Elementos de la teoría del tráfico vehicular Rodrigo Fernández A. A diferencia de otras publicaciones que tratan sobre los elementos de la teoría del tráfico vehicular, destinadas a enseñar cómo se aplican estos conceptos, este libro presenta las bases conceptuales del fenómeno, lo que permite entender sus principios básicos. Por ello, puede ser utilizado en cursos avanzados de ingeniería o en estudios de posgrado en transporte. Sin embargo, la claridad de la exposición también es útil para los lectores provenientes de otras disciplinas interesados en el tema. Según el autor, “el tránsito es la circulación de personas, algunas de ellas en vehículos, por el espacio público”. Esto implica que, más allá de ser un fenómeno físico que requiere ser entendido, debe ser puesto al servicio de la sociedad y, en especial, de las personas más vulnerables: peatones, niños, ancianos y personas con discapacidad. Nick Tyler Chadwick Professor of Civil Engineering Head of Depar tment, Civil, Environmental & Geomatic Engineering Director, UCL CRUCIBLE Centre for Lifelong Health and Wellbeing Director, UCL Accessibility Research Group University College London Juan Carlos Dextre, editor Elem entos de la teoría del tráfico vehicular Rodrigo Fernández A. Elementos de la teoría del tráfico vehicular El autor Rodrigo Fernández Aguilera nació en Santiago de Chile en 1958. Es Ingeniero Civil de la Universidad de Chile, posee un Diploma of Imperial College (DIC) in Transport y es MSc y PhD in Transpor t Studies por la Universidad de Londres. En 1986 se inició en la carrera académica en el Depar tamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Concepción (Chile) donde ayudó a fundar el Área Ingeniería de Transporte. En 1992 se traslada al Depar tamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Chile, llegando a ser Jefe de la División Ingeniería de Transpor te. Desde marzo de 2006 se desempeña como profesor titular de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de los Andes, y desde el 2010 es el Decano de la Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas de la misma universidad. Dicta los cursos Sistemas de Transporte, Ingeniería de Tránsito, Proyecto de Vialidad Urbana y Simulación. Su línea de investigación es la ingeniería de tránsito y, dentro de ésta, la micro simulación y diseño de prioridades para buses. Es autor de tres capítulos en libros, una treintena de publicaciones en revistas de la especialidad y casi cincuenta ar tículos en congresos de ingeniería de transporte. Juan Carlos Dextre Profesor Principal y Coordinador del Área de Transporte del Depar tamento de Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Elementos de la teoría del tráfico vehicular Rodrigo Fernández A. Juan Carlos Dextre, editor Elementos de la teoría del tráfico vehicular Rodrigo Fernández A. Juan Carlos Dextre, editor © Rodrigo Fernández A. y Juan Carlos Dextre, 2011 De esta edición: © Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, 2011 Av. Universitaria 1801, Lima 32, Perú Teléfono: (51 1) 626-2650 Fax: (51 1) 626-2913 feditor@pucp.edu.pe www.pucp.edu.pe/publicaciones Diseño, diagramación, corrección de estilo y cuidado de la edición: Fondo Editorial PUCP Primera edición: febrero de 2011 Tiraje: 1000 ejemplares Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2011-02811 ISBN: 978-9972-42-953-8 Registro del Proyecto Editorial: 31501361100879 Impreso en Tarea Asociación Gráfica Educativa Pasaje María Auxiliadora 156, Lima 5, Perú A María Cristina y a mis hijos Juan Cristóbal y Sofía Contenido 1. Introducción a la teoría de tráfico 14 1.1. Definiciones y presentación del problema 14 1.2. Conflictos de tráfico 17 1.3. Modelos de circulación continua 19 1.3.1. Modelo fluidodinámico 20 1.3.2. Teoría del seguimiento vehicular 35 1.3.3. Estabilidad e inestabilidad del tráfico 42 Referencias 46 2. Capacidad de dispositivos viales 50 2.1. Concepto de capacidad y grado de saturación 50 2.2. Capacidad de vías 52 2.3. Capacidad de intersecciones 58 2.3.1. Capacidad de intersecciones semaforizadas 59 2.3.2. Capacidad de intersecciones con señal de prioridad 77 2.3.3. Capacidad de rotondas 88 2.4. Capacidad de transferencia 91 2.4.1. Estaciones de transferencia 91 2.4.2. Estaciones de transpor te público 93 2.5. Capacidad de cruces peatonales 100 2.5.1. Capacidad vehicular en cruces de cebra 100 2.5.2. Capacidad del cruce de peatones 102 Referencias 105 3. Detenciones, colas y demoras 110 3.1. Conceptos básicos de teoría de colas 110 3.2. Función transformada 114 3.3. Indicadores de estado de una cola 117 3.4. Demoras, colas y detenciones en intersecciones 120 3.4.1. Intersecciones con semáforos 120 3.4.2. Intersecciones no semaforizadas 129 3.4.3. Demora geométrica en intersecciones 132 3.5. Demoras y colas en estaciones de transpor te público 134 Referencias 140 4. Modelación de redes de tráfico urbano 144 4.1. Perspectiva de la modelación de redes viales 144 4.2. Modelación de elementos de redes urbanas 148 4.3. Modelación del tráfico en redes urbanas 153 4.3.1. Histogramas cíclicos de flujo 154 4.3.2. Modelo de dispersión de tráfico 161 4.4. Índice de rendimiento de una red urbana 168 4.5. Optimización del rendimiento de una red urbana 174 Referencias 175 Preguntas teóricas 180 Problemas resueltos 192 Prefacio El tránsito o tráfico es la circulación de personas, algunas de ellas en vehículos, por el espacio público. Se trata de un fenómeno físico y, a la vez, social. Estamos convencidos de que cualquier análisis de los problemas del tránsito urbano par te del reconocimiento de las bases conceptuales de este fenómeno. A estas bases conceptuales las llamaremos teoría del tráfico vehicular. Una vez entendidos los elementos de la teoría del tráfico vehicular los podemos aplicar a lo que se denomina la ingeniería de tránsito, que es la aplicación de técnicas de la ingeniería para aminorar los impactos sociales, urbanos y ambientales derivados del tráfico. Los diseños conceptuales propuestos por la ingeniería de tránsito deben ser traducidos a planos de ingeniería que realizan los diseñadores viales. Son estos planos los que, final- mente, se materializan en las calles. En consecuencia, ningún dispositivo vial o medida de gestión de tráfico será acabado si no se conocen los principios apor tados por la teoría que aquí se esboza. Este texto presenta los principios para el estudio de la circulación de vehículos. Está concebido para estudiantes de habla hispana de cursos avanzados de ingeniería civil o de posgrado en ingeniería de transpor te. En el primer capítulo se muestra la génesis del problema desde la perspectiva del análisis de sistemas de transpor te. Se propone una definición del tránsito o tráfico y se muestra su inserción como fenómeno físico en el sistema de transpor te. Posteriormente, se definen y caracterizan los conflictos que tienen lugar en la circulación. Luego, se presentan dos categorías de modelos para entender la circulación en tramos de vía de circulación con- tinua: el modelo fluidodinámico y la teoría del seguimiento vehicular. Para cada categoría de modelo se establecen sus variables y relaciones. Se cierra la exposición con la descripción del uso combinado de ambos tipos de modelos para el análisis de la inestabilidad del tráfico, 10   Elementos de la teoría del tráfico vehicular cuando el flujo se aproxima a la capacidad. Esto deja abier ta la discusión para continuar con el estudio de la capacidad de dispositivos viales. El segundo capítulo trata de la capacidad de diversos dispositivos viales. Primero, se presenta una discusión sobre la relación entre capacidad y el nivel de congestión o grado de saturación. Luego, se estudia la capacidad de tramos de vías mediante un modelo empí- rico. El problema de la capacidad de cruces o intersecciones es analizado en detalle, y se separan los casos de intersecciones reguladas con semáforo, señal de prioridad y rotonda. En el tema de capacidad de intersecciones semaforizadas se trata el problema de expresar la capacidad en unidades de tráfico homogéneas: los vehículos equivalentes. La capacidad de intersecciones reguladas con señal de prioridad y rotondas se aborda mediante modelos estocásticos (de brechas) y de regresión lineal. Posteriormente, se aborda el problema de capacidad de estaciones de transpor te público y se muestran dos tipos de modelación: analítica y mediante simulación microscópica. Finalmente, se discute la capacidad de cruces peatonales tanto desde la perspectiva de los vehículos como de los peatones. El tercer capítulo presenta el tema de cómo medir la eficiencia de dispositivos via- les. Los índices de rendimiento tratados son longitudes de colas, magnitud de demoras y número de detenciones. En primer término, se presentan algunos conceptos básicos de la teoría de colas clásica, para asimilarla a lo que ocurre en la vialidad. Luego, se introduce una aproximación al tema de colas en dispositivos viales: la función transformada. A par tir de ella, se definen los indicadores de rendimiento comúnmente usados en intersecciones y estrangulamientos, las tasas de demoras y detenciones, y las demoras y detenciones promedio. Con esta definición, se trata posteriormente el cálculo de estos indicadores en intersecciones reguladas con semáforos, así como las no semaforizadas. A continuación, el cálculo de la demora geométrica en intersecciones se aborda brevemente. Por último, se trata el tema de demoras y colas en estaciones de transpor te público, con énfasis en lo que ocurre en paraderos de buses, usando resultados de investigaciones chilenas al respecto. En el capítulo final se aborda el problema de modelación de redes de tráfico urbano. La característica de este tipo de red es su densidad en nodos (cruces de calles) y arcos (pistas de circulación). Esto hace que la forma tradicional de modelación de redes de trans- por te, basada en curvas flujo-velocidad, tenga que ser acomodada a la realidad urbana. En el documento, se presenta primero un resumen de los modelos de redes de transpor te y se concluye que la perspectiva para redes urbanas es usar una aproximación como la utilizada en el programa computacional TRANSYT. Posteriormente, se muestra la forma de 11   Prefacio modelar elementos de redes urbanas densas: arcos, nodos y líneas de detención. Luego, se expone cómo modelar el tráfico a través de dos componentes: los histogramas cíclicos de flujo y el modelo de dispersión de tráfico. La modelación de una red urbana permite calcular la cantidad de recursos consumidos por los usuarios que circulan por ella. Esto se conoce como el índice de rendimiento. La forma de cálculo del índice de rendimiento de una red y su optimización para coordinar semáforos concluyen el texto. Las fuentes de este libro son principalmente recopilaciones de textos, ar tículos y apuntes de clases. Entre estas últimas destacan las de los profesores Tristán Gálvez y Jaime Gibson, de la Universidad de Chile, así como las de Richard Allsop y Ben Heydecker, del Uni- versity College London. No obstante, todos los errores son responsabilidad única del autor. El autor agradece a la Universidad de los Andes (Santiago-Chile) por la motivación para la redacción de los manuscritos, así como el apoyo para su transformación en un texto de estudio. Asimismo, agradezco a Juan Carlos Dextre por la elaboración de esta nueva edición y al Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú por su publicación. Rodrigo Fernández A. Lima, 2011 1. Introducción a la teoría del tráfico 1. Introducción a la teoría del tráfico 1. Introducción a la teoría de tráfico 