EBQA 1-.....- CUAf) Q I CAó Y TEN80QE6 jasé tola. pa~quel 0EGUNDA -­ PAQTE PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU FONDO EDITORIAL 1989 "1 /4" j, '. 1 > ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL SEGUNDA PARTE j UNlVRRSJM D. CA TGUGA ~lit :J i E i;U BIBLIOTECA }OSE TOLA PASQUE C O M p A A ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL · SEGUNDA PARTE CUADRICAS Y TENSORES PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU FONDO EDITORIAL 1989 Primera edición, enero de 1989 Cubierta: Víctor Cumpa Algebra linealy multilineal. Segunda parte Copyright © 1988 por Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, Av. Univer_sitaria, cuadra 18. San Miguel. Apartado 1761. Lima, Perú. Tlfs. 626390, 622540, Anexo 220. Derechos reservados Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcial­ mente, sin permiso expreso de los editores. ISBN 84-89292-83-3 Impreso en el Perú - Printed in Pero P R E F A e I O No obstante que este libro fue escrito en 1976, al mismo tiempo que la primera parte, la cual fue public~ da en 1978, y .se hizo de él una primera edición manuscri:_ ta que tuvo difusión, exclusivamente, dentro de la Pon tificia Universidad Católica, diversas circunstancias han dado lugar a que sólo haya sido posible publicarlo en el presente. Las citas referentes a la primera parte están indi cadas con la notación ( Parte 1, etc.) Los ejercicios señalados con un asterisco(*) com plementan el texto y ocasionalmente contienen proposici~ nes que son utilizadas en él. Una tercera parte, esencialmente dedicada al Alge­ bra Exterior está próxima a ser publicada. Lima, noviembre de 1988 José Tola ALG E BRA LINEAL V MLJLTILINEAL INDIC E GENERAL Capítulo I Funciones bilineales simétricas. Cuádricas de los espacios afines reales y de los espacios euclideanos § l. La topologia natural de los espacios vectoriales reales de dimensión finita 1.1 La topología natural o standard de un espacio ve c­ t orial real de dimensión finita 1.2 Continuidad de las funciones p - lineales § 2. Funciones bilineales simétricas y func iones cuadráticas 2.1 Funciones bilineales 2.2 Funciones bil i neales simétricas 2.3 Funciones cuadráticas 7 11 1 2 1 8 2.4 Funciones bilineales simétricas definidas e indefi nidas 25 2. 5 Descomposición de un espacio vectorial de dimensión finita respecto de una función bilineal simétrica indefinida no degenerada 26 2.6 Descomposición de un espacio vectorial de dimensión finita respecto de una función bilineal simétrica indefinida degenerada 30 2. 7 Indice y signatura de una función bilineal simétrica 32 2.8 Diagonalización de la matriz de una función bili- neal simétrica 34 2.9 Ley de inercia de Sylvester 36 2 .10 Determinación del índice y del rango de una función bilineal simétrica dada por su forma cuadrática 39 § 3. Cuádricas en los espacios afines reales 3.1 Definición de las cuádricas 42 3.2 Espacios e hiperplanos tangentes a una cuádrica 47 3.3 Conos 59 3.4 Cuádricas con centro 70 3.5 Formas normales de las ecuaciones de las cuádricas de un espacio afín 77 3.6 Equivalencia afín de las cuádricas 86 3.7 Clasificación afín de las cuádricas 95 3.8 Clasificación afín de las cuádricas del plano 96 3.9 Clasificación afín de las cuádricas del espacio afín de tres dimensiones 97 X § 4. Cuádricas de los espacios euclideanos 4.1 Introducci6n 99 4.2 Vectores normales y normal a una cuádr ica 101 4.3 Cuádricas con centro, en un espacio euclideano 104 4 . 4 Cuádricas sin centro, en un espacio euclideano 107 4 .5 Equivalencia métrica de cuádricas de un espacio afín euclideano 118 4. 6 Clasificaci6n métrica de las cuádricas de un es- pacio euclideano 12 1 4.7 Formas normales de las ecuaciones de las cuádri- cas del plano y del espacio de tres dimensiones 130 4. 8 Ejemplos 132 Capitulo 11 Producto tensorial de espacios vectoriales 5. Producto tensorial . Tensores 5 .1 Aplicaciones mul ti lineales de espacios vectoria- les 141 5.2 Producto tensorial de dos espacios vectoriales 144 5.3 Existencia del producto tensorial de dos espa- cios vectoriales 150 5.4 Propiedades elementales del producto tensorial de espacios vectoriales 154 5.5 Otras condiciones necesarias y suficientes para que el par (Z, ip) sea producto tensorial de Uy V 158 XI 5.6 Isomorfismos naturales de productos tensoriales de espacios vectoriales. Asociatividad del pr~ dueto tensorial 173 5.7 Producto tensorial de un número finito cualqui~ ra de espacios vectoriales 177 5.8 Existencia del producto tensorial de un número finito cualquiera de espacios vectoriales 179 5.9 Otras condiciones necesarias y suficientes para que el par (Z,~) sea producto tensorial de un número finito de espacios vectoriales 180 5.10 Propiedad asociativa general del producto tenso rial de un número finito de espacios vectoriales 182 5.11 Producto tensorial de aplicaciones lineales 188 5.12 Producto de Kronecker o producto tensorial matrices de 5.13 Traza de los endomorfismos de un espacio de di- 195 mensión finita 197 5.14 Componentes de un tensor del producto tensorial de espacios de dimensión finita 199 5.15 Producto tensorial de subespacios y de espacios cocientes 201 5.16 Imagen y núcleo del producto tensorial de dos aplicaciones lineales 205 5.17 Producto tensorial de aplicaciones y de funcio­ nes bilineales. Dualidad entre productos tenso riales de espacios vectoriales 209 6.1 6.2 6.3 XII 6. Tensores afines sobre espacios de dimensión finita Espacio tensorial afín. variantes y covariantes. Tensores afines contra Tensores mixtos - Componentes de los tensores afines Convenio de sumación de Einstein 219 222 226 6.4 6.5 6 . 6 6.7 7 .1 el 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 8.1 8 . 2 8.3 8.4 8.5 Criterios de tensorialidad Operaciones en el conjunto de los tensores afi­ nes Criterio general de tensorialidad Tensores afines simétricos y antisimétricos § 7. Tensores euclideanos Componentes contravariantes y covariantes de un vector de un espacio euclideano . Vectores eu­ clideanos Tensores euclideanos. Diversas clases de comp~ nen tes Tensores euclideanos simétricos y antisirnétricos Tensores euclideanos referidos a bases ortonor­ males. Tensores cartesianos El tensor fundamental o tensor métrico Operaciones en el conjunto de los tensores euclideanos El espacio ~P V = V~ •• • ~V ( p factores) cons i de rado como espacio euclideano § 8. Algebra tensorial Suma directa de espacios vectoriales Suma directa de subespacios de un espacio vecto rial Subespacios complementarios Dual de la suma directa de dos espacios Producto de tensores sobre un espacio vectorial 232 239 244 245 250 254 260 261 2ó2 266 269 272 276 280 282 284 XIII 8 . 6 Algebra tensorial de un espacio vectorial 286 8 . 7 Propiedad universal de ®V 290 8.8 Algebras tensoriales sob r e un par de espacios duales 294 8.9 Tensores mixtos 296 8.10 La operación de contracción 298 8.1 1 Algebra tensorial mixta 300 8 . 12 Algebra tensorial sobre un espacio vectorial real , de producto interno y de dimensión finita 302 8.13 Algebr a tensorial de las funciones multilineales sobre un espacio de dimensión finita y su dual 8.13-A. Introducción 303 8.13 -B. Producto tensorial de funciones multi­ lineales definidas sobre los espacios duales V y V* de dime.nsión n 305 8 .13-C 8 . 13-:-0 Dualidad en los espacios de funciones multilineales Algebras tensoriales de las funciones multilineales Indice de símbolos Indice XIV 308 310 313 315 CAPITULO I fGncio~es bilineales simétricas. Cuádricas de los espacios afines reales y de los espacios euclideanos Los espacios vectoriales que vamos a considerar en el presente capítu­ lo son exclusivamente reales y de dimensión finita. §l. La topologia natural de los espacios vectoriales reales de dimensión finita. 1.1 La topologial natural o standard de un espacio vectorial real de dimensión finita. Hecordemos en primer lugar el concepto de topología inicial Dado un conjunto M y una familia {Ei} i E I · de espacios topológicos, sea U¡ }iE I una familia de aplicaciones f¡ : M ~ Ei . Se ll ama topología inicia l de M para la familia U)iEI a la topología menos fina de l~l p ar a 1 a cu a 1 s o n c o n t i n u as t odas 1 as a p 1 i c a e i o ne s f i , La s imág enes recíp r ocas por las aplicaciones f¡ , de los abiertos de los espacios ~,constituyen una subbase de la topología inicial, es decir que las intersecciones finitas de dichas imágenes recí procas consti tuyen una base B de esa topologí a. ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL . SEG UN DA PARTE Sea ahora V un espacio vectorial r e al d e dimensión n. Sean & = {e 1 , • •• • ,en} una base de V y &* = {e 1 , • ••• ,en} la base dual. Introduciremos las siguientes notaciones: dados un v ec- tor cualquiera a = L ai e¡ y e l número positivo o ' escribire i = 1 mos Uª (o) {x e V l l xi - ai 1 < o ' i = 1 , . . •• , n; X L xi e ¡ } ; i = 1 y dados un número real r y un número positivo E ' sea Ir ( e) {xEIR llx-rif 1 ( "j ) , en que los "'j son j = 1 abiertos de IR. Si a e U, se tendrá que a e~ para j = 1, .