. Despreciando el espesor de la volante, la inercia se da con la siguiente fórmula: 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚∗(𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)2 . Entonces la inercia total se cada modelo es: 4 2 2 Modelo propuesto = 2 ∗ 𝑚𝑚∗(𝑅𝑅) ∗(𝑅𝑅) =0.5 ∗ 𝑚𝑚 ∗ (𝑅𝑅)4 4 34 2 Modelo de Yetkin = �2∗𝑚𝑚∗(𝑅𝑅) �∗(1.2∗𝑅𝑅) 2 = 0.72 ∗ 𝑚𝑚 ∗ (𝑅𝑅)4 4 La inercia del modelo de Yetkin es el doble, por lo que consumirá mayor potencia. Facilidad de fabricación El modelo propuesto posee dos volantes; por lo tanto, se tendrá que usar el doble de piezas, pero con motores de menor capacidad. 35 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES  La magnitud del torque estabilizante generado por el Control Moment Gyroscope es independiente al eje al que se encuentra orientado la volante y el gimbal. Ello se evidencia en la contrastación de los modelos, cuyas ′ expresiones 𝐼𝐼𝑓𝑓𝑓𝑓� ?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽� y 2 𝐼𝐼 𝑧𝑧1 𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽� no dependen de la orientación del eje de giro.  Viendo el cuadro comparativo de los modelos estudiados, la altura con respecto al piso a la que se encuentre el CMG no es una variable determinante en el cálculo del torque de precesión, el cual para diferentes configuraciones permanecerá constante. La altura solo afecta al centro de gravedad del sistema, es decir, al torque generado por la gravedad (desestabilizante). ′  Dado que el torque de precesión es función de la inercia: 2 𝐼𝐼𝑧𝑧1𝑓𝑓 �?̇?𝜑 ?̇?𝛽 cos𝛽𝛽� ,la cual tiene dependencia cuadrática con el radio; la geometría (radio medio) de la volante jugará un rol más importante que su masa.  El sistema del CMG será totalmente automatizado, se deberá medir con sensores 𝛽𝛽 y sus derivadas  En el análisis realizado de ambos modelos, se concluye que el modelo propuesto tendría un mejor comportamiento como vehículo de transporte. Si bien posee un mayor peso y una mayor complejidad de fabricación, es de menor tamaño, más eficiente y la potencia de los motores requeridos es menor, haciéndolos más sencillos de conseguir y menos costosos. 36 BIBLIOGRAFÍA  Eriksson, A. (2013). Seguridad en el tráfico y percepción de seguridad- Cómo ir en bicicleta y sobrevivir. Municipio de Copenhague (Dinamarca). 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