1.1. Definiciones y presentación del problema El “problema del transpor te” ha sido enfocado desde diversas perspectivas. Manheim (1984) ofrece una en la cual se puede reconocer la importancia del estudio del tráfico como fenómeno físico. El enfoque clásico de Manheim para entender la dinámica del transpor te se resume en la figura 1.1. A T F Figura 1.1. Esquema de Manheim Cambios a mediano plazo Cambios a largo plazo Generan a corto plazo 15   Introducción a la teoría del tráfico Donde: A = sistema de actividades en un área geográfica (país, región, ciudad, comuna, etcétera): • residencia; • trabajo y estudio; • servicios; y, • esparcimiento. T = sistema de transpor te en el área geográfica compuesto por: • vías; • vehículos; • terminales (estaciones, paraderos, estacionamientos), y; • forma de operar el sistema (sentidos de calles, frecuencia de los buses, etcétera). F = patrón de viajes en el área, es decir, la cantidad de viajes de personas y cosas: • entre distintos pares origen – destino; • en diversos medios o modos de transpor te (auto, bus, metro, a pie, etcétera); • por variadas rutas (conjuntos conexos de vías); y, • durante diferentes períodos (punta mañana, tarde, fuera de punta, etcétera). De acuerdo con este enfoque, la interacción entre el sistema de actividades (A) y el sistema de transpor te (T) genera, en el cor to plazo, un determinado patrón de vajes (F). Según las características de F, se producirán cambios sobre T en un mediano plazo (e.g., aumento de frecuencias del transpor te público, nuevas conexiones viales) o sobre A en un plazo más largo (e.g., creación de centros comerciales, cambio de lugar de residencia). El esquema de Manheim de la figura 1.1 es un avance para entender la dinámica del problema de transpor te, pero se puede detallar un poco más. Según su definición, F puede ser descrito por una matriz origen-destino {Tij} por modo y período, en la que las celdas son el número de viajes entre zonas orígenes (i) y zonas destinos (j). No obstante, la manifestación física de esos viajes es el tránsito o tráfico ; es decir, la circulación de personas por el espacio público en diversos modos de transpor te. Según la calidad de esa circulación, se generarán impactos sobre los usuarios del sistema —y sobre su entorno— que producirán los cambios de mediano y largo plazo sobre T y A. Conse- cuentemente, el esquema de Manheim se puede extender como se muestra en la figura 1.2. 16   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Calidad F Tráfico I A T Figura 1.2. Importancia del tráfico en la dinámica del sistema de transporte Generan a corto plazo Cambios a largo plazo Cambios a mediano plazo Manifestación Donde: I = conjunto de impactos derivados del tráfico: • congestión: demoras a usuarios, formación de colas y detenciones de vehículos; • polución: emisión de contaminantes atmosféricos; • riesgo: aumento en la gravedad y número de accidentes; • ruido: emisión de vibraciones sonoras y físicas; • segregación: aumento del tiempo y distancia de cruce de cauces vehiculares; • intimidación: disminución del uso del espacio público para otros fines; y, • intrusión visual: reducción del campo visual por vehículos o infraestructuras. 17   Introducción a la teoría del tráfico En lo que sigue, nos concentraremos en uno de los impactos mencionados —la congestión—, no porque los otros impactos no sean relevantes, sino porque la congestión es un efecto directo y primario sobre los usuarios del sistema de transpor te. Hay que hacer notar, sin embargo, que, aunque la “congestión” es un concepto vago, tiene una manifestación física: demoras, colas y detenciones. Estas son susceptibles de medirse en la calle o predecirse con modelos matemáticos. Por lo tanto, decir que “hay congestión” en una calle o que cier ta intersección de calles está “congestionada” solo tiene sentido si las demoras, colas y detenciones que allí se producen exceden un cier to umbral. Más adelante, veremos cómo definir este umbral. 1.2. Conflictos de tráfico Si el tráfico es la circulación de gente por el espacio público, entonces generará interacciones entre personas: en algún instante, se encontrarán dos personas que están circulando. Estas interacciones darán origen a “conflictos” durante la circulación. Se producirá un conflicto de tráfico cuando dos o más personas pretendan usar simultáneamente un mismo recurso del sistema de transpor te. Se entenderá como recurso del sistema de transpor te a una porción de vía, un área dentro de una intersección, un lugar en un terminal o un espacio en el interior de un vehículo. Respecto de la forma y la razón por la cual se producen los conflictos de tráfico, estos se pueden clasificar en tres tipos: concurrenciales, direccionales y funcionales. Vea- mos cada uno de ellos: a) Los conflictos concurrenciales se producen en una misma porción de vía, circu- lando en la misma dirección, pero con distintas velocidades. Esquemáticamente, se muestran en la figura 1.3. El vehículo 1 lleva una velocidad v1 > v2, velocidad del vehículo 2. Por lo tanto, ambos se encuentran en el punto P en un cier to instante. Las posibilidades de solu- ción de este conflicto son tres: • El vehículo 1 adelanta al vehículo 2; • El vehículo 1 ajusta su velocidad a la del vehículo 2; y, • Accidente: el vehículo 1 colisiona con el vehículo 2. 18   Elementos de la teoría del tráfico vehicular b) Los conflictos direccionales se producen en una misma área de una intersección, debido a las distintas maniobras que realizan los vehículos (ver figura 1.3). Sus soluciones son también tres: • El vehículo 2 siempre le cede el paso al 1 (señal de prioridad); • El derecho de paso se alterna en el tiempo (semáforo); y, • Accidente: los vehículos colisionan. c) Los conflictos funcionales se producen en un mismo lugar de un terminal —formal o informal— por distintos objetivos de los vehículos. En la figura 1.3, el vehículo 1 quiere circular y el vehículo 2 detenerse para tomar o dejar pasajeros o carga. Las soluciones son parecidas a la de los conflictos concurrenciales: • El vehículo 1 adelanta al vehículo 2. • El vehículo 1 se detiene tras el vehículo, mientras este carga y descarga. • Accidente: el vehículo 1 colisiona con el vehículo 2. Obviamente, la peor solución a los conflictos es el accidente. Aunque se elimina el conflicto, sus efectos son trágicos (daños y víctimas). Aunque las otras soluciones tienen efectos negativos —como demoras, detenciones y colas indeseables— no son catastróficos. La solución a los conflictos requiere una buena regulación. Es decir, bajo qué reglas operará un determinado dispositivo vial. Por ejemplo, qué movimiento tendrá prioridad en una intersección o cuánto tiempo de verde se le asignará a cada movimiento. El diseño de esta regulación debe ser eficiente y seguro. Para ello, es necesario, en primer lugar, estudiar el desarrollo de los conflictos. En lo que sigue, se estudiará el tráfico en función de los conflictos. Se puede, enton- ces, abordar el estudio desde dos perspectivas: • estudio de la circulación continua (conflictos concurrenciales); y, • estudio de la circulación interrumpida (conflictos direccionales y funcionales) 19   Introducción a la teoría del tráfico Vehículo 2 (v2) Vehículo 1 (v1) P a) Conflictos concurrenciales b) Conflictos direccionales c) Conflictos funcionales Cruce Convergencia Divergencia Entrelace Figura 1.3. Clasificación de los conflictos de tráfico 1.3. Modelos de circulación continua La circulación continua se caracteriza por la ausencia de detenciones obligadas a lo largo de un tramo de vía, que puedan deberse a la presencia de dispositivos viales como intersecciones. No obstante, se pueden producir detenciones por efectos de interacciones entre vehículos que circulan en el mismo sentido, pero con diferentes velocidades; es decir, producto de conflictos concurrenciales. Es lo que sucede, por ejemplo, a lo largo de una pista, de un camino, de una autopista, de túnel o un puente. El estudio de la circulación en estas condiciones es el más fácil de formalizar. Por lo mismo, históricamente, fue el primero que se llevó a cabo. 20   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Estudiaremos dos aproximaciones al problema de la circulación continua: • El modelo fluidodinámico. El tráfico es considerado como un flujo continuo de par tículas idénticas. Por lo tanto, su representación se hace sobre la base de variables de estado promedio. • La teoría del seguimiento vehicular. A diferencia del enfoque anterior, no se estudia el comportamiento promedio, sino las interacciones entre un par de vehículos: el antecesor y el sucesor. Sin embargo, se mantiene el supuesto de que los vehículos son idénticos. 1.3.1. Modelo fluidodinámico La vía donde se produce la circulación continua no es necesariamente recta. Puede tener curvatura horizontal y ver tical; además, las pistas de circulación tienen anchos distin- tos a cero. Sin embargo, desde un punto de vista que abarque unos kilómetros, se puede representar la circulación a lo largo de un solo eje espacial. Para “ver” la circulación (movimiento) se requiere, además, del eje temporal. Enton- ces, el tráfico se verificará en una “ventana” espacio-temporal. La figura 1.4 muestra cómo observar el tráfico de un conjunto de vehículos que circulan a distintas velocidades en un tramo de longitud L y durante un período T. t s s0 t0 Observación en movimiento Observación temporal Observación espacial A B T L Figura 1.4. Representación del tráfico en el espacio (s) y el tiempo (t) 21   Introducción a la teoría del tráfico En la figura, la pendiente de las trayectorias espacio-tiempo (s-t) de los vehículos es su velocidad. Cuanto más ver tical la curva, mayor es la velocidad. También se pueden ver dos puntos donde se producen conflictos concurrenciales, que se solucionan de formas distintas. El punto A representa un adelantamiento. El punto B es un alcance (el vehículo más rápido ajusta su velocidad a la del más lento). Si en B se hubiese producido una colisión por alcance, las curvas se habrían transformado en dos rectas horizontales a par tir de ese instante. Como se muestra en la figura, el tráfico puede ser observado desde tres puntos de vista: • Observación temporal. El observador se para en un punto s0 del tramo y observa lo que ocurre durante todo el período T. En la figura, observará n = 5 vehículos. • Observación espacial. En un instante t0, el observador da un vistazo global a todo el tramo L; por ejemplo, toma una foto aérea. Capta n’ = 4 vehículos. • Observación en movimiento. El observador entra a la corriente vehicular y, cir- culando a velocidad contante, obtiene información (ejemplo, método del “vehículo flotante” para medir velocidades). En la figura, alcanza a examinar n’’ = 2 vehículos. Se obtienen distintas variables de estado de la corriente de tráfico según el tipo de observación. En este texto, nos concentraremos en las dos primeras. a) Variables obtenidas de una observación temporal • Flujo (q). También se suele referir como volumen. Es la cantidad n de vehículos que pasan por el punto s0 durante el período T. Usualmente, se expresa en vehículos por hora [veh/h], lo que no implica necesariamente medir durante una hora. (1.1) • Velocidad media temporal (vt). Es el promedio aritmético de las velocidades instantáneas (pendientes de las trayectorias s-t) de los n vehículos que pasaron por s0 durante el período T. Se suele expresar en kilómetros por hora [km/h]. (1.2) 22   Elementos de la teoría del tráfico vehicular • Intervalo medio (h). También se conoce como headway. Es el promedio de los