Matemáticas Aplicadas con mención en Procesos Estocásticoshttps://repositorio.pucp.edu.pe/index/handle/123456789/1714882024-03-28T10:44:33Z2024-03-28T10:44:33ZEstrategia óptima de inversión-consumo con tasa de interés estocástica y función de utilidad HARAGuillen Mendoza, Abelhttps://repositorio.pucp.edu.pe/index/handle/123456789/1841442022-09-05T15:42:38Z2022-03-22T00:00:00ZEstrategia óptima de inversión-consumo con tasa de interés estocástica y función de utilidad HARA
Guillen Mendoza, Abel
En el presente trabajo estudiamos el problema de optimizaci on de inversión-consumo en
tiempo continuo cuando la tasa de inter es es estocástica (bajo el modelo de Vasicek, de
Hull-White y de Ho-Lee) y la función de utilidad pertenece a la familia de funciones HARA
(Hyperbolic Absolute Risk Aversion), la cual engloba funciones de utilidad que se
emplean frecuentemente en problemas de optimizaci on de portafolios de inversi on. El objetivo
es encontrar una estrategia din amica de distribuci on de la riqueza de un individuo
entre consumo e inversi on en instrumentos financieros riesgosos (cuyos precios est an gobernados
por movimientos geom etricos brownianos) y uno libre de riesgo con retorno igual
a la tasa de inter es, la cual debe maximizar su utilidad agregada durante un periodo de
tiempo finito. Este problema de control optimo estoc astico se resuelve usando el principio
de programaci on din amica, por lo que se busca una funci on que resuelva la ecuaci on de
Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Para simplificar esta ecuación diferencial parcial no lineal
en tres variables empleamos la transformada de Legendre, la cual reduce el problema a
dos ecuaciones diferenciales parciales lineales en dos variables. Estas se resuelven aplicando
el principio de Duhamel, con lo cual conseguimos otra manera de obtener la soluci on del
problema a la planteada por Chang y Chang en [4]. Los aportes principales del trabajo son
el teorema de verificación que demuestra que la funci on hallada que resuelve la ecuaci on
HJB equivale a la función de valor del problema de inversión-consumo, la demostración
de que las funciones en las que se alcanzan los supremos en la ecuaci on HJB forman la
estrategia óptima, y el desarrollo del problema de inversión-consumo bajo los modelos de
Hull-White y de Ho-Lee de tasa de interés.
2022-03-22T00:00:00ZEl browniano fraccionario y el cálculo de Malliavin en las finanzas cuantitativasSoldevilla Cueva, Abraham Alonsohttps://repositorio.pucp.edu.pe/index/handle/123456789/1841432022-09-05T15:42:38Z2022-03-22T00:00:00ZEl browniano fraccionario y el cálculo de Malliavin en las finanzas cuantitativas
Soldevilla Cueva, Abraham Alonso
Podemos definir "Finanzas cuantitativas" como la rama de las finanzas donde se desarrollan
e implementan modelos matemáticos complejos, los cuales usarán las empresas para tomar
decisiones sobre la gestión de riesgos, futuras inversiones y los precios de nuevos productos
financieros. El objetivo de la investigación es presentar el Movimiento Browniano Fraccionario
y Elementos del Cálculo de Malliavin en su uso para determinar el precio de los derivados
financieros. Con el fin de mostrar como son aplicados diversos objetos matematicos y sus
contextos en las Finanzas cuantitativas replico los tres resultados sobre derivados de volatilidad
propuestos en 2009 por Peter Carr y Roger Lee en su publicación titulada "Volatility
Derivatives[8]", los cuales se evalúan mediante ejercicios de simulación y utilizando el cálculo
de Malliavin, siguiendo el trabajo de Elisa Àlos y Kenichiro Shiraya titulado "Estimating the Hurst parameter from short term volatility swaps: a Malliavin calculus approach".; We can define "Quantitative Finance" as the branch of finance that develop and/or implement
complex matematical models, which are used by financial firms to make decisions about risk
management, future investments and pricing of new financial products. The objective in this
research is to show which mathematical objects are used in quantitative finance for derivatives
pricing. My main focus are the stochastic process knows as Fractional Brownian Motion and
the elements from Malliavin Stochastic Calculus. Given that my goal is to show how several
mathematical objects and their context are apply in quantitative finance, I replicate three
results about volatility derivatives from Peter Carr and Roger Lee publication "Volatility
Derivatives" and evaluate them using simulation exercises and Malliavin Calculus, following
the work publish in 2019 by Elisa Àlos and Kenichiro Shiraya with the name "Estimating the
Hurst parameter from short term volatility swaps: a Malliavin calculus approach".