•. , p y por tanto ei xi < j J e I a;< ¡ J ( o ) e 1V. J para ~ e í(j J (x) e W J Es decir que para j =1, ... , p • para i = 1 , ... , p => j = 1 ' ... ,P p '( . ) 1 n (e 1 1 f ( W) TJ • X € j = 1 J Dado aeV , l os conjuntos Úa(o) cons t i tuyen un sistema fundamental de vecindades de a en la topología r 1 • Teorema 1.1.2. La condición necesaria y sufic i ente para que una función f: V-+ IR sea continua respecto de la topología r1 es que, dados aeVy e>O arbitrar ios , exista EJ> O tal que x eC~(o) => Jf(x )- f (a) 1 , para un vector dado a, constituyen un sis­ tema fundamental de v ecindades de a en la topología ru y que los intervalos abierto s If (a) (e) cons ti tu yen un sis t ema fundamental 3 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE de vecindades de f(a) en el espacio IR. Por tanto, la relación (1.1.1.), que puede escribirse en la forma xe Ua( o) ~ f (x) el f(a) (e) implica la continuidad de f en a en virtud de un conocido criterio 11 Designemos ahora por r a la topología inicial de V para la familia de todas las funciones (reales) lineales definidas en V, es decir la topología menos fina para la cual son continuas todas la funciones que constituyen el espacio dual V* de V. Teorema 1.1.3. La topología inicial r para las funciones li­ neales definidas en V es idéntica a la topología r 1 para las fun ciones e 1 , • •• ,en de una base cualquiera de l espacio dual . Por tanto todas las funciones lineales definidas en V son continuas para la topología r 1 • Demostración . Es evidente que r 1 e r .por cuanto las funciones e 1 , ••• , en son continuas respecto de la topología r, Basta pr!2._ bar por tanto que r e r 1 , es decir que toda función lineal f es continua en la topología r 1 • Dado e > O puede elegirse un número o> O tal que n í: !t ( ei ) ! ) ó < e • i = 1 Dado un vector cualquiera aeV, s i escribimos n x = L xi e¡ , se tiene que i = 1 4 n a = L a i e¡ i = 1 y ESPACIOS VECTORIALES REALES DE DIMENSION FINITA n X€ Ua ( o ) => 1 f (X) - f (a ) jf(x-a) 1=1 L (xi- a i ) f(e¡) J i = 1 n ~ ~ J x i - a i 1 J f (e i ) 1 < ( :E 1 f ( e¡ ) 1) 0 < e • j = 1 j = 1 El teorema 1.1 . 2 permite concluir que fes continua en la topQ logía r 1 • m Una consecuencia de la proposición anterior es que la top~ logia Tl es independiente de la base (e¡) de V respecto dela cual fue definida. En particular, cada vecindad Ua(o) obtenida a partir de una base, contiene a una vecindad de a del mismo tip~ obtenida a partir de otra base cualquiera. Definición 1.1.1. Se llama topologla natural o standard de un espacio vectorial real V de dimensión finita, a la topología ini cial para la familia de todas las funciones lineales definidas sobre V. En virtud de los teoremas 1. 1.1. y 1.1. 3., dada una base cualquiera de V, los conjuntos Ua(o) constituyen una base de la topología natural. Consideremos ahora p espacios vectoriales V1 , ••• , VP, de dimen.sienes finitas, en cada uno de los c.uales suponemos intro­ ducida la topología natural. El producto cartesiano V=V1 x •.• x~ puede considerarse entonces como un espacio topológico provisto de la topología producto de las topologías naturales, es decir la topología inicial para las p aplicaciones n¡: V~ V¡ das por las relaciones def ini 5 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL . SEGUNDA PARTE Dado un elemento a = (a 1 , ••• ,an) cV, sea ahora p n j = 1 donde Ua¡ ( ó) es una vecindad de a¡ e v; relativa a la topología natural de Vi y para una base dada en este espacio. Consideraciones como las empleadas en el teorema 1.1.1. ,p~ ro en que las aplicaciones 7T¡ deben cumplir el papel de las fun ciones ei , permiten comprobar que los conjuntos Ua(ó) forman una base de la topología de V. p V es un espacio vectorial cuya dimensión es ~ dimv¡, por j = 1 tanto V admite una topología natural. Se prueba sin dificultad que los conjuntos Ua(ó) constituyen la base de dicha topología natural que, por tanto, coincide con la topología precedenteme~ te definida. Resulta así que una función f: V ~m es continua en a si, dado e> O, existe o> O tal que En adelante, en Zos espacios vectoriales de dimensión finita consideraremos Za topoZogta natural. 6 ESPACIOS VECTORIALES REALES DE DIMENSION FINITA Ejercicio *1.l.l Una aplicación t~x(t) del intervalo [t 0 ,t1 ] en el es­ pacio vectorial V de dimensión n, provisto de la topolQ gía natural es continua si para cada número Te[t0 , t 1 ] y cada abierto Ux(tJ (e) existe 8 > O tal que [17-tl X ( t ) e Ux ( t ) ( € ) 1.2 Continuidad de las funciones p-lineales. Definición 1.2.1 Se dice que la aplicación donde V1 , ••• , VP son espacios vectoriales de dimensión finita, es una funci6n p-li-neal si cumple la condición cualesquiera que sean a,{3 em, xi e Vj para j =1, ..• ,p,ey¡ e v;. En particular, si p=1 se dice que es una función lineal y si p =2 que es bilineal. Teorema 1.2.1 Cada función p-lineal es continua. Demostración. Supongamos que {iiJ e(iJ 1 ' • • • ' n¡ es una base de V¡, y que n¡ k · e (.i J n¡ k· (i) x . L ~( ~ ) y a¡ = L Q'. 1 e 1 k . (i) k¡ k. =1 1 k¡=l 1 7 A LGEBRA L 1 NEAL Y MUL T I Ll NEAL . SEGUNDA PARTE Tendrem os 1 ( x 1 ' • • • ,xp ) - ( ª 1 ' • • • 'ªP) 1 Ahora bien, la expresión que aparece en e 1 segundo miembro de e2 k. k ta desigualdad es función continua de ~ a~ , ••• , ~(~) y se anula cuando ~;j> = Of.;j~. Luego puede e.scogerse o >O de modo que para 1 k . k · 1 < ~(iJ - ª<~> ó 1 ' • . ., p ' es decir para xi e Ua ( ó) y por tanto para (x 1 , . .. ,xp) e Ua 1 (ó)x ... x Uap(ó), se cumple que k · ~(1~ y por consiguiente kp 1 1 ( 1) (p) 1 < a:: 1 ( x 1 , • •• , x p ) - ( a 1 , • •• , a p) 1 . m La proposición siguiente proporciona una nueva caracteri­ zación de la topol og ía natural. 8 ESPACIOS VECTOR IALES REALES DE DIMENSION FI NITA Teorema 1.2.2. La topología natural de un espacio vectorial de dimensión n es la única para la que se cumplen las dos condicio nes siguientes : l. V es un espacio vectorial topológico , es decir que las op~ raciones V X V -+ V y B X V -+ V definidas por (x ,y) ~ x+y (1.2 . 1.) (a ,x) ~ O'.X son continuas cuando se considera en V X V y E xV las topologías producto de las topologías naturales. 2. Las funciones lineales definidas en V son continuas. Demostración. La topología natural cumple las condiciones del enunciado en virtud de la definición 1.1.1 y del teorema 1.2.1., por cuanto las aplicaciones (x ,Y) ~ x +y y ( a,.x) ~ax son bili neales. Vamos a probar que la topología natural . es la única que c~ ple las condiciones del enunciado. Supongamos que r' sea una to­ pología que cumple esas condiciones. Sea (e 1 , • •• ,en) una base de V y definamos las aplicaciones. , y en ocasiones por (x,y). 1) Ver poi ejemplo Hocking 'y Young,. Topology, Addison Wesley, (1961), pág. 6 . 11 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE Definición 2.1.1. Dada una función bilineal <1>: Ux V ~m, se 11~ man radical izquierdo y derecho de , respectivamente, a los subespacios K 1 e U y K 2 e V dados por { xeU (x,y) {yeV (x,y) O para todo y e V O para todo x e U Definición 2 .1.2. La función bilineal ·: UxV ~ Dl se llama no degenerada cuando K1 = K2 = {O} . En caso contrario se llama degenerada . . Por consiguiente es no degenerada si se cumplen las con­ diciones: 1. Si para un xe U es (x, y)= O para todo ye V, entonces es x =0. 2. Si para un ye V es (x, y) = O para todo xe U, entonces es y =0. Definición 2.1.3. Una función bilineal : V xV ~E se llama función bi lineal sobre V. 2.2 Funciones bilineales simétricas. Una función bilineal : VxV~R sobre V se dice que es simétri­ ca si satisface a la condición (.X 'y) ( y ,x) • Los radicales K1 y K2 de una función bilinea} simétrica son idénticos. Los representaremos en adelante por K, y lo 12 FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATICAS llamaremos núcleo de . es entonces no degenerada cuando K ={O} . El núcleo de se designa por Ker Definición 2.2.1. Se llama rango de una función bilineal simé­ trica : V x V-* R, donde V es un espacio de dimensión n, al número positivo r = n -· dim K donde K es el núcleo de una función bilineal simétrica. Dada una base cualquie- n ra (e¡ ) de V, sean x = L ~i e¡ j = 1 e y = L r¡i e¡ dos vectores j = 1 arbitrarios de V. Se tiene entonces n n ( X ,Y) L L O'. . . ~ j r¡j j = 1 j = 1 f J ( 2. 2 .1) donde O'.¡ j (e¡ 'ej ( 2. 2. 2) El segundo miembro de la ecuación ( 2. 2. 1) es la forma bilineal que representa a respecto de fo base (e¡ ) . Los números a j j dados por las fórmulas ( 2. 2. 2) son los coeficientes de la forma. La simetría de implica que a .. IJ ex . . J f (2.2.3) 13 ALGE BRA LIN EA L Y MULTILIN EA L. SEGUNDA PARTE Definición 2 . 2.2. Se llama matr i z d e r elativ a a una b a se (e¡) a la matriz ( (e¡, ej) son los coeficientes de la forma bi lineal que representa a respecto de la base(~) . Las matrices que representan a una forma bilineal simétrica son s i métricas, en virtud de ( 2. 2 . 3) . Teorema 2 . 2 . 1 . Sea : V x V ~/El una función bilineal simétrica sobre V, y designamos por V* al espacio dual de V , es decir al espacio de las funciones lineales d e f i nidas en V. A le corres­ ponde una única transformación lineal 'f!: V~ V * tal que ( x ,y) = < 'f!X,Y >, -tf X ,Y € V . La matriz de 'f! re la ti va a una base (e¡ ) de V y a la base dual ( ei) es idéntica a la matriz de respecto de la base (e¡) ; por tan­ to dicha matriz es simétrica . Además el núcleo de 'f! coincide con el núcleo de K de , es decir que K = Ker et> Ker ip y el rango de es igual al rango de ip o sea al rango matriz que le corresponde. Observac i ón: Se cumple que : < ipy,x> 14 de la FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATICAS poi: cuanto (X 'y) ( y ,x) Demostración. Dada una base (ei) de V, a cada transformación lineal Y -+ ~( ei 'Y) le corresponde un vector 5.3.1) tal que xfi e V* ' ( ver Pte. 1, corolario del teorema ( ei ' Y) < xf, Y> ' -V- y e V. n Por tanto, si X = ~ ~i e. ' 1 se tendrá i = 1 n ( X' y) =< ~ ~ i X~' y > i = 1 Si definimos la transformación lineal ip: V-+ V* por la fórmula n i = 1 Si Xf' l{JX se tendrá (x ,Y) < i.px, y > , J,J- x, y e V. , La transformación lineali.p es finica por cuanto, si ~ es tal que (x,y) entonces será < l{JX - ip 1 X ,y > o' -V-x,yeV y por tanto l{)X J,/- xe V , V-+ V* 15 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE o sea Si ( ei) es la base de V* du a l de (e¡ ) y esc r i b imos entonces es Ahora bien , < lfie ¡ , e¡ > luego se tiene n n l; ~ i k < ek ' e¡ > = ~¡¡ k=l lo cual demuestra que la matriz ( ~ . . ) de lfi respecto de las b~ses 1 J (e. 1 .) y (ei), duales , es igual a la matriz sim~trica (a .. J de 1 J respecto de la base (e¡ ) . El núcleo K de coincide con el núcleo de ¡p, por cuanto, dado x, para que (x ,Y) se anule para todo y es necesario y su­ ficiente que sea lfiX = O , ( Pte .1, condición E2 de l a sección 4 .2). Se tiene por consiguiente: K = Ker = Ker lfi Entonces (ver Pte . I, (3 . .S.2), pág . 