intervalos de tiempo hi entre pasadas de puntos homólogos de los vehículos (v.g., paracho- ques traseros). Por lo general, se mide en segundos [s] (ver figura 1.5). (1.3) Por consiguiente, el intervalo medio equivale al inverso del flujo que pasa por un punto de la vía en un período T. b) Variables obtenidas de una observación espacial • Concentración (k). También se le denomina densidad. Es el equivalente espacial del flujo. Corresponde a la cantidad n’ de vehículos observados en el instante t0 en todo el tramo L. Se mide en número de vehículos por kilómetro [veh/km]. (1.4) • Velocidad media espacial (vs). Se calcula a par tir del promedio de los tiempos ti de viaje que le toma a cada vehículo recorrer un tramo L, en [km/h]. (1.5) En consecuencia, la velocidad media espacial corresponde a la media armónica de las velocidades instantáneas de los vehículos en el tramo (pendientes de las trayectorias s-t en t0). • Espaciamiento promedio (s). Corresponde al promedio de los espaciamientos si observados entre puntos homólogos de los vehículos. Se mide en metros [m] (figura 1.5). (1.6) O sea, el espaciamiento promedio es el inverso de la concentración de vehículos en un tramo L. 23   Introducción a la teoría del tráfico Tiempo Espacio s2sn’ s1 h2 h1hn si hi T L Figura 1.5. Intervalos y espaciamientos en una corriente de tráfico En la figura 1.5, las dimensiones espaciales (L, si) y temporales (T, hi) no son coincidentes. Se ha forzado el dibujo para resumir ambas en una sola figura. La figura 1.6 esquematiza otras definiciones. e Velocidad: Largo: Avance: Separación: Espaciamiento: Espacio: Tiempo: β h g v l s Figura 1.6. Definiciones de variables entre vehículos headwayIntervalo o : Brecha o :gap 24   Elementos de la teoría del tráfico vehicular c) Ecuación fundamental del tráfico Resulta obvio que en una corriente de tráfico no todos los vehículos circulen a una misma velocidad. Existirán, por lo tanto, distribuciones de velocidades (figura 1.7). v q(v) vj q(vj) v k(v) vj k(vj) Figura 1.7. Distribuciones de velocidades En la figura, k(vj) es el número de vehículos avistados a lo largo de un tramo que tienen velocidad vj. Del mismo modo, q(vj) es la cantidad de vehículos observados en un período que llevan velocidad vj. Luego: (1.7) Sea p(vj) la proporción de vehículos observados con velocidad vj. Entonces: (1.8) 25   Introducción a la teoría del tráfico Es decir, pt(v) es la distribución temporal de velocidades y ps(v) es la distribución espacial de velocidades, ya que cumplen las condiciones de una función de distribución de probabilidades. En consecuencia, la velocidad media espacial y temporal se pueden estimar como la esperanza de las respectivas distribuciones: (1.9) Por su par te, la velocidad de un vehículo cualquiera es: (1.10) Como el espaciamiento es el inverso del flujo y el intervalo es el inverso de la con- centración, entonces: (1.11) Reemplazando esta última expresión en la esperanza de la distribución espacial de velocidades y aplicando las definiciones anteriores: (1.12) Se obtiene así la denominada Ecuación Fundamental del Tráfico, que se expresa como: q = kvs (1.13) Esta ecuación explica, macroscópicamente, el comportamiento del tráfico como si se tratase de un fluido continuo. De allí, el nombre de modelo fluidodinámico. Existe cier ta tentación a usar la ecuación fundamental —y sus derivaciones— para describir el tráfico urbano. Esto no es aconsejable, ya que la presencia de intersecciones cercanas genera pelotones de vehículos que se desplazan por las vías urbanas. Estos 26   Elementos de la teoría del tráfico vehicular pelotones pueden dispersarse en alguna medida a lo largo de las vías, pero no llegan a configurar un fenómeno de tráfico continuo, que es el supuesto subyacente a este modelo. d) Relación entre la velocidad media espacial y temporal Aprovechando el concepto de distribuciones espaciales y temporales de velocidades, es posible establecer una relación entre sus esperanzas. De las ecuaciones anteriores se puede escribir: (1.14) Es decir, existe una relación entre la distribución temporal y espacial de velocidades, la que, por la ecuación fundamental, se puede escribir: (1.15) Por lo tanto, la velocidad media espacial se puede calcular como: (1.16) De propiedades de la esperanza, si x es una variable aleatoria cualquiera, entonces Var(x)=E(x2)– [E(x)]2; luego: E(x2)= μx2+σx2; donde, μx es la media de x y σx2 su varianza. Por lo tanto: (1.17) 27   Introducción a la teoría del tráfico Es decir, en general, la velocidad media temporal será mayor que la espacial. Para que sean iguales, la varianza de las velocidades espaciales debería tender a cero. De allí, la  importancia de saber cómo se midió la velocidad para calcular el valor promedio de la forma apropiada. No da lo mismo medir velocidades con radar y promediarlas aritméti- camente, que medir tiempos de viaje en un tramo, promediarlos y de allí obtener la una velocidad media (¿qué se obtiene en cada caso?). e) Relaciones entre variables de tráfico La ecuación q = kvs establece una relación entre tres variables de estado del trá- fico. Como tal, definirá un plano que describe su comportamiento. Sin embargo, es posible reducir esta descripción tridimensional estableciendo relaciones entre pares de estas varia- bles, como veremos a continuación. • Relación velocidad-concentración Se definió concentración (k) como la cantidad de vehículos presentes en un tramo de vía. Empíricamente, se puede constatar que, cuantos más vehículos se encuentren en un tramo, menor es la velocidad a la cual circulan. Es decir, para dos situaciones en que k1 < k2, se observará que v1 > v2 (figura 1.8). Luego, se puede decir que existe una función vs = vs(k). k1 v1 k1 < k2 v1 > v2 k2 v2 Figura 1.8. Relación entre concentración y velocidad El valor mínimo que puede tomar k es que no haya ningún vehículo en el tramo; es decir, kmin = 0. La máxima cantidad serán los vehículos que quepan en el tramo haciendo cola uno en pos del otro con una separación mínima entre ellos. A esta cantidad se le llama concentración de embotellamiento (ke). Luego: 28   Elementos de la teoría del tráfico vehicular (1.18) Donde L es la longitud del tramo y  es la longitud promedio que ocupa un vehículo. Por ejemplo, si   = 6 m, en un kilómetro de vía cabrán 167 vehículos. O sea, ke = 1000/6 = 167 [veh/km]. Obviamente, cuando k = ke nadie se atreve a moverse; luego, vs = 0. En el otro extremo, cuando un conductor circula solo por el tramo (k   0), lo hará a la velocidad que él elija. Sea esta la velocidad de flujo libre (vl). En consecuencia, conocemos dos puntos de la relación vs = vs(k). Para k = 0, vs = vl y para k = ke, vs = 0. A medida que aumenta el número de vehículos en el tramo, la velocidad de flujo libre no se verá muy afectada (v.g., si hay 2 vehículos separados 500 m en un tramo de 1 km). Pero, a partir de una cier ta concentración, la velocidad comenzará a decrecer rápidamente. En el otro extremo, si se pasa de una concentración de 150 a 151 veh/km, la velocidad no se verá muy afectada. En consecuencia, una curva como la mostrada en la figura 1.9 se aproxi- mará al comportamiento real. Se han postulado y calibrado varias formas de curvas vs(k), pero para efectos de los desarrollos siguiente, se asumirá una relación lineal decreciente entre vs y k: (1.19) Curva real Supuesto vs vl ke k 0 Figura 1.9. Relación real y asumida vs(k) 29   Introducción a la teoría del tráfico • Relación flujo-concentración Habiendo establecido una relación vs(k) se usa la ecuación fundamental para obte- ner esta otra relación. En efecto, como q = kvs y vs = vs(k), entonces, q = q(k). Luego, usando la relación lineal para vs: (1.20) Es decir, la función q(k) es una parábola inver tida que cor ta el eje de las abscisas en k = 0 y k = ke. Es fácil ver que el vér tice de la parábola se encuentra en k = ke/2 (figura 1.10). q ke/2 ke k Q 0 Figura 1.10. Relación q(k) parabólica Una propiedad importante de la circulación que se deriva de la relación q(k) es que existe un valor máximo para el flujo. Este máximo es la capacidad (Q), definida como el máximo número de vehículos por unidad de tiempo que puede pasar por una sección de una vía, bajo las condiciones prevalecientes del tráfico. Por esta razón, el diagrama q(k) se denomina diagrama fundamental. 30   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Como el vér tice de la parábola está en ke/2, el valor de la capacidad de un tramo de vía es q(ke/2); es decir: (1.21) Obsérvese que Q depende de los parámetros vl y ke definidos en la relación vs(k). Por ende, la capacidad dependerá de las siguientes condiciones (¿cuáles se asocian a vl y cuáles a ke?): • características físicas de la vía (trazado, pavimento); • características del conductor (edad, personalidad, condición física); • características del vehículo (potencia, aceleración, maniobrabilidad); • condiciones del medio ambiente (luz, clima, entorno); y, • composición del tráfico (longitud promedio de vehículos). Es por todo lo anterior que, en la definición de capacidad, se agrega el acápite “bajo las condiciones prevalecientes del tráfico”, ya que bajo diferentes circunstancias el valor de la capacidad cambiará. En consecuencia, la capacidad no es un valor absoluto, incluso para un mismo tramo de vía. Otra propiedad de la capacidad es que define un límite entre un régimen de cir- culación denominado no saturado (kke/2). En el primero, a medida que aumenta el número de vehículos en la vía, su flujo también aumenta. Pero cuando hay saturación, al aumentar los vehículos presentes en la vía, el flujo comienza a disminuir producto de las interferencias entre ellos que afectan la velocidad. Hay que notar que esto se produce para valores de concentración bastantes menores que la concentración de embotellamiento ke. Más adelante, se volverá sobre este tema. • Relación flujo-velocidad y flujo-demora De la ecuación fundamental q = kvs, se desprende que k = q/vs. Reemplazando en la relación vs(k), se tiene: (1.22) 31   Introducción a la teoría del tráfico Multiplicando ambos miembros por vs y reordenando se llega a: Esta última ecuación es una cuadrática en vs cuyas raíces son: (1.23) La forma de esta relación es la parábola de vértice vl/2 y Q mostrada en la figura 1.11. Figura 1.11. Relación parabólica y niveles de servicio 0 A B C D E F vs vl vl/2 q Q v(q) La relación v(q) suele usarse en el Highway Capacity Manual (TRB, 2000) para definir niveles de servicio en tramos de vía, como se muestra en la figura. Estos niveles se identifican por sectores de la curva v(q), en los cuales el tráfico presenta cier tas caracte- rísticas. El nivel A corresponde a un tráfico fluido, el E (un punto de la curva, no un tramo) representa la capacidad, y el F una condición de tráfico forzado e inestable. Ha habido varios intentos para establecer una relación v(q) empírica (ver TRB, 1992). Una de ellas es la propuesta por el Traffic Appraisal Manual, Depar tment of Trans- por t, Reino Unido (Or túzar y Willumsen, 1990). 32   Elementos de la teoría del tráfico vehicular (1.24) Donde: vl = velocidad de flujo libre [km/h] v1 = velocidad a capacidad [km/h] q1 = flujo hasta el cual se mantiene v1 [veq/h-pista] Q = capacidad del tramo [veq/h-pista] d = longitud del tramo [km] Los parámetros de esta curva, calibrados en el Reino Unido, se muestran en la siguiente tabla. Tipo de vía [veq/h-pista] [veh/h-pista] 63 79 45 55 70 25 400 1600 500 1400 2400 1000 q1 Q Tabla 1.1. Parámetros de la relación flujo-velocidad 2 pistas calzada simple rural 4 pistas doble calzada rural 2 pistas calzada simple urbana La forma de esta relación v(q) no es parabólica, sino por tramos, como muestra la figura. 