2022-03-22T00:00:00ZControl óptimo estocástico de una cuenta individual de capitalización en el sistema privado de pensiones del PerúCastañeda Medina, Ranuhttps://repositorio.pucp.edu.pe/index/handle/123456789/1830682022-09-05T15:42:38Z2022-01-12T00:00:00ZControl óptimo estocástico de una cuenta individual de capitalización en el sistema privado de pensiones del Perú
Castañeda Medina, Ranu
El presente trabajo estudia los efectos de los cargos administrativos en saldo y/o en
flujo que aplica una administradora de fondos de pensiones sobre una cuenta de retiro
individual durante el periodo de acumulación. Los cargos administrativos y el aporte
mensual del contribuyente son modelados a través de funciones determinísticas,
continuas y acotadas en un intervalo de tiempo [0, T] con T ∈ R; y luego, haciendo uso
de la teoría de control ´optimo estocástico, se establece un problema de programación
dinámica mediante el cual maximizamos la utilidad esperada de la riqueza terminal del
aportante. La solución del problema antes mencionado nos permite obtener expresiones
analíticas que relacionan los parámetros del modelo. Así mismo, se han propuesto
funciones candidatas para cada uno de los parámetros que estamos modelando, los
cuales fueron ajustados a la realidad de los sistemas pensionarios y que a su vez
permitan la tractabilidad analítica del modelo. Particularmente, se abordó el caso de la
comisión por saldo y de la tasa de contribución, llegando a proponer funciones que se
ajustan a nuestros requerimientos teóricos y prácticos.
Finalmente, para la aplicación numérica del modelo se usó como caso particular al
Sistema Privado de Pensiones del Perú (SPP), tomando como punto de partida los
actuales valores de las comisiones y ratios. Posteriormente, se muestra la dinámica de
la comisión en saldo, ajustada a diferentes periodos de acumulación, en relación a la
comisión en flujo. De esta manera, la aplicación de este trabajo en el SPP es muy ´útil
como herramienta de benchmarking.
2022-01-12T00:00:00ZEstudio del método de Galerkin discontinuo nodal aplicado a la ecuación de advección lineal 1DSosa Alva, Julio Césarhttps://repositorio.pucp.edu.pe/index/handle/123456789/1463902024-01-22T16:25:00Z2019-01-21T00:00:00ZEstudio del método de Galerkin discontinuo nodal aplicado a la ecuación de advección lineal 1D
Sosa Alva, Julio César
The present work focuses on Nodal Discontinuous Galerkin Method applied to the one-dimensional
linear advection equation, which approximates the global solution, partitioning its domain into elements.
In each element the local solution is approximated by using interpolation in such a way that
the total numerical solution is a direct sum of those approximations (polynomials). This method
aims at reaching a high order through a simple implementation. This model is studied by Hesthaven
and Warburton [16], with the particularity of Joining the best of the Finite Volumes Method and
the best of Finit Element Method .
First, the main results are revised in detail concerning the Jacobi orthogonal polynomials; more
precisely, its generation formula and other results which help implementing the method. Concepts
regarding interpolation and best approximation are studied. Furthermore, some notions about Sobolev
space interpolation is revised. Secondly, theoretical aspects of the method are explained in
detail , as well as its functioning. Thirdly, both the two method consistency theorems (better approximation
and interpolation), proposed by Canuto and Quarteroni [4], and error behavior theorem
based on Hesthaven and Warburton [16] are explained in detail. Finally, the consistency theorem
referred to the interpolation is veri ed numerically through the usage of the Python language as
well as the error behavior. It is worth mentioning that, from our numerical results, we propose a
new bound for the consistency (relation 4.2 (4.2)), whose demonstration will remain for a future
investigation.; El presente trabajo consiste en el estudio del método numérico Galerkin Discontinuo Nodal
aplicado a la ecuación de advección lineal unidimensional, el cual aproxima la solución global, particionando
su dominio en elementos. En cada elemento se aproxima la solución local usando interpolación;
de tal manera que la solución numérica total es una suma directa de dichas aproximaciones
(polinomios). El método busca alcanzar un alto orden mediante una implementación sencilla. Este
modelo es estudiado por Hesthaven y Warburton[16], con la particularidad de Fusionar lo mejor
del método de Volúmenes Finitos con lo mejor del método de Elementos Finitos .
Primero se revisan en detalle los principales resultados sobre los polinomios ortogonales de Jacobi;
más precisamente, su fórmula de generación y otros resultados que ayudan en la implementación
del método. Se estudian los conceptos de interpolación y mejor aproximación. Además, se revisan
algunas nociones de interpolación de espacios de Sobolev. Segundo, se detallan aspectos teóricos del
método, así como su funcionamiento. Tercero, se brinda en detalle tanto la demostración de los dos
teoremas de consistencia del método (mejor aproximación e interpolación) propuestos en Canuto
y Quarteroni[4] como el comportamiento del error basado en Hesthaven y Warburton [16] . Finalmente,
se veri ca numéricamente, mediante el uso del lenguaje Python, el teorema de consistencia
referido a interpolación, así como el comportamiento del error. Se propone una nueva cota para el
consistencia (relación (4.2)) basados en los resultados numéricos, cuya demostración quedará para
una futura investigación.
2019-01-21T00:00:00Z