34) . rango lfi dim V dim V dim Ke r ¡p dim K =rango . El rango de será por tanto igual al rango de la matriz que r~ presenta a ¡p respecto de bases cualesquiera. Puesto que para b~ ses elegidas como se vio precedentemente las matrices de yde ¡p 16 FUNC IONES BILIN EALES SIM ETR fCAS Y FU NCIONES CUADRAT ICAS son idénticas , podernos establecer que el rango de~ es igual al rango de la matriz que le corresponde en una base cualquiera . • Corol ar io . Una función bilineal simétrica es no degenerada si Y sólo si el determinante de su matriz (O/. . . ) es diferente de 1 J cero . Demos trae i ón. Para que K = Ker ~ = Ker 'f! sea de dimen.si ón O es necesario y suficiente que 'f! sea regular, es decir que el rango de su matriz C~) sea igual a n. Para eso es necesario y sufi­ ciente que el determinante de dicha matriz sea diferente de cero. • Definición 2.2.3. Dada una función bilineal simétrica~, se 11~ ma homomorfismo asociado ca 'f! : V ~ V* tal que a ella, a la transformación lineal úni ~(X, y) = < 'f!X, y > , para la cual se cumplen por consiguiente las propiedades del teo rema 2.2.1. Teorema 2.2.2 . Si ~ es una función bilineal simétrica sobre V, y 'f! es su homomorfismo asociado, entonces el dual 'fl* es idénti co a 'f!, lo que expresa diciendo que 'f! es autoduaZ. Se tiene en ton ces que < 'f!X , y > = < x , 'f! y > . Oemostraci6n. Puesto que 'f! es una transforrnació~ lineal deVen V*, su dual 'fl* ( Pte.I, definición 4.4.1) será mra transformación li neal de (V*)* en V*, es decir de V en V*. Se sabe ( Pte.l, sección 6.6) que si (e i) es una base de V y (ei~ es la base dual, la matriz de 'fl* respecto de esas bases es la transpuesta de la matriz de'f!; 17 ALGEBRA LlNEAL Y MULTILINEAL . SEGUNDA PARTE pero esta última es simétrica (teorema 2.2.1) , luego la matriz de i.p* es idéntica a la de i.p, y por consiguiente es i.p * = i.p • Resul ta así, en virtud de la definición 4. 4. 1 de la Pte.I, que =, para x e y cualesquiera de V. • 2.3 Funciones cuadráticas . A cada función bilineal simétrica : V x V ~R definida so bre V le podemos hacer corresponder una función w: V ~IR defini da por la relación W ( X ) = . ( X ,X ) • (2.3.1) La función es bien determinada por w por cuanto, como es fácil comprobar, se cumple que 1 (x,y) = 2 fw(x+y)-w(x) - w(y)] (2.3.2) Esta relación implica que a funciones bilineales diferentes <1>1 y <1> 2 les corresponde funciones w1 y '1'2 que también son diferentes. También s~ cumple la relación 1 (x,y) = 2 [w(x) + w(y) - w(x-y)] ( 2 . 3 . 3) De la comparación de ésta con (2.3.2) resulta la llamada identi­ dad de i para Ze fo gramo: W (X +y) + 'I! ( X - y ) 2 e w( x ) + w( y ) ) , ( 2.3.4) que expresa una propiedad fundamental de las funciones w asocia das mediante (2.3.1) con las funciones bilineales simétricas . Definición 2.3.1. Una función w: V ~IR, donde V es un espacio de dimensión finita, se dice que es una funci6n cuad~ática, si 18 FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATICAS cumple las condiciones siguientes: 1. es una función continua (respecto de la topología standard de V) 2. satisface a la identidad del paralelogramo (2.3.4) Si en la identidad del paralelogramo se hace primero x =y =0, y luego solamente x = (J, resulta que para toda función cuadrática ~ se cumplen las relaciones ~( O) = O y ~(-y) ~(y). Esta última ecuación expresa que las funciones cuadráticas son pares. Teorema 2.3.1. Entre las funciones bilineales simétricas : V xV--*R donde V es un espacio vectorial de dimensión fini­ ta, y las funciones cuadráticas ~ : V--* IR existe una corresponden­ cia biunívoca tal que si es una función bilineal simétrica y ~ es la función cuadrática que le corresponde, entonces se cum­ plen las relaciones . \Jt(x ) = (x, x) (2.3 .5) (x,y) = 1 2 [ ~(x+y) - ~(x) - ~(y)] ( 2. 3. 6) Demostración. Al comienzo de esta sección hemos demostrado que dada una función bilineal simétrica , la función~ definida por ( 2. 3 . 5) satisface a la relación ( 2. 3 . 6) . Probemos ahora que ~es una función cuadrática. La identidad del paralelogramo (2.3.4) fue demostrada precedentemente, y la continuidad de la función ~(x) = (x, x) resulta inmediatamente de la continuidad de la función bilineal que fue establecida en el teorema 1.2.1. 19 ALGEBRA LINEAL Y MULTI LINEAL. SEGUNDA PARTE Ha quedado probado así que a cada función bilineal sirnétri ca~ le corresponde una función cuadrática definida por ( 2.3.5), la cual satisface a ( 2. 3. 6). Sólo nos falta probar ahora que para cada función cuadrática '11 existe una función bilineal simétrica ~que satisface a las relaciones (2.3.5) y (2.3.6). Si '11 es una función cuadrática, podernos definir la función : Vx V ~IR, mediante la fórmula 1 ~(x, y) = 2 ('11(x+y) - '11(x) - '11(y)) (2.3.7) Probaremos ahora que el> es bilineal simétrica. La propiedad de simetría es evidente en la relación ( 2. 3. 7). Vamos a demostrar a continuación que$ es aditiva respecto de la variable x,es decir que (2.3.8) La relación (2.3.7), que se cumplen por definición, permi­ te escribir las tres re laciones siguientes 2<1>(x1 ,y) 2<1>(x 2 ,y) '11( y) '11( y). Combinando estas tres Gltimas ecuaciones resulta 2[<1>(x 1 + x 2 ,Y) - (x 1 ,y) - (x2 ,y)] '11(X1 + X2 +y)+ '11(y)) -['ll(x1 +y)+ '11(x2 +y)]- ['11(x 1 + x 2 ) - '11(xi) - '11(x2)) ( 2. 3 . 9) Para demostrar la relación ( 2. 3. 8) bastará dernostrarque el sep;undo miembro de ( 2. 3. 9) es igual a cero. A este fin usaremos Ja iden tidad del paralelogramo, la cual se cumple por hipótesis. Se tiene en efecto, 20 FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCtONES CUADRATICAS (2.3.10) '1'( X 1 + y ) + '1f (X 2 + y ) 1 2 [ '1'( x 1 + x 2 + 2 y ) + '1' ( x 1 - x 2 ) ] , ( 2 .3 . 11) y ( 2. 3.12) De esta últíma ecuación se sigue que '1'(X1 + X2) - 'l'(x,) - '1'(X2) = - '1'(X1 + X2) + 'l'(x,) + '1'(x2). Combinando esta ecuación con (2.3.10) y (2.3.11) se ve que el segundo miembro de ( 2. 3. 9) es igual a 1 2['1'(x, + X2) + '1'(X1 - X2)] - 'lr(x1) - 'lr(X2) que es igual a cero en virtud de la identidad del paralelogramo. Queda así demostrada la relación (2.3.8). En forma análoga se puede demostrar la aditividad de respecto de la variabley. Por consiguiente es bilineal si se cumplen las relaciones ( Xx,y) A( X ,y) ( 2 .3 .13) y A(x ,y) (2.3.14) donde A es un escalar cualquiera. Probaremos la primera de es­ tas dos relaciones. La segunda se puede probar de manera seme­ jante. Observemos primero que la relación (2.3.8), que ya hemos demostrado, y en la que podernos hacer x 1 =x, x 2 =-x, implica que (x,y) + (-x,y). Pero de (2.3.6)se sigue que 1 (o ' y ) = 2[ 'lr (y ) - '1t (o ) Luego 'lr(y)] ( -x ,Y) -(x,y), o (2.3.15) 21 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE y por tanto la relación (2.3.13) se cumple para X =-1. La rela ción (2.3.15) muestra que también se cumple para X= O. Basta aho ra probar que se cumple para todo X positivo, porque si tal cosa se demuestra, entonces, en el caso en que xOy por consiguiente será (Xx,y) = (-(-Xx),y)=-(-Xx,y) X(x, y). y (2.3 . 13) se cumplirá en general. Supongamos primero que k es un entero positivo. La relación (2.3.8) implica inmediatamente que ( kx , y) = k (X , y) , y por tanto (2.3.13) se cumple cuando k es entero positivo. Sea Pero __!!_ q de donde Luego donde p y q son enteros positivos. Se tiene entonces p (-qx,y) (x ,Y) 1 ( + x,.y) 1 -q(x,y). p TJ ( q X, y) = ~ (X ,Y) 1 q (-x,y) q y por consiguiente (2.3.13) se cumple cuando A es racional posi tivo. Si X es un número real positivo cualquiera, sea {An} una sucesión de númer os racionales positivos tales que l i m Xn = A. n -+ oo 22 FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATICAS Se tiene 'An (x,y)=(Xnx,y)= ; {\ll('Anx+y)- 'lt('Anx) - 'V(y)}, y en virtud de la continuidad de 'Irse tendrá 'A(x,y) = ('Ax,y), y así queda probada la relación (2.3.13) en el caso general. Se ve por tanto que, dada la función cuadrática 'Ir, la fórmula (2.3.7) define a una función bilineal simétrica. Comprobaremos ahora finalmente que a esta función le corresponde la función cuadrá­ tica 'Ir dada, es decir que para ellas se cumple (2.3.5), ya que (2.3.6) se cumple por la definición de . De (2.3.7) se deduce que (x ,z) 1 2 [ 'Ir ( 2x) - 2\Jr(x) ) Haciendo x tiene. y en la identidad del paralelogramo (2.3.4) se ob- 'lt(2x) 4\Jr(x). Por consiguiente (x,x) = 'lt(x) que prueba el cumplimiento de (2.3.5) • En adelante, y siempre que no haya lugar a confusi6n, la funci6n cua­ drática que corresponde a una funci6n bilineal simétrica (x ,y) se repr~ sentará por (x) = (x ,x) y por tanto nos referiremos tanto a Za funci6n bilineal cf>( = (x ,y)) como a Za funci6n cuadrática ( = (x) ). Dada una base cualquiera (e¡ ) de V, si x = L ~ 1 e¡ es un i = 1 vector arbitrario de V, entonces la forma bilineal (2.2.1) que 23 . ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE representa a la función bilineal (x, y) se lla ma definida positiva (definida negativa) si la función cuadrática lf>(x) que le corresponde tiene la propiedad. lf>(x) > O (lf>(x) : V x V~ E es una función bilineal simétr.!_ ca definida positiva (definida negativa), entonces se cumple la desigualdad de Schwarz . lf>( X ,y)2 ~ lf>(X) lf>(y) , X ,y €V. ( 2. 4. 