33   Introducción a la teoría del tráfico v1 vl vs q1 Q q Figura 1.12. Relación empírica (DoT, 1985) v(q) De la relación v(q), se puede derivar la relación flujo-demora, t(q) (figura 1.13), que es utilizada para estimar tiempos de viaje y para la asignación de tráfico a redes. Su derivación es directa: (1.25) Donde t es el tiempo promedio de viaje en un tramo [s/km] y vs la velocidad media en el tramo [km/h]. Al igual que para la relación flujo-velocidad, se han propuesto varias forma para la función t(q). Una de ellas es la del Bureau of Public Roads (BPR, 1964), donde t0 es el tiempo de viaje a flujo libre y α , β son parámetros. (1.26) Una curva BPR calibrada en Santiago de Chile en Av. Costanera Andrés Bello, en la hora punta de la mañana, arrojó los siguientes valores de parámetros (Martínez, 1984): 34   Elementos de la teoría del tráfico vehicular • t0 = 42,7 s/km (84,3 km/h) • Q = 5200 veq/h • α = 0,482 • β = 2,343 Hay que notar que el valor de t0 implica una velocidad de flujo libe de 84,3 km/h en esa vía. Otros autores (Horowitz, 1991) proveen los siguientes datos del Highway Capacity Manual (TRB, 2000) para los parámetros α y β, en función del tipo de vía y velocidad de diseño. Tabla 1.2. Parámetros de la curva BPR (Horowitz, 1991) Tipo de vía Velocidad de diseño [km/h] [km/h] βα Autopista 6 pistas Carretera 4 pistas 70 60 50 70 60 50 110 100 80 110 100 80 0,88 0,83 0,56 1,00 0,83 0,71 9,8 5,5 3,6 5,4 2,7 2,1 Q q Figura 1.13. Relación flujo-demora t0 t 35   Introducción a la teoría del tráfico 1.3.2. Teoría del seguimiento vehicular La teoría del seguimiento vehicular (car following theory) tiene varios precursores en la década de 1950, pero su formalización se consolida con el trabajo de Herman et al. (1958) en los laboratorios de General Motors. Consiste en una descripción microscópica de cómo se comporta un vehículo al ir tras de otro. El objetivo es que mediante esta descripción se pueda extrapolar el comportamiento macroscópico de toda una corriente de vehículos por una pista. Al igual que los modelos fluidodinámicos, estudia una corriente de tráfico continua y confinada a una pista (sin adelantamiento). Posteriores desarrollos (Gipps, 1981 y Gipps, 1986) levantan esta restricción y permiten describir el adelantamiento entre vehículos. En la figura siguiente, se muestra el sistema bajo análisis encerrado por una línea punteada. xn+1(t) xn(t) x2(t) x1(t) x nn+1 2 1 Figura 1.14. Sistema de análisis de la teoría del seguimiento vehicular La teoría del seguimiento vehicular describe el comportamiento del vehículo n+1 (sucesor) en función de lo que haga el vehículo n (predecesor). Asume que existe correlación entre los comportamientos del vehículo predecesor y sucesor cuando el espaciamiento entre ambos es menor a los 100-125 metros. Se definen las siguientes variables: xn(t) = posición de un vehículo n en el instante t ·xn(t) = velocidad de un vehículo n en el instante t ·xn(t) = aceleración de un vehículo n en el instante t Se asumirá que el conductor del vehículo sucesor variará su conducta (respuesta) en forma proporcional al estímulo que recibe, ponderado por su sensibilidad. Es decir: Respuesta = Sensibilidad • Estímulo 36   Elementos de la teoría del tráfico vehicular En un sistema cerrado como el descrito en la figura 14, el estímulo lo proporcionará el vehículo predecesor al reducir o aumentar la velocidad relativa a la del sucesor. Las respuestas del sucesor podrían ser tres: mantener su velocidad (v.g., si el predecesor está alejado), reducir su velocidad o aumentarla. Naturalmente, la respuesta no será inmediata, sino que tendrá un rezago temporal. De acuerdo con lo anterior, la formulación matemática del supuesto de comportamiento es la siguiente: (1.27) Donde: λ = valor de la sensibilidad [s-1] T = tiempo percepción-respuesta [s] En la ecuación anterior se utiliza el subíndice n+1 para enfatizar que la respuesta se refiere al vehículo sucesor. El tiempo percepción-respuesta es el tiempo que le toma al conductor del vehículo sucesor reaccionar. El lapso percepción-respuesta involucra la siguiente serie de acciones, cada una de las cuales agrega una demora a la respuesta de un conductor frente a un estí- mulo: • percibir el estímulo; • interpretar el estímulo; • evaluar la mejor respuesta; • ejecutar la respuesta decidida; y, • transmisión mecánica de la respuesta. Como existen diferentes conductores, no hay un único tiempo percepción-respuesta, sino una distribución de ellos. La distribución sigue una tendencia lognormal, como la mos- trada en la figura siguiente. De la figura, puede observarse que la moda de la distribución es 1,0 segundos. Sin embargo, a un 10% de los conductores les tomará más de 2,5 segundos reaccionar; además, sólo un 20% puede hacerlo en un lapso de medio segundo. La correcta selección del tiempo percepción-respuesta es importante al diseñar las vías y sus sistemas de control de tráfico (v.g., señalización). 37   Introducción a la teoría del tráfico 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 Figura 1.15. Distribución del tiempo percepción-respuesta (TRB), 1992) Perception-Reaction Time (sec) Pr ob ab ilit y De ns ity F un ct io n (f( t)) Volviendo al modelo de comportamiento del vehículo sucesor, este puede escribirse como una ecuación diferencial de la forma: (1.28) Donde: (1.29) 38   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Se han hecho varios supuestos respecto del valor de la sensibilidad λ. Entre ellos, es útil mencionar los siguientes: a) Modelo de Herman Conocido como el modelo de Herman, fue primero expuesto por Chandler et al. (1958). Al estudiar el compor tamiento del tráfico congestionado en autopistas, pos- tularon que la sensibilidad de todos los conductores es la misma y que tiene un valor constante λ1. Es decir : λ = λ1 (1.30) Según este supuesto, la ecuación diferencial anterior se transforma en: (1.31) Resolviendo la ecuación anterior de la manera tradicional, se llega a que: (1.32) Donde c1 es una constante de integración. Para determinar su valor, se deben apli- car condiciones de borde apropiadas. Por los modelos fluidodinámicos, sabemos que cuando el valor de la concentración es igual a la concentración de embotellamiento ke, la velocidad de los vehículos es nula. Como el espaciamiento es el inverso de la concentración, entonces: (1.33) Reemplazando esta condición en la solución de la ecuación diferencial, resulta: (1.34) 39   Introducción a la teoría del tráfico Por lo tanto, si aceptamos que sn+1 = 1/kn+1 (ver TRB, 1992 para una discusión) la solución de la ecuación diferencial es: (1.35) Si esta ecuación es válida para todo par de vehículos n+1 y n, en promedio para toda la corriente de tráfico se cumplirá que: (1.36) La ecuación anterior es una función v(k) correspondiente a un modelo fluidodiná- mico. Su forma es hiperbólica, como se muestra en la figura. Se observa que, cuando k 0, vs ∞, lo que puede interpretarse, bajo la perspectiva del seguimiento vehicular, como que los vehículos corren cada vez más rápido buscando alguien a quien seguir. Por lo tanto, este modelo predice mejor lo que ocurre cuando hay altas concentraciones, situación para la que fue concebido. vs vl ke k 0 Figura 1.16. Forma funcional del modelo de Herman Curva real Modelo de Herman 40   Elementos de la teoría del tráfico vehicular b) Modelo de Greenshields La hipótesis para derivar este modelo es que un conductor es más sensible a lo que haga el vehículo predecesor si la distancia con respecto a este es pequeña y menos sensible si es más grande. La variable que describe la distancia entre vehículos es el espaciamiento. Se postula, entonces, que la sensibilidad es inversamente proporcional al cuadrado del espaciamiento. Luego: (1.37) En consecuencia, la ecuación diferencial que representa este modelo es de la forma: (1.38) La solución de esta ecuación resulta ser: (1.39) Para determinar c2, se aplica la condición de borde que establece que, cuando la concentración es nula (o sea, el espaciamiento es infinito), la velocidad es igual a la veloci- dad de flujo libre; es decir: (1.40) (1.41) Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es: (1.42) 41   Introducción a la teoría del tráfico Se puede calcular el valor de λ2, sabiendo que si kn+1 = ke, entonces vn+1 = 0. De donde: (1.43) Reemplazando este resultado en la ecuación anterior, se tiene: (1.44) Por lo tanto, en promedio, para toda la corriente se tendrá la relación v(k) lineal propuesta para derivar el modelo fluidodinámico: (1.45) En resumen, el supuesto de linealidad entre vs y k utilizado en el modelo fluidodi- námico no es antojadizo, sino que se sustenta en una hipótesis sobre la sensibilidad de los conductores. En resumen, la teoría del seguimiento vehicular da origen a una familia de modelos de la forma: (1.46) Donde los exponentes m y l toman diferentes valores según las hipótesis que han hecho distintos autores sobre la sensibilidad de los conductores. 42   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Modelo m l Herman 0 0 Greenberg 0 1 Greenshields 0 2 Underwood 1 2 May y Keller (empíricos) 2,1 - 2,8- 0,80,6 Tabla 1.3. Resumen de modelos de seguimiento vehicular May y Keller (1967) encontraron sus valores de los parámetros mediante observa- ción en autopistas y viaductos. Nótese que la cota inferior de ellos se aproxima bastante a la hipótesis de Greenshields. Esto proporciona un sustento empírico al supuesto de linealidad de la relación v(k). 1.3.3. Estabilidad e inestabilidad del tráfico El estudio de la estabilidad (o inestabilidad) en el comportamiento del tráfico se puede estudiar desde dos perspectivas: la estabilidad local se refiere al comportamiento entre un par de vehículos; la estabilidad asintótica, a la forma en que la fluctuación en el movimiento de un vehículo se propaga al resto de los que lo siguen en la misma pista. Se han realizado varias aproximaciones al estudio de la estabilidad local y asintótica. Una buena síntesis es ofrecida en TRB (1992). Desde un punto de vista práctico, lo más interesante es el estudio de la estabilidad asintótica, ya que proporciona información para hacer gestión de tráfico. La figura siguiente muestra la evolución del espaciamiento entre pares de vehículos en el caso de estabilidad e inestabilidad asintótica. 