1) La igualdad tiene lugar si y sólo si x e y son linealmente depe!!:. dientes. Demostración . Según se sabe (ver Pte.J, sección 17.1) en V puede definirse un producto interno mediante una de las fórmulas (X , y) = ( X, y) , ( X , y) = -(x, y) se llama semidefinida positiva (semidefinida negativa) si se cumple que lf>(x) ~ O (lf>(x) ~O) para todo vector xe V, y si existen vectores v/=.O tales que 25 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE (x) = O. La desigualdad de Schwarz es cierta también para las funciones bilineales simétricas semidefinidas (Pte.I, sección 17 .2, observación 2), pero la igualdad puede ocurrir aun cuando los ve~ tores x e y no sean linealmente dependientes. Las funciones se midefinidas son además degeneradas, pues si x 0 =I=- O es tal que (x0 ) =O, entonces, por la desigualdad de Schwarz, y por tanto tiene lugar que o' Cuando la función bilineal simétrica toma valores positivos y negativos, se dice que es indefinida, y entonces puede ser deg~ nerada o no degenerada. 2.5 Descomposición de un espacio vectorial de dimensión finita respecto de una función bilineal simétrica indefinida no degenerada. Sea : V xV ~ m una función bilineal simétrica indefinida no degenerada, sobre el espacio vectorial V de dimensión n. Teorema 2.5.1. Dada una función : Vx V ~m bilineal simétri ca indefinida no degenerada, sobre el espacio V de dimensión n, existen los subespacios V+ y v- de V tales que (2.5.1) y que es definida positiva en v+ y definida negativa en v-. El espacio v- es el complemento ortogonal de v+ con respecto al pr~ dueto escalar definido por (x ,Y) = ( x ,Y) • 26 FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATICAS Dem o s traci ó n. Puesto que es indefinid a por hipótesis , existe un vector a -=FO tal que (a) > O. El subespacio de dimensión 1 generado por a no es por tanto trivial y la restricción de ~ a ese subespacio es definida positiva porque cualquiera que sea el vector no nulo )..a, )... -=F O, de dicho subespacio, se tiene éP( )..a) éP()...a, )..a) )... 2 (á,a) Existirá entonces un subespacio v+ de V de dimensión maxi­ mal, tal que es definida positiva en v+ . La función bilineal no degenerada nos permite introducir un producto escalar, en el espacio vectorial V, mediante la fór mula . (x,y) (z,x)=O, para todo x e v+, porque z pertenece a V (V"'") 1 . En particular se tendría (x) = (y + cxz,y + az) (y) + cx 2 (z). Si fuera (z) >O se tendría (x) >O para todos los vecto­ res x no nulos de V1 • sería entonces definida positiva en el subespacio Y¡ de V, de dimensión mayor que la de V+, lo cual se ría una contradicción. Resulta así que (z) ~o, y por tanto es semidefinida negativa en v-. Para probar que es definida negativa .vamos a valernos de la desigualdad de Schwarz (teorema 2.4.1). Debido a que es semidefinida negativa en v­ y a que, como hemos observado anteriormente1, se cumple entonces la desigualdad de Schwarz, tendremos ( z 1 , z T ~ ( z 1) ( z ) , z 1 e V - , z e V - . Supongamos que sea De la desigualdad precedente se sigue que (z 1 ,z) =O para todo ye v-. Sabemos también que por ser z 1 e v- es, en vir­ tud del corolario del teorema 2.4.1, ( z 1 ' y) = o para todo y e v+. Luego, puesto que cada vector x e V puede es - cri birse en la forma x = y + z , donde y e V+ y z e .v-, se tendrá (z 1 ,Y +z) = (z 1 , y) + (z 1 , z) =O para todo xe V. Dado que V - K ( 2. 6. 2) en donde V + es un subespacio de V de dimensión máxima en que ~ es definida positiva y v - es un subespacio en que ~ es definida negativa , que es complemento ortogonal de v• en el espacio V 1 , respecto del producto interno (x , y) = ~( x, y) . Observaciones: l. Una modificación obvia de la demostración del teorema 2 .5.1 consiste en comenzar por elegir un subespacio v- de V de di mensión máxima , en que ~ es definida negativa . Si se proc~ de de esa manera , c on el razonamiento de la presente sección llegaremos a un a descomposic i ón ( 2 .6. 2) , donde v- es un sub espacio de V de dimensión máxima , en que ~ es definida neg~ ti va , y i,.+ es un subespacio en que ~ es definida positiva que es complemento ortogonal de v-, en Vi , respecto del pro­ ducto escalar ( x, y) = ~(x,y) . 2. La descomposición ( 2.6.2) es válida cualquiera que sea la función bilineal simétrica ~ . Si ~ no es indefinida , toma una de las formas V = V+ © K o V v- © K. En el caso en que ~ es no degenerada, basta tener presente que K= {O}, y resulta, obviamente , V= V+ o V= v- .. 31 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE 2.7 Indice y signatura de una función bilineal simétrica. Teorema 2.7.1. Dada una forma bilineal simétrica y unadescom p osición de V de la forma (2.7.1) donde K es el núcleo de , y es definida positiva en v• y~ finida negativa en v-, las dimensiones de v .. y de v - son ind.epe_!! dientes de la descomposición ( 2. 7 .1) que se considere , y sólo d_e penden de . Además , 1 as dimensiones s de v• y s' de v- son 1 as dimensiones máximas de los subespacios de V en que es definida positiva y defi nida negativa, respectivamente. Por último, se cumple la relación s + s ' = r (2.7.2) donde r es el rango de . Demostración. Consideremos dos descomposiciones cualesquiera~ la forma V: (2.7.3) y V = v; '!' K • (2.7 .4) es definida positiva en ~· y en ~·y es definida negativa en ~-y Vi-. Si x 1 e v- y x 0 e K se tiene Por tanto es definida negativa en~- ~ K. Se tiene por consi guiente que {o} ' de donde 32 FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATI CAS y pin tant o dimV/+dimVi- +dimK ~ dimV=n. Ahora bien, de 2.7.3 s e sigue que dim"i++ dim"i - +dimK = n. Por cons i guiente di m v/ ~ di m v/ . PermutanJ o los papeles de y dim v/ ~ dim v/ • Resu lt a así que v .. 2 se prueba que es de cir que la dimensión s de v + es determinada de mane ra uní­ voca por~ . De (2. 7 . 3) y ( 2 . 7 . 4) se deduce entonces que y po r tanto la dimensión s ' de v - también es unívocamente deter minada. Por último, puesto que el rango de ~ es r = n - dim K se tiene s + s' dim v+ + dim v- r • Sólo queda por demostrar que s es la dimensión m~xima~ los subespacios en que ~es definida positiva , y que s' es la dimensión 33 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE máxima de los subespacios en que es definida negativa . Según hemos visto al demostrar la existencia de la descomposición ( 2 . 6 . 2) en la sección 2.6 , y en la observación 1 de la misma sec­ ción, existen descompos i ciones del tipo ( 2 .7.1 ) en que la dime~ sión de v+ es la dimensión máxima de los subespacios en que es definida positiva y otras en que la dimensión de v- es l a di­ mensión máxima de los subespacios en que es definida negativa. Puesto que s y s' son constantes para todas las desr.:omposiciones, quedará demostrada nuestra aseveración. • Definición 2. 7. l. Se llama lndice1 ) de a la dimensión máxima s de los subespacios de V en que es definida positiva. Si V = v+ 81 v- © K es una descomposición cualquiera en que K es el nGcl8o de ¡ y es definida positiva en v+ y definida negativa en v-, el índice de es la dimensión de v+ Definición 2.7.2. Se llama signatura de et> al nGmero di m V + - di m V - = 2 s - r (2.7.5) Es claro que si la signatura de ~es positiva, la de - es neg! tiva, e inversamente. 2.8 Diagonalización de la matriz de una función bilineal simé­ trica. Sea una forma bilineal simétrica. Consideremos l 1 na des­ composición. V V+ <±l v- <±l K 1) o, en forma más precisa; índice de positividad de ~. 34 FUNC 1 ONES B 1L1 NEA LES S 1METR1 CAS Y l="U!JC 1 ONES CUADRAT 1 CAS de V relativa a <1>, Puesto que es definida positiva en v+, puede definirse en este subespacio un producto interno. (X' y) cI>(x,y), Respecto de este producto interno podernos considerar una base º.!:. tonorrnal (e 1 , ••• , e5 ) de V+. Semej anternente - define a un pro­ ducto interno (x 'y) -( e¡, e¡) = €¡ si i = s +1, ... , r si i = r+l, ... , n. (2.8.1) las cuales pueden condensarse en una sola: donde ~es definida corno se ve en (2.8.1). La matriz de , respecto de la base (e1, .•• , eu) de V es diagonal, y tiene la forma 35 \ 1 \ sr = r -s -1 ALGEBRA LIN EAL Y MU LI TLINEAL . SEGU NDA PART E o diag(l ... 1 -1 ... -1 0 ... 0) . ---~~ 1· -s n-r --'\.º (2.8.2 ) o Por consiguiente, para toda forma bilineal sim§trica s e da una base de V respecto de la cual la matriz es diagon~l de la forma ( 2. 8. 2~ y por tanto, para X = L ~¡e . 1, se tiene (x) L €¡ ~¡ ~¡ €¡ ( ~¡ ) 2 ' i ::: 1 o bien (x ) l: o¡ )2 - l: ui'f j = 1 i=s+I 2.9 Ley de inercia de Sylvester. Definición 2.9.1. Dada una base de V respecto de la cual lama triz de tiene la forma diagonal. di ag (X 1 , ... ' si ( ~¡) son los componentes de x y (r¡i) son las componentes dey en esa base, la función bilineal <1> puede expresarse en la forma «P(x, y) 36 n l: A.¡ ~; r¡ ¡ j = 1 (2.9.1) FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATICAS y la forma cuadrática puede expresarse en la forma n (x) L "A 1 U¡ ) 2 ( 2. 9. 2) i = 1 Los polinomios de los segundos miembros de t2.9.l) y (2.9.2) se 11 aman formas bilineal diagonal y cuadrática diagonal de , respecti v~ mente. Teorema 2. 9 .1. (Ley de inereia de Sylvester). En todas las f ormas diagonales (2.9.1) de una función bilineal simétrica o (2.9.2)de la correspondiente función cuadráti ca , el número de términos PQ sitivos es el mismo e igual al índice s de , y el número de té~ minos neg ativos es el mismo e igua 1 a r -s, donde r es el rango de 1>. Demostración. Podemos prescindir del caso trivial en que es idénticamente nula. Si ordenamos convenientemente los vectores de base puede suponerse que la forma diagonal de la matriz de di ag ( /\ 1 ' ... ' es tal que A¡ > O para /\ . < O para 1 "A¡ O para Se tiene entonces 51 "Ad r¡j L j = 1 1, ... , s 1 s 1 +1 , ..• , r1 r1 +1, ... ,n. "1 A¡~¡ r¡j L i =s 1 +1 (2 .9 .3) Es evidente que es definida positiva en el subespaci.o V+ gen~ r ad o por l e 1 , ••• , es ) , y es de f i .n id a negativa en e 1 sub es p a e i o 1 V·· gene rada por (e 51 +1 , ••• , e ) • Además podemos probar que el suE_ "1 espacio generado por (e +1 r 1 ' ... ' e 11 ) es el núcleo de . En efecto~ 37 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE si x es tal qu e ~ 1 = . . . = ~r1 =o, ent once s , cualqui era que s ea y E V, re s ult a d e (2 . 9 . 3) que (x,y) = O. Por tanto l os ve c tores ~- .+I ,. 1 . . , ~ generan a un subespacio de K. Además, cualquiera que sea xt esp (er 1 +1 , •• • ,en), l o que i mp l i c a que x =l=O , es p osible s uponer, po r e j e m p 1 o , que ~ i =!= O. Par a y = ( 1 , O, • • • , O ) se t i en e E· n t once s ..p (x ,y) = A. 1 ~ 1 =!= O , y p o r t a n t o e s xi K . Res u l ta a s í que K es el su bespaci o generndc· por ( e +i , ••• , en ) • Po r consiguiente puede e scribirse rl V V+ EtJ V - ® K . Esta es una descomposición del tipo (2.7 . 1) . Del teo rema 2.7.1 y de l a d e finición 2.7.1 r e sulta ent onces i nmed iatame nt e que S1 di m v+ s r J - SI d im v - s ' = r - s r1 dim K = r . • Ejercicios *2.9.1. Si la función bilineal simé trica tiene índice s y rango r, la función - tiene el mismo rango r y el índice r-s . La signatura de es 2s-r y la de - es -(2s-r ). Por tan to o bien o bien - tiene signatura no negativa . 2.9.2. Sea =!=O una función cuadrática. Probar que puede es birse en la forma 38 ( x ) = Ef( x ) 2 , € = ± 1 ' donde f es una función lineal, si y sólo si la función bi lineal correspondiente tiene rango 1 . FUNCIONES BILINEALES SIMETRICAS Y FUNCIONES CUADRATICAS 2.10. Determinación del índice y del rango de una función bili­ neal simétrica dada por su forma cuadrática. Sea n n el> (x) L L es nula, te cxrs por lo menos será diferente de cero. luego un coef icie~ Podemos suponer i, el cambio de base que es r = s, pues si fuera a ii =O para todo que da lugar a la sustitución ~ r f r + f s nos da la representación - cI>(x) = L V,JJ en que arr y ~s son diferentes de cero. Podemos suponer que se ha realizado esa transformación y que por tanto n n (x) l: a . . ~¡ ~i 1 J i =l j =1 es una forma cuadrática en que, por ejemplo, cx. 11 =F-0. Podemos es­ cribir entonces n (X) Si ahora hacemos un nuevo cambio de base que da lugar a la susti tución ~¡ (i = 2 •• . n) , (2.10.1) 39 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL . SEGUNDA PARTE y por tant o 2 n 1 ( n ( ~ 1 )2 L ª11 ~l~j (r/)2 j ~2 ·y +-- - ex lj ~ ' ' ª11 2 j =2 ª11 tendremos n (x) ª11 ( r¡l )2 + L f3 j j r¡i r¡i ' ( f3 j j f3 ji ) • i ,j =2 La sumatoria que aparece en el segundo miembro es una forma cua drAtica de (n-1) variables. Podernos aplicarle ahora a ella el método de reducci6n que hemos aplicado a (x). Repitiendo suce­ sivamente este procedimiento obtendremos la forma diagonal n (x) L X. ( !; ) 2 • 1 i = 1 El número de términos no nulos será el rango y el número de tér minos con coeficientes positivos será el índice de . Ejemplo. Hallar el rango y el índice de la forma bilineal dada por su forma cuadrática . (x) L ~¡ ~j i < j En forma desarrollada se tiene, limitándonos al caso en que n = 3, La matriz de es entonces . ( ;,, 1¡2 1 12 ) o 112 112 112 o cuyo rango, que es el rango de , es 3. 40 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES Para calcular el índice vamos a emplear el procedimiento de la sección 2 . 10 . Si sustituimos ~1 por ~ 1 + ~ 2 y ~ 2 por ~ 1 - ~ 2 se obtiene (x) { ( ~1 ) 2 + 2~1 ~3 } _ ( ~2 )2 . Apliquemos ahora la sustitución de la forma (2 . 10.1) ~1 +e, r¡2 = ~2' r¡3 = ~3 • Se tiene entonces ( ~1 / + 2 ~1 t Por consiguiente (x) El índice es por tanto l. El mismo método puede aplicarse al ca so en que n es cualquiera. El lector puede tratar ese caso. § 3. Cuádri.cas en los espacios afines reales. En este parágrafo vamos a aonsiderar un espaaio af-in real E ( Pte. 1, Cap. VI ) asociado al espacio vectorial real n-dimensional V con n ;;;;i: 2. Convie­ ne recordar aquí que seguiremos el uso de llamar punto x de ~ , ~ donde x es un vector de V, al punto P tal que OP = x, entendido que O es un punto u origen bien determinado. Es indispensable distinguir al punto x del vector x que se llama vector de posici6n del punto, relativo al origen de coordenadas O. La motivación de la teoría que vamos a estudiar a continua ción se halla en el estudio de las cónicas del plano y de las su 41 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL ~ SEGUNDA PARTE perficies de segundo grado del espacio de tres dimensiones . En la presente exposición consideramos espacios de dimensión finita cualquiera y definirnos las cuádricas corno generalización de las curvas y de las superficies de serundo Brado. Distinr,11imos ade más el caso en rine el espacio es g_fín de aquél en c¡ue es eucli­ deano. Finalmente obtenemos las clasificaciones afin y ~étrica de las cuádricas. 3.1 Definición de las cuádricas. Sea E un espacio afín n-dimensional, y sea V el espacio vecto rial real asociado. Se llama cuádrica de E a cada conjunto Q no va­ c{o1) de puntos P de E, que satisfacen R la relación. ~ ---+ ( OP) + 2 { ( OP) = a (3.1.1 donde O es un origen dado, ~ es una función cuadrática no idén ticarnente nula, f: V -+IR es una función lineal y a es un núrne ro real constante. Podernos observar que ::;i el origen O se cambia por otro nuevo ori­ gen cualquiera 0 1 los puntos P de la cuádrica satisfacen a una relaci6n de la forma ( 3 .1.1) en que cJ> es la misma que antes pero en que f y a se modifi_ --+ can en determinada forma. En efecto, si escribirnos oq = x0 y x' ' la ecuación (3.1.1) es equivalente a (x 0 + x') + 2í (x0 + x') =a, y puesto que (x0 + x', x 0 + x') (x 0 ) + (x') + 2 (x 0 ,x') , 1) Si Q es vacío, se dice a veces que es una cuádrica "imaginaria". 42 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES la e cuaci ón puede escribirse en la for~a Si introducirnos la función lineal f 1 tal que f l (X 1 ) = f (X 1 ) + ( X0 , X 1 ) y el número ex1 tal que la ecuación (3.1.1) se escribirá en la forma (x') + 2{ 1 (x') ex 1 y por tanto los puntos P de la cuádrica cumplen la relación que, como se ve, es enteramente análoga a (3.1.1) pero relativa al nuevo centro 0 1 • ---+ Si en ( 3 .1 .1) sustituimos OP por el vector x que rerirese!!_ ta a P respecto del origen n, dicha ecuación se escribe (teorema 2.2.1), podernos escri­ bir (X, y) = < '{)X y > , Además, según el corolario del teorema 5.3.1, Pte . I, existe un vector bien determinado a*e v* tal que f (X) .J.J- Xe V. Por consiguiente la ecuación (3.1.2) puede escribirse en la for rna <'{)X, X > + 2 < a*, X > OI.. ( 3. 1 . 5) Es fácil observar que si f(x) es dada por la fórmula n f (x) ~ j = 1 respecto de la base (e¡ ) es de V, y si ( ei) es la base dual entonces a* ( 3. 1 . 6) Se tiene en efecto < a*,x > f (x). La siguiente proposición muestra una manera particular de escribir la ecuación de una cuádrica de la cual se sabe que con tiene a un punto cuyo vector de posición relativo al origen O es el vector q, o como también se dice, que pasa por eZ punto q. 1) Debe observarse que cualquiera que sea la transformación !/) , siempre que tenga la propie­ dad aquí señalada, la función :V x V+TR definida por (x,y) = es bilineal ysimétrl:, ca. La bilinealidad es evidente. La simetría tiene lugar porque ~i (o.¡j) es la matriz simétrl:, ca que representa a !/) respecto de las bases duales (e.¡) de V y (e1 ) de V*, se tiene = . L: . ªj ¡ é n j , = ¡ ,J La simetría de (o.¡j) prueba entonces que (x,y) = <1>(-y,x). ¿ a • . F} nj -· . 1 J 1 ,J 45 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE Teorema 3.1.1 La ecuación (3.1.2) de una cuádrica que pasa por el punto q( qe V) puede escribirse en la forma o (3.1.7) donde ~* es un vector de V* tal que < a~ , y > = (y , q) + < a*, y >. -V- ye V, Demostración. La ecuación (3.1.2) puede ser escrita en la forma (x) + 2 < a* , x > = a, cuyo primer miembro puede escribirse de la manera siguiente ((x-q) + q) + 2 = (x-q) + + 2 [ ] + ( (q) + 2 < a* ,q > ) . Puesto que q pertenece a Q se tiene { q) + 2 < a*, q > = O. Por tanto la ecuación de la cuádrica puede escribirse en la fonna (x-q)+ 2 [ (x-q, q)+ ) = O . L::i aplicación y i-+ ( (y,q) +) es lineal, por tanto exis te el vector a7 e V* tal que (y,q)+ = < at ,Y> (3.1.8) y la ecuación de Q se escribe. (X - q) + 2< ar , X -q > 0 • 46 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES 3.2 Espacios e hiperplanos tangentes a una cuádrica Consideremos una cuádrica cualquiera Q cuya ecuación es (x) + 2f (x) = a • ( 3. 2. 1) Sea A un punto de Q para el cual es OA = x 0 , donde O es el origen de coordenadas; y sea F un plano cualquiera que pasa por A, asociado al subespacio de V generado por dos vectores a y b linealmente independientes, arbitrariamente elegidos . Se tiene F = {Pe E -+ 1 x = OP = x 0 + ~a + r¡ b; ~ , r¡ e IR } • ( 3. 2. 2) ~ y r¡ son las coordenadas de P en el sistema de coordenadas (A,( a , b)) del plano F. Los puntos de este plano que pertenecen a Q, es decir los puntos de la intersección Q nF deben satisfa­ cer a la ecuación. (x 0 +~a + r¡b) + 2f(x 0 + ~a + r¡b) a , o sea (x 0 ) + 2~(x 0 ,a) + 2r¡(x 0 , b)+ ~ 2 (a)+ 2~r¡(a ,b) + r¡ 2 (b) + 2f( x 0 ) + 2U(a) + 2r¡f(b) =a. Por pertenecer x 0 a Q se cumple que Luego, l:i ecuación de la intersección Qn F es ~ 2 (a) + 2~r¡(a,b) + 772 (b) +2H(x 0 ,a)+f(a)]+2r¡[(x0 ,b)+f(b)]= O. (3 .2. 3) La intersección es por tanto una cónica contenida en el pl~ no F, que pasa por el punto A. Si introducimos la función lineal 47 ALGEBRA LINEAL Y MULTI LINEAL. SEGUNDA PARTE g (X ) = ( Xo , X) + f (X) , (3 . 2 . 4) la ecuación de la cónica se escribe en la forma ( 3. 