43   Introducción a la teoría del tráfico s0 sn+1 1-2 3-4 t s0 sn+1 1-2 3-4 5-6 t (a) Estabilidad (b) Inestabilidad Figura 1.17. Ejemplo de estabilidad e inestabilidad asintótica En el caso de tráfico estable, los vehículos 1 y 2, que circulan con un espaciamiento de equilibrio s0, lo disminuyen producto de una variación de la velocidad relativa entre ambos. Como consecuencia, el espaciamiento del par de vehículos sucesivos (3-4) también 44   Elementos de la teoría del tráfico vehicular diminuye, pero en menor medida. Ambas variaciones se recuperan rápidamente y todos vuelven al espaciamiento de equilibrio. Por el contrario, cuando hay tráfico inestable, las variaciones en el espaciamiento se amplifican a los pares de vehículos sucesivos, lo que genera un efecto “cuncuna” el que, eventualmente, puede llevar a un par de vehículos a colisionar entre sí. Del análisis mediante series de Fourier utilizando modelos de seguimiento vehicular, se concluye que hay estabilidad asintótica si se cumple la siguiente condición (TRB, 1992): (1.47) Donde λ es el valor de la sensibilidad de los conductores y T es el tiempo de percep- ción-respuesta antes definidos. Es decir, para λT > 0,5 el tráfico se volverá inestable. Si se utiliza el valor de la sensibilidad del modelo de Greenshields —obviando los subíndices— se tendrá que el tráfico inestable comienza cuando: (1.48) (1.49) Donde kc es la concentración crítica, es decir, aquella para la cual la inestabilidad asintótica comienza a manifestarse. Nótese que kc < ke/2; o sea, se producirá inestabilidad antes de alcanzar la concentración a capacidad, como se muestra en la figura siguiente. Esto significa que para un flujo qc = xpQ (con 0 0,8 los impactos crecen exponencialmente. El grado de saturación es la razón entre el flujo y la capacidad. Si se piensa en el flujo como la demanda por usar de un dispositivo vial y en la capacidad como la ofer ta de atención que provee tal dispositivo, el grado de saturación muestra el balance entre ofer ta vial y demanda de tráfico. (2.1) t0 t x = 0,8 Figura 2.2. Relación grado de saturación-demora x = q/Qx = 0,5 x = 1,0 52   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Cuanto mayor sea el grado de saturación, más congestionado estará un cier to dispo- sitivo vial y, por lo tanto, mayores serán las consecuencias en términos de colas de objetos en espera de ser atendidos, demoras por atención y necesidad de detenerse ante el dis- positivo. A diferencia de los “niveles de servicio” cualitativos utilizados en Nor teamérica, el grado de saturación provee una variable continua y cualitativa para determinar el nivel de congestión. La gestión de tránsito consiste en el manejo del grado de saturación a través de medidas de ingeniería. Éstas se pueden aplicar tanto sobre la ofer ta como sobre la demanda. A las primeras, se las conoce como gestión de la capacidad vial; a las segundas, como gestión de la demanda de tráfico. Por ahora, nos concentraremos en la faceta de la ofer ta del grado de saturación: la capacidad vial. La capacidad o flujo máximo por un cier to dispositivo vial es función de los conflictos de tráfico que en él tienen lugar. Así, los modelos para estimar la capacidad se pueden clasificar, en términos de su complejidad, según los tipos de conflictos definidos en capítulos anteriores: • capacidad de vías (conflictos direccionales); • capacidad de intersecciones (conflictos direccionales); y, • capacidad de estaciones de transferencia (conflictos funcionales). 2.2. Capacidad de vías El modelo fluidodinámico provee una elegante aproximación teórica al cálculo de la capacidad de tramos de vía mediante la expresión de la figura 2.1. (2.2) Sin embargo, dos son los problemas prácticos de esta ecuación. Primero, cuál es el valor de la concentración de embotellamiento (ke), que sea representativo de una cier ta composición de tráfico. Segundo, qué velocidad de flujo libre (vl) es apropiada para des- cribir el comportamiento de todos los conductores, el que —a su vez— depende de las características de la vía y su entorno. 53   Capacidad de dispositivos viales Debido a lo anterior, el cálculo de la capacidad de tramos de vías se ha basado en modelos más empíricos que teóricos. El texto que mejor recoge la experiencia acumulada en este caso es el Highway Capacity Manual —HCM— (HRB, 1965; TRB, 2000). El HCM recopila más de 40 años de la experiencia estadounidense en el cálculo de la capacidad de autopistas, carreteras de doble calzada y caminos de calzada simple. La edición del año 2000 del HCM pone énfasis en la estimación de curvas flujo- velocidad y en los flujos que pueden circular para distintos niveles de servicio. Del flujo para el nivel de servicio E se deriva la capacidad de las vías. Más útil a nuestra discusión resulta la edición de 1985, que propone modelos explícitos para estimar capacidad (Cal y Mayor y Cárdenas, 1994). El modelo genérico que se puede derivar de esta edición es el siguiente: (2.3) Donde: Q = capacidad de un tramo de vía bajo condiciones prevalecientes de tráfico N = número de pistas en el mismo sentido C0 = capacidad del tramo en condiciones ideales fi = factores de reducción de capacidad si no se dan las condiciones ideales Las condiciones ideales a que hace referencia el HCM se resumen en: • flujo no interrumpido por sistemas de control de tráfico o virajes; • pistas de 3,60 m de ancho (12 pies); • bermas libres de obstáculos de 1,80 m de ancho (6 pies); • velocidad libre igual a 112 km/h (70 mph); • solo hay vehículos livianos (automóviles) en el flujo; • no hay restricciones para adelantar; • terreno plano; y, • distribución porcentual del tráfico de 50-50 por sentido (calzada simple). El modelo genérico se puede especificar en tres tipos de vías, cuya capacidad ideal es afectada por distintos factores de corrección: • carretera de calzada simple; • carretera de doble calzada; y, • segmento básico de autopista 54   Elementos de la teoría del tráfico vehicular a) Carretera de calzada simple Es la típica vía de una calzada y una pista en cada sentido. El adelantamiento de los vehí- culos lentos se hace por la pista en sentido contrario, por lo que las pistas se denominan pistas bidireccionales (BD), ya que se puede circular por ellas en ambas direcciones (figura 2.3). Figura 2.3. Carretera de calzada simple En este tipo de vía, la posibilidad de adelantar está dada por la generación de bre- chas en el flujo opuesto. Por lo tanto, la capacidad en un sentido depende de la intensidad de tráfico en el otro. Por tal razón, solo se puede estimar la capacidad en ambos sentidos de circulación. El modelo resultante es el siguiente: IS = C0 fR fA fVP (2.4) Donde: IS = intensidad de servicio en ambos sentidos [veh/h-calzada] C0 = capacidad ideal: 2800 [autos/h-calzada] fR = factor de reducción por repar to por sentido fA = factor de reducción por ancho de calzada y bermas fVP = factor de reducción por presencia de vehículos pesados La intensidad de servicio es definida por el HCM como el máximo flujo en un lapso menor a una hora (v.g., 15 minutos). Los factores fA y fR se encuentran tabulados en el HCM. El factor fVP tiene la forma: (2.5) 55   Capacidad de dispositivos viales Donde: PC, PB = porcentaje de camiones y buses en el flujo, respectivamente EC, EB = equivalencia en vehículos livianos de un camión o un bus (e.g., 1 bus = 2 autos) La intensidad de servicio se transforma a capacidad horaria —denominado volumen de servicio en el HCM— considerando la intensidad del flujo máximo dentro de la hora punta. (2.7) (2.8) Donde: FHP = factor hora punta q = flujo en hora punta [veh/h] q15 = flujo en los 15 minutos punta de la hora punta [veh/15 min] b) Carretera de doble calzada Corresponde a una vía con una calzada por sentido, con dos o más pistas cada una, con o sin separación entre alzadas (mediana). El adelantamiento se hace por las pistas de la misma calzada, por lo que estas se usan siempre en el mismo sentido (figura 2.4). Este tipo de pistas se llaman pistas unidireccionales (UD). Figura 2.4. Carretera de doble calzada sin mediana 56   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Como en este caso el flujo en el sentido opuesto no impone restricciones de adelan- tamiento, la intensidad de servicio se puede calcular separadamente en cada sentido: (2.9) Donde: IS = intensidad de servicio en un sentido [veh/h] N = número de pistas en ese sentido CVD = capacidad ideal para una velocidad de diseño VD km/h • C95-112 = 2000 [autos/h-pista] • C 80 = 1900 [autos/h-pista] fC = factor de reducción por tipo de conductor (habituales o no) fT = factor de reducción por tipo de carretera (con o sin mediana; rural o urbana) Los factores fA y fVP tienen la misma explicación anterior. Valores de los factores fC y fT se encuentran en el HCM. La intensidad de servicio IS se transforma en el volumen de servicio VS de igual forma que en carreteras de calzada simple. c) Segmento básico de autopista Corresponde a una sección de calzada de una autopista separada físicamente de otra, de dos o más pistas por sentido, que no es afectada por maniobras de entrada, salida o entrecruzamientos (figura 2.5). Figura 2.5. Segmento básico de autopista 57   Capacidad de dispositivos viales El cálculo de la capacidad se hace a través de la intensidad de servicio, igual al caso anterior, donde todas las variables ya han sido definidas. (2.10) Ejemplo 2.1. Calcular la capacidad de un tramo en túnel de una autopista de tres pistas por sentido que tiene las siguientes características: • pistas de 3,30 m ancho; • distancia entre la calzada y a pared del túnel de 1,50 m; • velocidad de diseño de 80 km/h; • pendiente de subida del 5%; • factor Hora Punta de 0,95; • el flujo se compone de un 95% de automóviles y un 5% de camiones; • los conductores son habituales. Se calculará la capacidad en el sentido de subida. El modelo a ocupar es el corres- pondiente a un segmento básico de autopista: El tramo tiene 3 pistas por sentido; por ende, N = 3. Por velocidad de diseño, la capacidad ideal del tramo es C80 = 1900 [autos/h-pista]. Los factores de corrección por ancho y tipo de conductores dados por el HCM 1985 son: fA = 0,96 y fC = 1,00. Debido a la pendiente, el factor de equivalencia de un camión es EC = 4,0 (del HCM 2000). Por lo tanto, el factor de reducción de capacidad por vehículos pesados es: Luego: Por lo tanto, la capacidad total del tramo en el sentido de subida de la autopista es de 4500 veh/h (¿cuánto es en el otro sentido, si EC = 2,0?). 58   Elementos de la teoría del tráfico vehicular 2.3. Capacidad de intersecciones Una intersección es el área común de dos o más vías que se cruzan. Para resolver los conflictos direccionales que se producen en esta área común, unos vehículos deben ceder el paso a otros, ya sea en forma permanente (señal Pare o Ceda el Paso) o en forma alternada (semáforo). Por ello, a diferencia de un tramo de vía, una intersección es un lugar donde la circulación es total o parcialmente interrumpida. Los modelos de capacidad tienen que dar cuenta de esta propiedad. QV1 Capacidad intersección QC QV2 Figura 2.6. Circulación interrumpida por una intersección En la figura 2.6, el área achurada de la intersección solo puede ser ocupada por un vehículo a la vez. Por lo tanto, si QV1 y QV2 son las capacidades de las vías que confluyen y QC es la capacidad de la intersección, se cumplirá en general que: (2.11) La forma en que se resuelven los conflictos en las intersecciones (o regulación de la intersección) determinará su capacidad. Hay tres formas de regular el uso de una intersección: semáforos, señal de prioridad y rotonda. A continuación, se verán modelos de capacidad específicos a cada una de estas formas de regulación. 