2. 5) La expresión (3.2.4) de g(x) puede escribirse g (x) < r.p Xo' X > + < a*' X > = < r.p ~ + a*' X > ' donde r.p y D* fueron introducidas en la sección 3. l. Supongamos que el punto A considerado es tal que se cumple Za candi ci6n r.px0 +a* =I= O. Entonces g no es idénticamente nula, y su núcleo está formado por los vectores del complemento ortogonal del subespacio gene r ado por r.px0 +a* , es decir que los vectores del subespacio Vx 0 de V, de di mensi6n n - 1 {y e V 1 < r.px0 + a*, y > = O } , ( 3. 2. 6) o sea { Y e V 1 ( x0 , y) + f ( y) = O } ( 3. 2. 7) Puesto que el núcleo Yx de g es de dimensión n -1 ~ 1, siem- o pre es posible elegir los vectores a y b de manera que no perte - nezcan ambos a Yx 0 , por cuanto, según dijimos, son arbitraria- mente elegidos. De esa manera resulta que el plano F no está con tenido en ~ Y g(a) y g(b) no se anulan simultáneamente . Pode- º mos suponer entonces que g(b)=l=O. Derivando (3.2.5) respecto de 48 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES se obtiene aK + --a;;- o. Para r¡ =O, esta fórmula se reduce a g(a) + g(b) ( ~;) 0 O, donde _AJ]_ d ~ o _KÍl!_l_ g(b) es la pendiente de la tangent e a la cóni- ca en el p~nto A El vecto r t = -g(b) a +g(a)b (3.2.8) ser& por consiguiente tangente a la c6nica en x 0 • Podemos com­ probar que, cualesquiera que sean los vectores a y b elegidos m la forma antedicha, los vectores t pertenecen al subespacio V . Xo Se tiene en efecto g(t) = - g(b) g (a) + g(a) g(b) O, y por tanto t pertenece al núcleo de g o sea a Vx . Resulta así o que Vx contiene a los vectores tangentes en x 0 a las cónicas Q n F, o int ers ecci ones de Q con 1 os planos F dados por ( 3. 2. 2) en que g( a) y g(b) no se anulan simult&neamente. Si g(a) y g(b) son ambos nulos, es decir si a y b pertenecen ambos a Vx , y por tanto si n F está contenido en Vx , la ecuación ( 3. 2. 5) de la intersección o Q n F se escribe ~ 2 (a) +2~r¡lf>(a, b) + r¡2(b) º· (3.2.9) 49 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL . SEGUNDA PARTE Pueden ocurrir entonces los tres casos siguientes: l. (a,b) 2 - (a) (b) (a,b) + (a) º · (3 . 2.10) Pero no puede existir un número real que cumpla esta condi ción; luego el punto A= x0 , cuyas coordenadas son ~ =r¡ =O, es el único punto que satisface a (3.2.9>. Por tanto Q n F se reduce a dicho punto . 2 . ( a, b) 2 - ( a) ( b) > O. En este caso (3.2.10) tiene dos raíces reales distintas r1 y r 2 • Luego satisfacen a la ecuación (3 . 2.9) todos los puntos ( ~, r 1 ~) y ( ~ , r2 ~) que pertenecen a dos rectas que pasan por x 0 • Los puntos de la primera son y los de la segunda son x = x 0 + ~ a + r 2 ~ b La primera está asociada a los vectores ~a+ r 1 ~ b , y la segunda a los vectores ~ a + r2 ~ b. Unos y otros pertenecen a Vx , corno o es fácil comprobar recordando que g(a) = g(b) =O. Resulta así que, en este caso, Q nF consistente en dos rectas diferentes que pasan por A = x 0 y que pertenecen a Vx . o 50 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES 3 . rt>( a , b ) 2 -

( b ) o. La ecuación (3.2.10) tiene una sola raíz real. Considera­ ciones semejantes a las del caso anterior prueban que, en este caso, Q nF es una sola recta que pasa por A= x 0 y que perte - nece a V:~ . () RcsumienJo, podemos establecer lo siguiente. Si designélITlos por Vx al conjunto de los vectores tangentes en x0 a las inter- o secciones de Q con los planos que pasan por A, cuando dichas in- tersecciones son curvas cónicas, y de los vectores pertenecien­ tes a los espacios vectoriales asociados con las rectas que con~ tituyen a las intersecciones en los dem~s casos, lo dicho ante­ riormente puede expresarse diciendo que e Podemos probar ahora que ~o C ~o En efecto, si ye l~ , es o decir si g(y) =O, podemos elegir al vector a de manera que sea g(a) = 1, por cuanto g no es idénticamente nüla segfin hemos su­ puesto. El plano F que pasa por x 0 y que contiene a los puntos x 0 +a y x 0 +y da lugar a una cónica Q nF que tiene por vector tangente en x 0 a t = -g(y)a + g(a)y y . Por consiguiente y pertenece a Vx . Podemos establecer por tanto, o que El resultado obtenido justifica las siguientes definiciones. 51 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE Definición 3.2.1. Dada una cuádrica Q, a cada punto x 0 de ella que cumple la condición ¡px0 + a* =F O le co rre s ponde un subespacio ~ de V de dimensión n -1 q-ue se o llama espacio tangente a Q en x 0 y que es definido por la relación ( 3. 2. 6) o por la relaci ón ( 3. 2. 7). El hiperp lano Tx que pasa por o x0 , que está asoci ado al es p aci o tanr;e n te Vx s e ll ama hiperplano o tangent e a Q en x0 • En virtud d e ( 3. 2. 7) l os punto s de ese hi p e!_ plano satisfac en a la ecu ación Ahora bien, po r pertene c e r x 0 a la cuá drica, ti e ne lug a r l a rela ci ón ( X O) + 2 f (X O ) = a . Luego la ecuación del h j perplano t anren t e puede es cribirse en l a forma ( X O , X ) + f ( X 0 + X ) = et , ( 3 . 2 . 12) que es la ecuación deZ hiperplano t angente T en x 0 a la cuádrica cu XO ya ecuación es (3.2.1). Definición 3.2.2. Una cuádr ica que cont i ene a un punto v que cumpJc la condición l{JV + a * o ( 3 . z. 13) se llama cono . El punto v se llama entonces vértice del cono . 52 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES Según lo visto anteriormente, una cuádrica que no es un cono tiene un hiperplano tangente en cada uno de sus puntos, y un cono los tiene en los puntos que no son vértices. Las consideraciones precedentes permiten reconocer que el hiperplano tangente a una cuádrica Q en un punto x 0 es bien de­ terminado por las intersecciones de Q con todos los planos que pasan por x 0 • Por tanto l os hiperplanos tangentes no dependen de la forma cómo se represente la cónica mediante una ecuación sino del conjunto de puntos que pertenecen a ella . Vamos a dedu cir de aquí, en particular, que si una cuádrica posee puntos que no son vértices ,1 ) su representación en la forma ( 3. 2 .1) es ese!!_ cialmente única, una vez elegido el origen del sistema de coor­ denadas. La proposición siguiente precisa el significado de es ta aseveración. Teorema 3.2.1. Dada una cuádrica Q que contiene a un - punto x 0 que no es un vértice 1 ) , sean 1 (x) + 2~ (x) a 1 y dos ecuaciones de la misma cuádrica referida a un mismo origen a Entonces existe un número real X ~ O tal que se cumplen las rela ciones

1 ( X O , X ) + f 1 ( X) y g 2 ( X ) = 2 ( X O , X ) + f 2 ( X) , según hemos visto antes, no son idénticamente nulas, y tienen 2~ bas el mismo núcleo, que es el espacio tangente ~ a () en x0 • o Sea (e 1 , ••• , e:'J) una base de V tal que (e 1 , ••• ,en_ 1 )sea una base deVx 0 • Se tiene entonces que g 1 (ei) g 2 (e¡) =O para n i = 1, •.• , n-1. Por tanto, si x = ~ ~¡e¡ es un vector cualquiera, se j = 1 tiene. y g2(x) = ~ 11 g2(en)' donde g 1 (en) y .l! 2 (en) tienen que ser diferentes de cero. Luego g2 (en) g 1 ( en ) gl ( x) = A g 1 (X) ' Consideremos dos vectores cualesquiera: a, tal que g 2 (a) = "A g/a) =Fo, y b =F O, que es un vector de Vx 0 ta 1 que g 1 ( b) = g 2 ( b) = O . La cónica ~ que es intersección del plano F, formado por los puntos x = x 0 +~a + r¡b, con la cuádrica, admite entonces las ecuaciones o ( 3.2.14) y ( 3.2.15) Si multiplicamos la primera por /.. y el resultado lo restamos de la segunda, se obtiene 54 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES (3 .2.16) ecuación que es satisfecha por todos los puntos(~,~) de la có­ nica. A continuación nuestro propósito será demostrar que los coeficientes del primer miembro de (3.2.16) son nulos, y que por tanto se cumplen las relaciones Supongamos que uno de esos coeficientes no es nulo. En tal caso el conjunto íl de los puntos que satisfacen a la relación (3.2.1~, conjunto que, cano hemos observado, contiene a la cónica 'Y dada por las ecuaciones ( 3. 2 .14) o ( 3. 2. 15), está formado por dos rec­ tas que se cortan en e 7, origen o por una . recta que pasa por e Z origen o bien se reduce al origen según que sea positivo, nulo o negativo el discriminante del trinomio del primer miembro de (3.2.16), corno vimos en el caso del trinomio (3.2.9). Por consiguiente la cu~ drica 'Y será necesariamente degenerada. Recordemos que para que una cónica de ecuación sea degenerada es necesario y suficiente que se cumpla la rela ción 1>. A R D B e E o. ( 3. 2. 18) D E F Para la cónica 'Y de ecuación (3.2.14) el determinante~ tiene el valor 1) Ver J .Tola, Análisis I (1970), pág. 163. SS ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE i(X,Y) = 2 [¡ ( X o , X) f 2 ( x) implican que f 2 A.f 1 Por último, de cpJ (X O ) + 2f 1 (x 0 ) ex I y <1>2 (X O ) + 2 f 2 ( X 0 ) ex2 se sigue que ex 2 A. ex 1 • 57 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE Teorema 3.2.2. Si x 0 es un punt o d e l a cuádrica Q de ecuación (3.2.1), que no es vértice de ella, el subespac io afín, asociado al nú cleo K d e ~, que pasa p o r el punto x 0 , goza de la pr0pjeda~ s igu i ente: Si M es u n o cualqu i era de sus punt os , la int ersección de Q con el s u be s p ac io afín ~ , pa r ale lo a l h iperp l an o tangen te Tx , que p a s a p o r M, cuand o n o es vac ía, contiene, con c ada pun- o to P , a su s imétrico P ' re sp e cto de l pun t o M. O em ostra e i ó n . Se a x 0 + u donde ve K e l pun t o M. Si y es un vec t or arb i t r a ri o del espaci o t an gente V , un punto cualquiera Xo de T1 e s x 0 +u+ :>..y donde A. es un número a rbitr a rio . Para que ese punto pertenezca a O debe satisface r a la relación O' • Para cada u e K e YE Vx, A. debe satisfacer entonces a la siguie!!_ o te ecuación en que hemos tenido en cuent a que x0 E Q, que v pertenece al núcleo de~, y que ~(x0 , y)+ f (y)= O porque y E Vx 0 ( ver la re la ci ón ( 3 . 2.7) ) , ~(w) A. 2 + 2f(u) O . Por consiguiente si esta ecuación tiene una raíz rea l A. , también -A. , e s una raíz, y los puntos de inte r sección de T1 con Q que resultan , son x0 + v +A.y y x0 + u +A.y, que son simétricos res pecto del punto M . • 5 8 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES RE ALES Ejercicio *3 .2 . 1 Sea (x-q) + 2=O la ecuación de una cuádrica que pasa por el punto q (ver el teorema 3.1.1). Si q no es un vértice, demostrar que el esp~ cio tangente a la cu§drica en el punto qest~ formado por los vectores y que cumplen la condición < a~ , y > = O • 3.3. Conos Sea Q un cono cuya ecuación es =o- , (3.3.1) y sea u un vértice. Se cumplen por tanto las re laciones (v) + 2=o-, '.fJ V + a* = 0. ( 3. 3. 2) Podemos probar de inmediato que los vértices son independie~ tes del origen que se emplee para expresar la ecuación del cono . En efec to, supongamos que se elige un nuevo origen respecto del cual las nuevas coordenadas son x' cuya relación con las antiguas es dada por la fórmula x = x 0 + x'. es (sección 3.1) La nueva ecuación del cono (3 . 3.3) La nueva coordenada del punto cuya coordenada era u es ahora u-~ . Debemos comprobar que cumple las condiciones de vértice ~R 59 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE rala ecuación (3.3.3). En primer lugar observareMos que v- x0 satisface a (3.3.3) porque (3.3.2) y (3.3.3) deterMinan al mis ­ mo conjunto Ae puntos del espacio F . Se tiene además en virtud de la s e gunda relación(3.3.2). Por c onsiguiente se cumpl en las c ond iciones de la de fini c ión 3.2.2 para que v-~ sea un vértice de la cu ádrica dada por la ecuac i ón (3.3.3). Teorema 3.3.1 Para que una cuádrica sea un cono c on vértice ves necesario y suficiente que, cualquiera que sea el origen del si~ tema de co ordenada s , su ecuación pueda escribirse en la f or ma (x - v) = O ( 3 . 3. 4) donde es una fo r ma bi line a l s i mé tri ca . Demostración. Sea ( X ) + 2 < a * , X > = CI'. l a e cuación de un cono con vér t ice en v . Puesto que se t iene aho ra a* = - ip v , la ecuación del cono pu e de escribi r s e as í cI> (x) - 2(v ,x ) a . Dail.o que v pertenece al cono , se rl.educe de aquí que a = - ( v ). Por cons i guiente la ecuación se reduce a

( X ) - 2cf> (V , X) = - cf> (V ) se tiene =<- ¡p v ,x > y por cons i p:uiente 60 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES se ti ene = < -¡pu ,x > y por consiguiente ¡p(v) +a* o. Luego u es un vértice. • Corolario. Para que una cuádrica sea un cono es necesario y su­ ficiente que el origen de co ordenadas pueda e l egir s e de manera que su ecuación se reduzca a la forma ( X ) = o la e cuación del cono si se toma co- mo origen del vértice considerado. Si X¡ =I= o es otro punto del cono, se tiene ( A.x 1 ) A.2ct>(x 1) o. • Teorema 3 .3.3. Los vértices de un cono constituyen un subespRcio afín de E asociado al núcleo K de1t1 que, según el teorema 2.2.l, es igual al núcleo de . La dimensión de ese subespacio es n - r, donde r es el rango de ~ - Dicho subespacio queda determinado por cualquiera de los vértices . 62 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES Demostración. Si elegimos c omo origen de coordenadas a un vérti ce, la ecuación del cono será (x) = O. Luego será a* = o. Si v pertenece al núcleo K de~, satisfará a las relaciones (3.3.2) y será por tanto un vértice del cono. Recíprocamente, si v es un vértice debe satisfacer a las re laciones ( 3 .3 .2) y por tanto Jebe ser ~v = O, o sea v E K. En consecuencia , los vértices del cono constituyen el conjll!!_ to de puntos u tales que VE K, o se a el subespacio afín asociado a K. La dimensión de ese subespacio, que es igual a la dimensión de K de n-r, donde r es el rango de~ ( Pte. 1, 3.5.2 )). • Definición 3.3.1 El s ubespacio E 0 de E formado por los vértl ces del cono se denomina arista del cono y tiene dimensión n - r • Su espacio ve ctorial as oci ado es el núcleo K de ~, que es tamt.ién elnficleo de et>. Si et> es regular la arista se reduce a un 6nico vér tice , pues K se reduce al vector nulo. Teorema 3.3.4 Si S es un subespacio afín de dimensión d de la arista E0 del cono Q, y si P es un punto cualquiera pertenecieg te a dicho cono, situado fuera de S, eJ subespacio E 1 de E, de dimensión d+l , generado por S y P , está contenido en Q. Demostración. Sea O un vértice cualquiera de Q contenido en S. Si (e 1 , .•. , ed es un a base del espacio vectorial asociado a S, y si e oP, donde P es un punto de Q situado fuera de S, d+I e ntonces (e) = ( e1 , ••• , ed+I ) es una base del espacio asocia do a l subespacio afín generado por S y P. Entonces (O, (e¡)) es ur sistema d e coordenadas de E 1 • 63 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE d+I ~ }: ~ie. considere t Si Mes un punto cualquiera de E¡ y OM mos la recta r cuyos puntos ecuaci ones = o ' ; = 1 satisfacen a las ( i = 1' . .. ,d ) ' recta que contiene evident emente al punto M. Esta recta contie d ne tamb i én al punt o O' ta l que 00 ' = - }: ti e¡ , el cu a l pe rt en~ i = 1 ce a S y p or tant o es un vértice. La misma re c ta contiene tam - Lién aí punto P' p ara el cual e s ~ 1 d +I OP' = 2 t e d+i. Pu est o que P' e s t~ en la r ec t a que une a l vértice O con el punto P de l cono , pe r tenece a é s te , en vi rtud del teo r ema 3.3.2. Po r l a misma ra z6n M pertene ce al cono por estar en l a recta r que une al vé rt i ce O ' c on el punto P' del cono . • Ejem p 1 o 3 . 3 . 1 Si todos los puntos del cono (x ) =O son vérti - ces del mismo , coincid e con su a r i s ta y es por t anto un subesp~ cio a fín asoci a do a l núcleo K de ..¡; • Sea ( e 1 , ••• , e,, ) una base de V tal que ( e 1 , ••• , er ) sea una base de K . Mediante esa ba- se la ecuación del cono es }: O'. .. ti t i = O, y puesto que es sat is- 11 i 'j =1 fecha por todos los puntos de E parn los cuales es ~ r +I ••• = t n = O, n su ecuación se reduce a O'. .. ti t i =O en que los coefic i entes IJ deben ser tales que la ecuación se a satisfecha Gnicamente para º· 6 4 CUADRIGAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES Así, para n = 3 y r = 2, la ecuación de un cono que coin­ cide con su arista puede reducirse a (~ 3 ) 2 =o, y el cono coinci de con el plano e = o. Teorema 3.3.5 Si la arista E 0 de un cono es de dimensión~n-2, es decir si el rango de 'P es ~ 2, sólo pueden ocurrir tres casos: l. El cono se reduce a un subespacio de dimensión n - 2 que coincide con su arista. 2. El cono se reduce a un hiperplano que es su arista. 3. El cono se reduce a dos hiperplanos diferentes que se cor­ tan segGn la arista. Demostración. Elijamos como origen O a un vértice del cono. La ecuación del cono se reduce entonces (corolario del teorema 3.3.1) a (x) =0. Si (e 1 , ••• ,en) es una base de V, puede escribirse (x) ( 3. 3. 6) i, j =1 donde ~ 1 , ••• , ~ 11 son las coordenadas del punto x respecto del sistema (O, (e¡)). Sea S un subespacio de E0 de dimensión n-2. Si no existe punto alguno del cono fuera des, el cono se redu­ ce a dicho subespacio S, el cual coincide evidentemente con la arista E0 • Supongamos ahora que existe urt punto P del cono, sjtuado fuera de S. Por el teorema 3.3.4 el hiperplano E1 que contie 65 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE ne a S y a P está contenido en e 1 cono. Si no ex is ten puntos del cono fuera de E 1 , el cono se reduce a dicho hiperplano. Probare­ mos que cada punto de E1 es entonces un vértice . En efecto, sea (e 1 , ••• , en) una base de V tal que (e1 , • • • , en _1 ) sea una base del es pacio vectorial ~asociado a E1 • Consideremos en E el sistema de coordenadas ( O,(e¡)) donde O es un punto cualquiera de S y por tanto un vértice del cono; y sean t 1 , ••• ,( 1 las coordenadas genéri_ cas de los puntos de E relativas a ese sistema de coordenadas . El hiperplano E 1 es la cuádrica de ecuación (~ 11 ) 2 = O. Por tanto se tiene (x) = ( ~n ) 2 y a*= O; y la forma bilineal simétrica es dada por (x,y) = +[(x+y)-(x) - (y)] = frc ~n+ ri 11 /-un/-c11n/1= ~ 11 11 11 • Luego = ~n1}". Cualquiera que sea el punto x de E1 se tiene entonces ~n= O y por tanto < '{)X, y > = 0, J.J- YE V. Por consiguiente es ipx =O, o sea ipx +a*= O, lo cual demuestra que x es un vértice. Queda demostrado así que el hiperplano E, al que se reduce el cono, es al mismo tiempo su arista. Supongamos ahora , por último, que existe un punto P1 del cono situado fuera de E1 • Elijamos una base (e 1 , ••• , en_ 2 ) del subesp~ ~ cio vectorial asociado a S. Si definirnos a los vectores en-I = OP ~ y en = OP1 , entonces ( e1 , ••• , en _1 ) es una base del subespacio V1 asociado a E1 y ( e 1 , ••• , e 11 ) es una base de V. Cada punto x de E se expresa respecto del sist ema (O, (e¡)) p or la fórmula 66 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AF INES REALES n X L ~i e . 1 j = l Pa ra i ,j < n-1, ei, e.i, y e¡ - e1 son puntos del cono ; luego, de la relación (2.3.3) resulta, puesto que su ecuación es (x) =O , - e 1 ) ] = O. Además, e11 pe rtenece al cono, luego (en, e 11 ) = (er) =O. Haciendo uso de la expresión ( 3.3.6) de (x), la ecuación del cono será r' -1 ~n el>( e 1l -1 ' e 11 ) = o. Puesto que en virtud de la definición de las cuádri cas ~ no es idénticamente nula, los puntos del cono son aquellos que cumplen una de 1 as dos condiciones ~ 11 - 1 = O o bien ~n = O. Por consiguiente el cono está formado po r los dos hiperplanos de ecuaciones f'-; =O y ( = O, que se cortan según el subesp acio S, que es la 8.rista del cono, porque cualquier punto P del cono que no pertenece a S pertenece a uno de dichos hiperplanos. Si P' es un punto del otro ltiperplano, y por tanto del cono , que no pertenece a S, es claro que la recta PP' no está contenida en el cono , por tanto P no es un vértice en virtud del teorema 3.3.2. • Ejemplo 3.3.2. Para n=3, o bien es r<2, en cuyo caso se cum­ ple la hipótesis del teorema anterior y por tanto el cono se re duce a una re cta, a un plano, o a dos planos que se cortan; o bien es r = 3, en cuyo caso E0 es de dimensión O y por tanto se reduce a un punto que es el único vértice del con~ el cual tie­ ne como ecuación, para un sistema adecuado de coo r denadas , a 67 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE Ej ere icios *3.3.1 Para que una cuád rica de JR3 de ecuación 68 cI>(x) + 2f(x) = ex sea un cono , es necesario y suf iciente que s i (ex; j ) es 1 a ma - triz de