59   Capacidad de dispositivos viales 2.3.1. Capacidad de intersecciones semaforizadas A) Modelo de capacidad El funcionamiento de una intersección regulada con semáforos consiste en dar prioridad absoluta a cada acceso durante lapsos que se repiten cíclicamente con período C. Esto genera una variación binaria de la capacidad de cada acceso. Si Qi es la capacidad del acceso i, se tendrá que: • durante el rojo: Qi = 0 • durante el verde: Qi = Si A Si se le llama flujo de saturación del acceso i. Es la máxima cantidad de vehículos que pueden ser descargados desde una cola durante el tiempo de verde de ese acceso. Si en un cier to acceso se produce una cola durante el tiempo de rojo tal que esta no alcance a descargarse totalmente durante el tiempo de verde, entonces la tasa de salida de vehículos desde esa cola seguirá la forma mostrada en la figura 2.7. A un período de verde de estas características se le denomina saturado. λ1 λ2 vei C t Si qi Vi Figura 2.7. Diagrama de descarga de un periodo de verde saturado Descarga real Descarga efectiva Ai Ri 60   Elementos de la teoría del tráfico vehicular En la figura, las variables tienen los significados siguientes: Vi = verde presentado al acceso i Ai = amarillo del acceso i Ri = rojo presentado al acceso i C = tiempo de ciclo del semáforo λ1 = pérdida inicial λ2 = ganancia final vei = verde efectivo del acceso i rei = rojo efectivo del acceso i ui = razón de verde efectivo del acceso i Si = flujo de saturación del acceso i Algunas relaciones entre estas variables son: (2.12) La descripción del funcionamiento de un acceso saturado como el de la figura es la siguiente: cuando el semáforo da el verde, los vehículos demoran un tiempo en ponerse en movimiento. En promedio, este tiempo es la pérdida inicial λ1. Luego de esta transición, toda la cola de vehículos se pone en movimiento y la descarga se verifica a tasa igual al flujo de satura- ción S. Cuando aparece el amarillo, algunos vehículos alcanzan a pasar y la descarga se hace nula justo al inicio del período de rojo. En promedio, el tiempo de esta transición es la ganan- cia final (o ganancia del amarillo) λ2. Este proceso se repite cíclicamente en cada descarga. Como las transiciones iniciales y finales de la curva de descarga real son difíciles de modelar, se define la curva de descarga efectiva de la figura 2.7. Esta tiene la misma altura S y encierra la misma área que la curva de descarga real (por conservación del flujo), pero un ancho igual al verde efectivo Ve. Mediante esta curva de descarga efectiva, se obtiene el modelo de capacidad del acceso. (2.13) 61   Capacidad de dispositivos viales Es decir, la capacidad de un acceso semaforizado depende de su flujo de saturación y de su razón de verde efectivo ve/C; en otras palabras, del diseño físico, de las propiedades del tráfico y de la programación del semáforo. Esta corresponde a la determinación de su ciclo y de los tiempos de verde efectivo asignados a cada movimiento. Ejemplo 2.2. La intersección de la figura 2.8 es usada solo por vehículos livianos y está regulada con un semáforo con tiempo de ciclo de 100 segundos e iguales tiempos de verde de 45 s para cada rama. Si el flujo de saturación es de 2000 [veh/h-pista] y a la intersección convergen los flujos indicados en la figura, calcular la capacidad y grado de saturación de por cada acceso. ¿En cuánto cambia la capacidad y el grado de saturación si la razón de verde efectivo del acceso sur (S) se incrementa a 0,6? qW = 900 veh/h qS = 1900 veh/h N Figura 2.8. Ejemplo de capacidad de acceso semaforizado Como hay dos pistas por acceso, el flujo de saturación total es de 4000 veh/h. Dado que los tiempos de verde son iguales, la razón de verde efectivo de cada acceso es 0,45. Luego, la capacidad es igual en cada acceso i (con i = S, W): 62   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Los grados de saturación por cada acceso son: En la nueva situación, uS = 0,6; por lo tanto, uW = 0,3. Las capacidades y grados de saturación resultantes son: A par tir del ejemplo anterior tenemos dos constataciones. La primera es que la capacidad de un acceso semaforizado es bastante menor que su flujo de saturación, que sería equivalente a la capacidad del tramo de vía que le antecede; de allí la importancia de la capacidad de intersecciones. La segunda, que para la misma intersección, mismos flujos y mismos conductores, pero otra programación del semáforo, se obtienen grados de satu- ración diferentes. Observando la forma y valores de x de la curva de la figura 2.2, es clara la mejora en el acceso S, sin mayor detrimento del acceso W. El tema de programación de semáforos se trata en otros textos (Akçelik, 1993; MTT, 2003). Concentremos la atención en magnitudes y formas de estimación de flujos de saturación. B) Flujo de saturación y factores de equivalencia El flujo de saturación sirve al cálculo de capacidades en intersecciones reguladas con semáforo. También se usa para la modelación del tráfico en redes de semáforos. Se definen las siguientes clases de flujos de saturación. • Flujo de saturación real (S): es la máxima tasa de descarga de una cola de vehículos de cualquier clase —tipo de vehículos y movimiento o maniobra en la intersec- ción— durante el verde efectivo. Se mide en [veh/h]. El adjetivo “real” proviene de que se mide en vehículos reales por hora, independiente de su tipo. 63   Capacidad de dispositivos viales • Flujo de saturación básico (Sb): es la máxima tasa de descarga de una cola de vehículos que solo siguen derecho en la intersección durante el verde efectivo. Se expresa en [ADE/h]. El adjetivo “básico” denota que se está midiendo en una unidad abstracta de vehículos: el ADE. Un ADE es un automóvil directo equivalente; es decir, un auto que sigue directo al descargarse desde una cola. Es la unidad de referencia del tráfico. Cualquier mezcla de vehículos (livianos, pesados, que viran a la izquierda o a la derecha) puede expresarse en términos de ADE. En inglés, se le denomina tcu (through car unit). Para efectos de cálculo de capacidades, se define también el vehículo equivalente (veq), que corresponde a un vehículo liviano (auto), independiente de la maniobra que haga al salir de la cola. En inglés se llama pcu (passenger car unit). La razón entre flujos de saturación medidos en distintas unidades de vehículos son los factores de equivalencia (fi). Nótese que, como es una razón entre variables que definen la capacidad, son factores de equivalencia de capacidad. Ejemplo 2.3. Supóngase que se tiene una intersección experimental. Primero, se hace pasar por uno de sus accesos un flujo de vehículos que siguen derecho y se mide su tasa de descarga desde una cola durante un tiempo T. Luego, en el mismo acceso, se hace pasar un flujo de distintas clases vehículos y se mide su tasa de descarga desde una cola en el mismo lapso T (Figura 2.9). En el primer caso, el flujo de saturación medido lo llamare- mos S. En el segundo S’. Luego, la razón entre ambos flujos de saturación será: Donde n y n’ es el número de vehículos que se descarga durante T en cada caso. Intuitivamente, n > n’ 64   Elementos de la teoría del tráfico vehicular S = n/T Figura 2.9. Comparación de flujos de saturación S’ = n’/T Supóngase que se hacen tres experimentos en esta intersección, para tres lapsos T distintos, en los que se comparan tasas de descarga desde colas compuestas por distintas clases de vehículos. Estos experimentos arrojan los siguientes resultados usando las defini- ciones de veq y ADE de más arriba. Expto 10 autos cualquiera 15 autos directos 15 autos directos 5 buses 12 autos viran derecha 6 buses viran derecha 1 2 3 20 20 20 Tabla 2.1. Resultados de experimentos de comparación de flujos de saturación T [s] n n’ fi = n/n’ fbus = 2,0 veq/bus fv.der = 1,25 ADE/veq f bus v.der = 2,5 ADE/bus Nótese que del resultado del experimento 3 se cumple: fbus-v.der = fbusfv.der. Es una de las propiedades de los factores de equivalencia de capacidad: son multiplicativos. 65   Capacidad de dispositivos viales Del ejemplo anterior, se pueden extrapolar resultados. En general, se cumple que: (2.14) Donde fk es un factor de equivalencia conjunto que considera las siguientes carac- terísticas de la intersección: • Geometría del acceso - ancho - pendiente • Composición de tráfico en el acceso - tipo de vehículos - movimientos que realizan en la intersección A continuación, se describe la forma de calcular cada uno de estos factores de equi- valencia, siguiendo a Akçelik (1993). i) Geometría Ancho de pista. Se ha observado que el flujo de saturación puede aumentar o dismi- nuir dependiendo del ancho de las pistas. La forma de ajustarlo por esta variable geométrica es la siguiente, donde w es el ancho de pista medido en metros: (2.15) Nótese que, para un amplio rango de ancho de pista, el factor de equivalencia es 1,00; es decir, la capacidad no se ve afectada. Además, 0,90 ≤ fa ≤ 1,06, sugiriendo que pistas más anchas no logran más que un 5% de incremento en la capacidad. 66   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Pendiente. La pendiente también hace variar la tasa de descarga de una cola durante el verde, según la siguiente relación, en que i  es la pendiente en %. La pendiente se consi- dera negativa de bajada y positiva de subida: (2.16) Los factores anteriores son adimensionales. Por propiedad de los factores de equi- valencia, son multiplicativos; es decir: (2.17) ii) Composición de tráfico En este tema, es útil tener presente que el factor de equivalencia es la razón entre capacidades. Y, si estas son medidas en el mismo lapso, el factor de equivalencia es la razón entre el número de vehículos que alcanzan a ser descargados en ese lapso. Tipo de vehículo. Este factor compara la capacidad de descarga de una cola com- puesta por vehículos equivalentes (veq ) con una compuesta por varios tipos de vehículo: (2.18) Recuérdese que el flujo es el inverso del intervalo medio. En par ticular, el flujo de saturación (máximo flujo) será el inverso del intervalo mínimo entre vehículos que salen de una cola. Con esto en mente, el factor de equivalencia por tipo de vehículo se puede expresar como: (2.19) 67   Capacidad de dispositivos viales Donde es el intervalo característico (mínimo) entre vehículos que se descargan de una cola compuesta por varios tipos de vehículos y b′1 es el intervalo característico de una cola compuesta solo por veq (autos, independiente de su maniobra en la intersección). Movimiento. En este caso, se compara la descarga de una cola compuesta por ADE con una compuesta por veq, en que b′1 es el intervalo característico entre vehículos de una cola compuesta solo por ADE. (2.20) Los tipos de movimientos que puede realizar un vehículo en una intersección son tres: • seguir derecho; • virar sin oposición, y; • virar con oposición (con flujo en contra). El factor de equivalencia del movimiento directo es 1 [ADE/veq], ya que un vehículo equivalente que sigue derecho es, por definición, un ADE. Para el viraje sin oposición, lo que retarda la descarga es el radio con que se hace el viraje. Akçelik (1993) cita a Webster (1964) y Ellson (1969) para recomendar la siguiente relación, en que r es el radio de viraje en metros: (2.21) El viraje con oposición —típico viraje a la izquierda con flujo en contra— puede hacerse desde una pista exclusiva o compartida con el movimiento que sigue derecho (figura 2.10). 68   Elementos de la teoría del tráfico vehicular qp qd qs Figura 2.10. Viraje a la izquierda con oposición En el caso de pista exclusiva, y siguiendo la lógica de los factores de equivalencia anteriores, habría que comparar los intervalos característicos de descarga de vehículos desde una cola que sigue derecho (b′1) con los de una cola en que se vira con oposición (b0): (2.22) No obstante, en este caso es mejor comparar la capacidad de descarga de una pista de ADE (Sb) con la de un viraje con oposición (Qs). (2.23) Más adelante, en este capítulo, se verá cómo obtener Qs. Baste decir por ahora que es la capacidad de un movimiento que debe ceder el paso a otro. En una pista compartida, la estimación del factor de equivalencia es más compleja. El flujo qs vira a la izquierda desde una pista que comparte con el flujo qd que sigue derecho. Al virar en la misma fase del semáforo, debe ceder el paso al flujo en contra qp. Como la posibilidad de virar de qs depende de qp, ocurrirá que, mientras qp se descarga a capa- cidad, ningún vehículo de qs podrá virar. Una vez que la cola de qp se disipe, entonces qp podrá virar a una tasa Qs. Posteriormente, durante la amarilla y hasta el inicio del rojo, un número nf  de vehículos alcanzará a virar (ver figura 2.11). 69   Capacidad de dispositivos viales V A R qs qp Sp Qs ve’ ve nf t t qp Figura 2.11. Diagrama de descarga de un viraje con oposición En este caso, se usa la definición de factor de equivalencia como razón entre el número de vehículos que se descarga: fi = n/n’. Donde n será el número de vehículos directos que se descarga durante el verde efectivo y n’ son los que se alcanzan a virar a la izquierda con flujo en contra en ese mismo período. La cantidad total de vehículos que pueden descargarse durante un verde efectivo cualquiera es Sbve. Mirando los diagramas de descarga, la cantidad total de vehículos que puede virar a la izquierda durante el verde efectivo es Qsve’ + nf. De aquí resulta: (2.24) 70   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Donde ve’ es la par te no saturada del flujo qp durante el verde efectivo. Según Akçelik (1993), puede estimarse como sigue, donde yp = qp/Sp y C es el tiempo de ciclo del semáforo. (2.25) En resumen, como se vio en el ejemplo 2.2, el factor de equivalencia por composición de tráfico será la multiplicación de los factores por tipo de vehículo y movimiento. (2.26) Si se quiere distinguir más de una clase de vehículo, definida como la combinación tipo-movimiento (v.g., camiones que viran a la derecha), se puede demostrar que el factor de composición de tráfico será el promedio ponderado: (2.27) Donde qi es el flujo de vehículos clase i (tipo y movimiento). Nótese que el denomi- nador es la suma de todas las clases de vehículos que acceden a la intersección; en otras palabras, el flujo total q por el acceso. Luego, llamando pi a la proporción de vehículos clase i por ese acceso de la intersección, se tiene: (2.28) El factor de equivalencia por composición de tráfico está en [ADE/veh]. Como se definió el factor de equivalencia conjunto fk en [veh/ADE], entonces: (2.29) 71   Capacidad de dispositivos viales En consecuencia, el factor conjunto por geometría y composición de tráfico será la multiplicación de factores de geometría y de tráfico: (2.30) La utilidad de lo anterior es que, si el flujo de saturación básico y los factores de equivalencia son valores constantes en una cier ta región geográfica (país, ciudad, área urbana), entonces se puede conocer el flujo de saturación en cualquier lugar de esa región mediante la relación S = fkSb. Algunos valores típicos de factores de equivalencia por tipo de vehículo y movimiento se muestran en la tabla siguiente. Más abajo, hay valores de flujos de saturación básicos encontrados en Chile para pistas en que solo circulan ADE (ver Gibson et al., 1997). Tipo de movimiento Viraje sin de oposición Tabla 2.2. Valores de factores de equivalencia Liviano Pesado 1,00 2,00 1,15 2,30 1,30 2,60 3,00 6,00 Normal (1) Restringido(2) Tipo de vehículo Viraje con oposición Directo Tabla 2.3. Flujos de saturación básicos (ADE/h-pista) Periodo Derecha Central IzquierdaTipo de pista 2055Punta mañana Otro 1933 2292 2141 2121 1992 72   Elementos de la teoría del tráfico vehicular C) Medición de flujos de saturación y factores de equivalencia El procedimiento general de medición consiste en observar, en una muestra de ciclos del semáforo, el número de vehículos que se descargan de una cola durante el verde. Una proporción de ellos debe estar completamente saturada (con colas que duran, al menos, todo el verde). Dos maneras —aunque no las únicas— de estimar flujos de saturación y que se describen más adelante son: • indirecta: método de regresión; y, • directa: método de histogramas. i) Método de regresión En este método se definen las siguientes variables, que se describen en la figura 2.12: T = período de descarga a saturación, medido desde que aparece el verde hasta que pasa el parachoques trasero del último vehículo que estuvo en cola bk = intervalo entre parachoques traseros de vehículos b = intervalo mínimo (de régimen) entre vehículos que salen de la cola ∆k = bk - b: diferencia de los intervalos entre los primeros vehículos y el de régimen n = número de vehículos que se descargan durante T Figura 2.12. Diagrama s-t en un semáforo β β β β3β1 β2 β4 ∆3∆1 ∆2 ββ β β s t T Trayectoria idealizada Trayectoria real s-t 73   Capacidad de dispositivos viales De la figura, se puede plantear la siguiente relación entre variables: (2.31) De aquí, se puede interpretar λ1 como la suma de los retardos en la par tida de los primeros vehículos de la cola; es decir: (2.32) Con esto, se llega a la siguiente regresión lineal: (2.33) Luego, midiendo períodos de descarga T y cantidades de vehículos descargados n, se puede estimar por regresión λ1 y b. Para ello, se requiere medir al menos 30 descargas para asegurar que las variables se distribuyeron aproximadamente según una curva normal. Si el período de descarga está completamente saturado, el valor de λ2 en cada descarga j se calcula como: (2.34) Donde V es la longitud del verde y Tj  es la duración del período de descarga j. Luego, promediando los λ2j ≠ 0 se obtiene un estimador de λ2 para la medición. Con estos valores, se puede calcular el flujo de saturación, el verde efectivo y la capacidad del acceso: (2.35) 74   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Si en la medición anterior se distinguen m clases de vehículos por tipo y movimiento, la ecuación de regresión queda: (2.36) De donde se obtiene, por regresión múltiple, estimadores de y de λ1 los bi. Si b1 es el intervalo entre ADE, se puede calcular el flujo de saturación básico y los factores de equivalencia por composición de tráfico como: (2.37) ii) Método de histogramas Este método —más conocido como Road Note 34— fue propuesto por el Road Research Laboratoty del Reino Unido (RRL, 1963). Consiste en medir durante el período de verde el número de vehículos que se descarga de una cola en intervalos sucesivos de 0,1 minuto de duración. En este método, se llama período de verde a la suma de los tiempos de verde y amarillo. La gráfica de esa descarga forma un histograma como el de la figura 2.13. De allí, la denominación adoptada. Del histograma real se deriva el histograma efectivo, desde donde se calcula el flujo de saturación real del acceso, así como las pérdidas iniciales y finales. Para ello, los autores recomiendan medir al menos 30 ciclos, 50% de ellos completamente saturados. 75   Capacidad de dispositivos viales V A R 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 S q [veh/0,1min] t [min] L2veL1 ti tf Figura 2.13. Histograma de descarga de un acceso saturado Histograma efectivo Histograma real Sean las siguientes variables: (V+A) = período de verde [min] V = tiempo de verde para el acceso [min] A = tiempo de amarillo del acceso [min] Ij = número de intervalos de 0,1 min observados (j = 1, 2, …) Nj = total de vehículos observados en el intevalo j nj = Nj/Ij = promedio de vehículos en el intervalo j [veh/0,1 min] ti, tf = duración del intervalo inicial (i) y final (f) [min] Li,Lf = tiempo perdido inicial y final [min] m = número de intervalos saturados S = flujo de saturación [veh/0,1 min] 76   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Observando la figura, el flujo de saturación será el promedio de las alturas de los intervalos, excluyendo el primero y el último; es decir: (2.38) El valor del tiempo perdido inicial o final se calcula igualando el número de vehículos que salen en ese intervalo en el histograma real y efectivo. Observando la figura: (2.39) Finalmente, se calcula la pérdida total y el verde efectivo como: (2.40) Ejemplo 2.4. De una medición en terreno, se ha recogido la información mostrada en el siguiente formulario. Derivar de allí el flujo de saturación en [veh/h] y el verde efectivo del acceso en [s]. Tabla 2.4. Formulario de registro del método RN34 1 Nª veh Nª veh 2 2 3 - - 4 2 60 29 2,07 1 1 2 0 0,1 4 4 3 0,2 4 3 2 0,3 4 - 3 0,4 3 - 2 0,5 2 - 3 0,6 2 - 4 0,7 0,8 0,10 0,08 93 29 3,21 3 92 28 3,29 3 72 23 3,13 4 59 19 3,11 2 12 4 3,00 2 10 3 3,33 3 30 16 1,88 1 1,28 16 0,08 0,06 --- 30 I n N Ciclo Intervalos (min) Último intervalo 77   Capacidad de dispositivos viales El flujo de saturación es el promedio de las alturas de los intervalos, sin incluir el inicial ni el final: Las pérdidas iniciales y finales son: Nótese que, en el cálculo de la pérdida final, nf debe estar en las mismas uni- dades que S (veh/0,1min). Como, en promedio, se registraron 1,88 vehículos y la duración promedio del intervalo fue de 0,08 minutos, esto se escala resultando nf = 2,35 [veh/0,1min]. El periodo de verde del acceso es la suma de la duración de todos los intervalos; es decir, 0,7 + 0,08 = 0,78 minutos. Luego, el verde efectivo en segundos es: 2.3.2. Capacidad de intersecciones con señal de prioridad Una intersección regulada con señal de prioridad posee uno o más accesos por los cuales el flujo no debe detenerse al llegar a la intersección (vía prioritaria), y otros por los cuales los vehículos deben ceder el paso o detenerse ante el flujo prioritario (vía secundaria). 78   Elementos de la teoría del tráfico vehicular El supuesto de funcionamiento es que los vehículos de la vía prioritaria no son afec- tados por la presencia de la intersección. Por lo tanto, la capacidad de la vía prioritaria será igual a la capacidad de un tramo de circulación continua de similares características. El problema, entonces, se reduce a determinar la capacidad de entrada a la inter- sección por los accesos de las vías secundarias. Existen dos enfoques para estimar esta capacidad, que se describen a continuación: • modelos de brecha; y, • modelos de regresión lineal. A) Modelos de brechas En los modelos de brechas, se considera que el primer conductor de la cola que se forma en un acceso secundario observa el flujo prioritario buscando un espacio entre los vehículos, apropiado para cruzar en forma segura (figura 2.14). Este vehículo actúa como “tapón” para los vehículos que están tras él. Este espacio se mide en unidades de tiempo y es la brecha o gap (g). Si la brecha es mayor o igual que un cier to valor —llamado brecha crítica (t)—, el vehículo cruza y el segundo vehículo de la cola toma posición para buscar una brecha apropiada. El proceso se repite mientras existan vehículos en cola. Natural- mente, la posibilidad de encontrar brechas para cruzar dependerá de la magnitud del flujo por la vía prioritaria. A continuación, se definen las variables para estos modelos y sus unidades. qp = flujo por la vía prioritaria [veh/h] Qp = capacidad de la vía prioritaria [veh/h] g = brecha observada en la vía prioritaria [s] t = brecha crítica: brecha aceptada el 50% de las veces para cruzar [s] b = tiempo de avance de la cola: tiempo que le toma al segundo vehículo avanzar hasta la línea de detención [s] ∆ = 1/Qp: intervalo mínimo entre vehículos por la vía prioritaria [s] 79   Capacidad de dispositivos viales Qs Qp ¿gτ? g Figura 2.14. Modelo de brechas qp Para formular un modelo que represente el comportamiento antes descrito, es necesario hacer algunos supuestos que simplifiquen la variedad de casos de una situación real. Supuesto 1: La distribución de brechas e intervalos entre vehículos de la vía prioritaria es la misma. Esto significa que los vehículos por la vía prioritaria son homogéneos. Por lo tanto, se trabaja con intervalos (h) en vez de brechas. Supuesto 2: El valor de la brecha crítica es igual y constante para todos los conductores. Esto implica que los conductores de la vía secundaria son consistentes y homogéneos. Supuesto 3: El tiempo de avance de la cola es constante; es decir, los vehículos por la vía secundaria son homogéneos. Con estos supuestos, si un intervalo h entre dos vehículos de la vía prioritaria tiene una magnitud tal que t ≤ h < t + b, entonces solo un vehículo podrá cruzar. En general, si el intervalo está en el rango t + (n-1)b ≤ h < t + nb, entonces podrán cruzar n vehículos. 