(x) + 2f(x) (3.4.1) Cualquiera que sea el vector e del espacio Vpuede escribir se (x) = ( e)+ (x-e) + 2<1>( e, x-e) , lo que permite escribir la ecuación (3.4.1) en la forma (x-e) + 2[ (e, x-e) + f (x-e)] = O'-(e) - 2f(e). Esta ecuación atrae la atención sobre aquellos puntos e del esp~ cio E para los cuales se cumple la condición + = < tpe+ a*,x> O, !V- xe V, relación que equivale a tp e + a* = O • ( 3 . 4 . 2) En efecto , s i e c urn p 1 e es t a re 1 a c i ó n s e t i en e f ( e) = - ( e ) y 1 a ecuación de la cuádrica se escribe en la forma particularmente sencilla (x-e)= {3, ( 3. 4. 3) donde {3 es la constante {3 =O' +( e). Si e 1 es otro punto de E para el que s e cumple la relación (e 1 ) = - < a*,e1 > = •T,(e1 ,e)= - = (e). Luego O' +1>(e1 ) = O'+ (c) = {3, y por tanto la ecuación de la cuádri ca puede escribirse también en la forma (x-ei) = {3. Si se cumple (3.4.2) y por tanto la ecuación torna la forma ( 3.4.3), el punto e goza, respecto de la cuádrica, ele una propi~ dad importante, a saber que si Pes un punto cualquiera de la cuádrica 70 CUAD RICAS EN LOS ESPAC IO S AFINES RE AL ES -+ tal que OP = e +a, donde O es e l origen de coordenadas_, en cuyo caso se c UI!!. ple que cf>( a) = í3 , entonces el punto P ' s imétrico de P 1•especto de e , par a el ~ cual se tiene que OP ' = e-a , per t enece también a fo cuádrica . Esta obser vación mot i va a l a siguiente definic i ón . Definici ón 3.4.1. Se llama centro de una cuád r ica de ecuación ( 3. -+ 4 . 1) a c a da punto A de E tal que OA =e donde e cumple la condi- ción (3.4 . 2). Teorema 3.4.1. Los centros de una cuádrica son independientes del origen del sistema de coordenadas que se emplee para expresar su ecuación Demost r ac i ó n . Sea O el origen respecto del cual (3 .4.1) es la ecua­ ~ ció~ de una cuádrica . Supongamos que el punto A, tal que OA =e, es un centro, y que por tanto se cumple ( 3.4.2) . Si cambiamos el origen a otro punto 0 1 cualquiera, de mane­ ra que la relación de las antiguas coordenadas x con las nuevas x' sea dada por la fórmula x = x' + x 0 , la nueva ecuación de la cuádrica es donde y f (X' ) 1 de mane r a que cJ>(x') + 2f 1 (x') a: ..p (x0 ) + a* Q' 1 ' (3 . 4.4) < f./J:Jt'. 0 + a*, x' > 71 ALGEBRA LlNEAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PARTE La nueva coordenada del punto A es e - x 0 , y se tiene 'I? (e - x0 ) + a* ¡pe - (¡?XO + (¡?Xo + a* = o, 1 ~ lo que demuestra que el punto A tal que O¡A = e-x0 es un cent ro de la cuádrica expresada p or la ecuación (3.4.4). • Observación. Debe notarse que la condici ón 3.4.2 que debe cú m­ p 1i r un cent r o e es i dé n tic a a 1 a con di c i ón ( 3 . 2. 13) que de ben c um - plir los vértices; pero estos últimos deben pertenecer, además, a la cuádri c a. Por consiguiente, t odo vértice de un con o .es uncen tro , pero n o inversamente. Si la cuádrica n o es un c on o, sus cen tros no per t e ne cen a e l l a . Teorema 3.4.2. Si p ara una cuád r ic a Q l a func i ón ~ es no de gen~ rada , ent once s Q posee e x ac t amente un cent r o . Demostración. Si ~ e s no de ge ne r ada, e ntonce s ( corolario del t eorema 2.2.1) e s det ip ::/=O. ip es po r tanto r e gul a r y l a ecu ación ¡pe =-a* tiene exactament e una solución e . Este punto se rá entonces ' el úni co cent r o . • Teorema 3.4 . 3. Para que un a cuádri t a Q de ecuación (3.4.1) posea un centro, es necesar io y su f iciente que e l vecto r a* sea o rtog~ nal al núcleo del homomorfismo 'I? asociado a ~. Demostración. La condición ( 3.4. 2) es equivalente a que a * pe r tenez­ ca al subespacio Im 'I?. Y puesto que según e l teorema 5 .5 . 2 de l a Pte.I es I m ip = ( l< er ip) 1 , equivale también a que a * sea ortogonal al núcleo de 'I?. • Teorema 3.4 . 4. Los cent r os de una cuádrica , cuando existen , cons­ tituyen un subespacio afín asociado al espacio vectorial Ker ip Ker ~ = K . 72 J CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES Demostración. Si e es un centro, y por tanto '{Je+ a*= o, para que sea '{Jc'+a* =0 es necesario y suficiente que sea ¡p(c-c')= o, o sea que e'= e +x , donde x e Ke;· '-P; es decir que todos los puntos e' = c+x para x €Fer ¡p, son centros de la cuádrica. Corolario. Si, referida una cuádrica Q a un origen dado de coor denadas, e y e' son dos de sus centros cualesquiera se cumple la relación cI>(c- c',x) ct>(c, x) - (x) + f(x) =a (3 .4.5) la ecuación de la cuádrica Q. Por hipótesis, esta relación im­ plica que ( -X) + f ( -X ) = a , o bien , por cuanto ( -x) = (x) y f ( -X) -f(x) , (x) - f(x)= a. 73 ALGEBRA LINEAL Y MULTILINE AL . SEGUNDA PARTE De esta r elación y de (3.4.5) se deduce que es f(x) =0 para ca­ da punto x perteneciente a la cuádri ca. Resulta entonces del teorema 3.2.1 que f es la aplicación lineal idénticamente nula y por tanto a*= O . Es decir que el origen A cumple la condi­ ción (3.4.2) y es por tanto un centro de la cuádri ca . • Teorema 3.4.6. Dado un origen de coordenadas , para que unpunto e sea centro de una cuádrica, es necesario y suficiente que su. ecuación relativa J ese origen pueda escribirse en la forma (x) - 2cf>(c, x) = {3- (c), que es de la forma ( 3 .4 .1) si se define la función lineal median te la fórmula f ( X ) = - ( C , X ) , .lJ- xe V, relación que prueba justamente que e es un centro. • Corolario l. La condición necesaria y suficiente para que una cuádrica que no es un cono tenga un centro en e es qve su ecuación pueda escribirse en la forma (x-c)={3, {3 *o Demostración. Este corolario es consecuencia inmediata del teo­ rema anterior y del corolario 3.3.1. 74 CUADRICAS EN LOS ESPACIOS AFINES REALES Corolario 2. Para que una cuádrica que no es un cono posea un cen tro es necesario y suficiente que pueda elegirse el origen del sistema de coordenadas de manera que su ecuación se reduzca a la forma ( X) = 1 ( 3 . 4 . 7) El origen elegido es entonces un centro. Demostración. Que la condición es suficiente resulta por apli­ caci6n directa del corolario anterior . La condición es necesa­ ria porque mediante el mismo corolario, eligiendo a e como nuevo origen y sustituyendo a por ~ , la ecuación de la cuádrica se reduce a la forma ( 3. 4. 7). • Teorema 3 .4. 7. Sea Q una cuádrica que no es un cono y que posee un centro e . Entonces, cada espacio tangente Vx (definición 3.2.1) o en uno de sus puntos x 0 , contiene al núcleo E de , y ningún centro está contenido en un hiperplano tangente a la cuádrica. Demostración. Según sabemos, si se toma como origen al punto e la ecuación de la cuádrica puede escribirse en la forma (3. 4.7). Puesto que entonces es a*= o, se deduce de la fórmula (3.2.6), Por tanto {ye V {ye V .Ee r = Ker"' e ~ o o o :>{ye V i ipy = O}. La ecuación del hiperplano tangente a la cuádrica en x 0 es (ecua­ ción ( 3 . 2 . 12) ) cIJ( x 0 , X) 1 , 75 ALGEB RA LIN EAL Y MULTILINEAL. SEGUNDA PART E o bie n (te orema 2. 2. 2) < l{JX O , X > = < x0 , l{J X > = 1 • Si e es un cent r o s e t endrá , po r cuanto es a* = O, l{J C = 0 , y po r tan to, pues t o que < x 0 , l{J e > o =/= 1 , e no pertene ce al hipe r plano tangente en x0 • Es decir que n i n­ gún cent r o puede esta r contenido en un plano tangente. • Ej e re i e i os 3 .4 .1. Sea Q la cuádrica de e cu a ción ( 3 . 4.1 ), y x 0 sea uno cua lqui~ ra de sus puntos que no es vértice. Si V contiene al nú XO cleo K de~ , entonc es , si~ es otro punto cualquier a de Q que no es un vért i ce, Vy contien e tambi é n a K o 3 .4 .2 . Con las mismas not ac iones del ejercicio anter i or, si K pe~ tenece a 'i: , entonce s Q cont i ene a cada subespacio afín , o asociado al espacio vectorial K , que pasa p or cu a lquiera de sus puntos . 3 .4 .3 . Fara que Q sea una cuád r ica con centro es necesar i o y sufj _ ciente que cada uno de sus espacios tangentes conteng a al núcleo _K de ~ . 76 CUADRICAS EN LOS ESPAC IOS AFINES RE ALES A partir de ahora y en el resto del capitulo vcunos a considerar exclu­ sivcunente cuádricas que no son conos, es decir para las cuales se cumple que <{!X + a * =/=- 0 para todo punto x pel'tent-:ci,;:;nte a cualquiera de eUas. 3.5 Formas normales de las ecuaciones de las cuádricas de un es­ pac io afin. Teorema 3. 5 .1. Conside r emos una cuádric a cualquiera con centro. Si l a cuádri ca es referida a un sistema de coordenadas ( 0, ( e¡)) , en que O es un centro y ( e¡) es una base de V conve­ nientemente elegida, l a ecuación toma la forma normal. E . ~ i ~ i 1 1' ( 3.5. l ) i = 1 donde r es e 1 rango de

, y por tanto O~ s ~ r. Si fuera s =o , la ecuación anterior tomaría la forma - ~ ( ~¡ )2 = 1, i = 1 y · el conjunto definido resultaría vacío . La ecuación no repre­ sentaría a una cuádrica. Debe ser por tanto 1 ~ s ~ r. • Teorema 3.5.2. Consideremos una cuádrica Q sin centro. Referida a un sistema de coordenadas (o, (e¡) ) , en que O es un punto cual_ quiera perteneciente a Q, (en, ..• , e 11 _ 1 ) es una base conveniente­ mente elegida del espacio V0 tangente a la cuádrica en el punto O, y en es un vector del núcleo Rer = Ker ..¡; = K, que no est