80   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Sea f(n) la función de densidad de la probabilidad que cruce n vehículos durante una brecha h. Entonces, por propiedades estadísticas: (2.41) Donde F(h) es la función de distribución de los intervalos y P(h) es la probabilidad que h adopte un cier to valor. Asumiendo que se conoce f(n), el número promedio de vehículos que puede cruzar es: (2.42) E(n) es la cantidad media de vehículos que puede cruzar durante un cier to número de intervalos de distinta duración generados en la vía prioritaria. Luego, la capacidad de un acceso secundario se puede expresar de la siguiente manera, recordando que el intervalo medio es el inverso del flujo. (2.43) En consecuencia, si se puede calcular E(n), se obtendrá la capacidad. Para ello, es necesario especificar la función f(n) a par tir de F(h). Supuesto 4: La distribución de intervalos por la vía prioritaria tiene la siguiente distribución (Cowan, 1975): (2.44) Esta distribución describe la llegada de los vehículos por la vía prioritaria de dos formas superpuestas: 81   Capacidad de dispositivos viales • de manera aislada, con intervalos distribuidos según una distribución exponen- cial negativa (llegadas según Poisson), y; • en pelotones, al interior de los cuales los intervalos entre los vehículos es mínimo y vale ∆ =1/Qp; la proporción de vehículos en pelotón es θ. En consecuencia, reemplazando la expresión de F(h) en f(n), E(n) queda: (2.45) Sabiendo que , la capacidad del acceso secundario resulta: (2.46) Este es el modelo de brechas genérico, basado en el supuesto 4. De él se pueden derivar modelos específicos, según supuestos de trabajo adicionales que han hecho diver- sos autores. • Modelo de Plank y Catchpole Este modelo se obtiene simplemente al reemplazar en el modelo genérico la expre- sión de γ como función de qp, θ, y ∆. El lector puede hacer este ejercicio. • Modelo de Tanner El supuesto de Tanner es que la proporción de vehículos que llega en pelotón es igual al grado de saturación de la vía prioritaria; es decir: (2.47) (2.48) 82   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Como prueba de consistencia de este modelo, se puede ver que: (2.49) Es decir, si la vía prioritaria está saturada con una cola de vehículos, nadie podría cruzar desde el acceso secundario; luego, Qs = 0. Por otra par te, si el flujo por la vía priori- taria es nulo, la cola del acceso secundario avanzará a razón de 1 vehículo cada b unidades de tiempo. Luego, la capacidad básica (máxima) del acceso secundario será Qs0 = 1/ b. • Modelo de Gordon y Miller Estos autores asumen que el intervalo entre vehículos que llegan en pelotón por la vía prioritaria puede ser tan pequeño como se quiera; es decir: ∆→0. Luego: (2.50) Este supuesto presenta una inconsistencia: no predice que Qs = 0 cuando qp = Qp. • Modelo de Van Vliet Para resolver la inconsistencia del modelo anterior, sin perder su simplicidad, Van Vliet propone ponderarlo por el factor (1–xp), en que xp es el grado de saturación de la vía prioritaria. (2.51) De este modo, si qp = Qp, xp = 1 y Qs = 0, como se esperaría. Calibraciones de los modelos de brechas han arrojado los siguientes valores de sus parámetros, según la forma de regulación (señal de prioridad o rotonda) y el tipo de vehículo (liviano, pesado). 83   Capacidad de dispositivos viales Tabla 2.5. Parámetros típicos de modelos de brechas 2,0 3,5 rotondas 5,5 señal prioridad 3,5 rotondas 8,0 pesados prioridad 5,0 livianos prioridad ∆ β τ Q p = 1800 Q s0 = 1000 Q s0 = 650 Parámetro Capacidades (veh/h-pista)Valor (s) Se observa en la tabla que la capacidad básica de una rotonda es un 50% mayor que la de una intersección regulada con señal de prioridad. Ejemplo 2.5. Usando los parámetros asociados a una intersección regulada con señal de prioridad de la tabla 2.5, calcular la capacidad de la rama secundaria por la que circulan solo vehículos livianos. El flujo por la vía prioritaria es 700 veh/h. Se usará el modelo de Tañer, con los siguiente parámetros en segundos: ∆ = 2, t = 5 y b= 5,5. El cálculo es directo, cuidando que las unidades sean coherentes. Es decir, qp = 0,194 veh/s. Como comparación, el modelo de Gordon y Miller, arroja el siguiente resultado: Este resultado, con la corrección de Van Vliet —notando que (1-xp) = (1-qp )— se transforma en: 84   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Es decir, tomando como base el modelo de Tanner, la estimación de Gordon y Miller está un 11% por arriba y la de Van Vliet un 32% por debajo, para este caso. El lector podrá calcular estas diferencias si qp es la mitad y el doble del valor usado en el ejemplo y sacar conclusiones. Por esta y otras razones los modelos de brechas han sido cuestionados. Otra fuente de crítica son los parámetros que deben suministrarse y los supuestos que debe hacerse sobre ellos. En primer lugar, la necesidad de encontrar una brecha crítica t de validez general; en la realidad, esta depende de la composición de tráfico por las vías prioritarias y secundarias. También se debe proveer un tiempo de avance b de la cola del acceso secundario que sea estable; sin embargo, este dependerá de las características de los dos primeros vehículos en la cola que hay en cada opor tunidad. Además, se ha observado que, tanto t como b, varían con la demora que hayan experimentado los conductores del acceso secundario. En el caso de la brecha crítica, un conductor que se ha demorado mucho puede llegar a forzar una brecha para cruzar. Mención apar te merece que los modelos de brecha no incorporen de forma explícita los factores de diseño de la intersección, como la visibilidad y la geometría. Debido a lo anterior, se ha desarrollado un acercamiento distinto al problema: los modelos de regresión lineal, que se describen a continuación. B) Modelos de regresión lineal A diferencia de los modelos de brechas, los modelos de regresión lineal no se deri- van de principios básicos, sino que constituyen una aproximación empírica al tema. Permiten estimar la capacidad de cada movimiento secundario que se produce en una intersección, en vez de hacerlo para el acceso completo (figuras 2.15 y 2.16). Par ten de la base de que un movimiento secundario tiene una capacidad básica Q0, la que se ve reducida en la medida en que más vehículos circulan por la vía prioritaria. Luego, la forma genérica de la capacidad Qs de un movimiento secundario es: (2.52) 85   Capacidad de dispositivos viales Donde P es el conjunto de movimientos prioritarios que se oponen al movimiento secundario en cuestión, qpi son los flujos de esos movimientos y ai es el impacto marginal de esos movimientos en la capacidad. Como el modelo es una relación lineal, el procedimiento para obtener los parámetros Q0 y ai consiste en medir la capacidad de intersecciones reguladas con señal de prioridad con distintas configuraciones geométricas y de flujos prioritarios. Se hizo una serie de expe- rimentos en el Reino Unido (Kimber y Coombe, 1980) para calibrar este tipo de modelos y se llegó a la siguiente forma funcional. (2.53) Donde Qs, Q0 y qpi se miden en [veq/h] para independizarlos de la composición de tráfico en cada sitio, asumiendo que 1 veh pesado (bus, camión) equivale a 2 veq. X, Y y Z son parámetros que dependen de distintas variables geométricas. (2.54) Las variables geométricas son las siguientes, todas medidas en metros: WM = ancho de la mediana de la vía prioritaria, si existe W = ancho de la vía prioritaria w = ancho de la pista del movimiento secundario VI, VD = visibilidad a la izquierda y derecha desde el acceso secundario, respec- tivamente x1, x2 = parámetros que dependen del movimiento secundario Calibraciones realizadas en Chile (Schumilo y Coeymans, 1987), combinadas con los resultados de Kimber y Coombe (1980), arrojaron los valores de parámetros para inter- secciones en “T” y en “+”, que se muestran. Nótese que los valores de capacidad básica obtenidos con estos modelos varían aproximadamente entre los 660 y 800 veq/h-pista, dependiendo del movimiento. 86   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Mov Tabla 2.6. Parámetros de intersección en T 0.0009 0.0009 0.0009 0 0 0 00 796 661 0.559 0.259 0.364 0.167 0.1670.364 0.364 0.364745 0.0009 0 S-E S-W E-S x1 x2 QO αE-S αE-W αW-E αW-S S W E Vía secundaria Figura 2.15. Movimientos secundarios en intersección en T N Vía proritaria Mov Tabla 2.7. Parámetros de intersección en + 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 796 723 661 0.259 0.559 0.5590.259 0.259 0.260 0.364 0.364 0.364 0.167 0.182 0.167 0.167 0.364 0.364 0.364 0.364745 0.0006 0.0006 0 S-E S-N S-W E-S αW-N αN-EαW-SαW-EαE-NαE-SαE-WQOx2x1 87   Capacidad de dispositivos viales Figura 2.16. Movimientos secundarios en intersección en + S W E Via secundaria N N Vía proritaria En estos modelos, se asume que cada movimiento secundario ocupa una pista propia para hacer su maniobra. En caso contrario —por ejemplo, si en las figuras 2.15 y 2.16 los movimientos secundarios compartieran una misma pista—, la capacidad conjunta de esa pista (Qsc) se obtiene de la siguiente expresión: (2.55) Donde qsj y Qsj son el flujo y la capacidad del movimiento secundario j, respecti- vamente. Las capacidades Qsj se obtienen de las ecuaciones de los movimientos “puros”. Ejemplo 2.6. Para la intersección de la figura 2.15, calcular la capacidad del movi- miento S-E, si los flujos entre los accesos son los que se indican. En la intersección, solo hay vehículos livianos. Todas las pistas de la intersección son de 3,00 m de ancho y la visibilidad desde el acceso sur es de 60 m, indistintamente para ambos lados. 88   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Calculemos los valores de X, Y, Z, sabiendo que WM = 0, WSE = 3,00, wSE =3,00 y VISE = VDSE = 60 m. La ecuación de Qs para el movimiento S-E es: Se deja al lector el cálculo de la capacidad de los restantes movimientos secundaros, sabiendo que la visibilidad desde el acceso este es de 120 m. 2.3.3. Capacidad de rotondas Una rotonda es una intersección regulada con señal de prioridad; pero, por su diseño geométrico, hay un solo movimiento secundario que ingresa con un ángulo oblicuo a la intersección. La capacidad de un acceso dependerá solo del flujo que circula frente a este, llamado flujo circulante (línea punteada en la figura 2.17). Qe qc Figura 2.17. Movimientos en una rotonda La capacidad se puede estimar ya sea con modelos de brechas —con los parámetros apropiados— o con modelos de regresión lineal. Estos últimos tienen la forma general típica. (2.56) 89   Capacidad de dispositivos viales Donde Qe, en [veq/h], es la capacidad de entrada por un acceso de la rotonda, qc es el flujo circulante frente al acceso [veq/h] y a es un factor de reducción de la capaci- dad ideal Q0 debido a características geométricas del acceso. Kimber (1980) repor ta la siguiente forma funcional para este modelo: (2.57) Donde a, b y c son parámetros; k, x, e y son factores que dependen de la geometría. (2.58) La explicación geométrica de las variables se muestra en la figura 2.18. En tanto, sus unidades y rangos de validez se muestran en la tabla 2.8. v φ l r D Figura 2.18. Variables geométricas en una rotonda e 90   Elementos de la teoría del tráfico vehicular Tabla 2.8. Variables y parámetros de capacidad en rotondas Variable Unidades Rango Definición e v l D r φ a b c [m] [m] [m] [m] [m] [°] [ ] [ ] [ ] 3,6 - 16,5