Sociedad Matemática Peruana
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumenes del
XXXII Coloquio Nacional de Matemática
Lima - Perú
Diciembre - 2014
XXXII Coloquio Nacional de Matemática
Los coloquios de la Sociedad Matemática Peruana se vienen realizando de manera
ininterrumpida desde el año 1983 en distintas ciudades y universidades del paı́s,
como contribución de la Sociedad Matemática Peruana al desarrollo cientı́fico del
Perú, reuniendo importantes y prestigiosos matemáticos nacionales y extranjeros en
las diferentes áreas de Matemática.
La sección Matemáticas del Departamento de Ciencias de la Pontificia Universidad
Católica del Perú conjuntamente con la Sociedad Matemática Peruana organizan
el Trigésimo Segundo Coloquio de la Sociedad Matemática Peruana celebrando el
centenario del nacimiento del Dr. José Tola Pasquel, del 1 al 5 de diciembre del 2014
en la ciudad de Lima, en el campus de la Pontificia Universidad Católica del Perú en
San Miguel.
Todas las actividades del XXXII Coloquio se llevarán a cabo en el campus de la
PUCP, Av, Universitaria 1801, San Miguel, Lima 32, Perú.
COMITÉ CIENTÍFICO
Ali Tahzibi Universidade de Sao Paulo (Brasil)
Cesar E. Silva Williams College (EE.UU.)
Jesús Zapata Pontificia Universidad Católica del Perú
Jorge Rebaza Missouri State University (EE.UU.)
Marcelo Escudeiro Hernandes Universidade Estadual de Maringá (Brasil)
Percy Fernandez Pontificia Universidad Católica del Perú
Richard Gonzales Heinrich Heine Universität Düsseldorf (Alemania)
Rogério Mol Universidade Federal de Minas Gerais (Brasil)
Roland Rabanal Pontificia Universidad Católica del Perú
Rudy Rosas Pontificia Universidad Católica del Perú
COMITÉ ORGANIZADOR (PUCP)
Andrés Beltrán (Presidente)
Jonathan Farfán
Emilio Gonzaga
Hernán Neciosup
Roland Rabanal
Nancy Saravia
Carlos Vera
Jesús Zapata
1
Índice
Plenarias 1
Juan Rivera-Letelier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Cesar Leopoldo Camacho Manco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Julio Alcántara-Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Jorge M. Sotomayor Tello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conferencias 6
Pedro Ontaneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ricardo M. Bances Hernández . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Renato Benazic Tome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Eugenio Cabanillas Lapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
José Carlos Cifuentes Vasquez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Pedro C. Espinoza Haro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ricardo Fuentes Apolaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Cecilia Gaita Iparraguirre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Mariano González Ulloa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Fernando Hernández Iglesias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Alexis Zamora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Erik Papa Quiroz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Uldarico Malaspina Jurado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Marcel Morales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Hernán Neciosup Puican . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Eladio Teofilo Ocaña Anaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Emilio Lluis Puebla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Luis Valdivieso Serrano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Edgar Vera Saravia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Comunicaciones 31
Lenin Araujo Castillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Marı́a del Carmen Bonilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Belén Cabrera Navarrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Cristhian E. Hilario López . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Maritza Luna Valenzuela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Paúl Eladio Luque Ccama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Joel Mendoza Jimenez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Hubert Gabino Roman Tello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Lenin Quiñones Huatangari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Edward Manuel Ruiz Crosby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Soledad Ramı́rez Carrasco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Marco Gregorio Solórzano Mamani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Pedro Suárez Navarro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Felix Ivan Velasquez Millones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Posters 51
Cristhian Nicolás Aldana Yarlequé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Pedro Ángel Becerra Pérez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Emilio Marcelo Castillo Jiménez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Elizabeth Caycho Ñuflo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II
Vı́ctor Alcides Coaquira Cárdenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Luis E. Cóndor Surichaqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Fidel Cuba Balvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Blademir González Parián . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Felix Leon Barboza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Charles Edgar López Vereau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Jorge Enrique Mayta Guillermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Elmer Moisés Marquina Ventura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Juan Carlos Masgo Céspedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Rubén Darı́o Muñoz López . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Teresa Sofı́a Oviedo Millones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Victor Pardo Rivera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Douglas Alcides Pomlaya Velasquez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Mariano Martı́n Rengifo Santander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Jimmy Rainer Tamara Albino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Piere Rodriguez Valerio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
David Andrés Sumire QQuenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Marı́a Elena Villanueva Pinedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Guillermo Jesús Zela Quispe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Cursos 76
Johel Beltrán Ramı́rez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ruben Burga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
César Carránza Saravia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Freddy Chuquisana Mora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Judith Cruz Torres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Jaime Cuadros Valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Percy B. Fernandez Sanchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Mariano Gonzalez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Abelardo Jordan Liza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Alejandro Ortiz Fernandez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Alfredo Poirier Schmitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Cerapio Quintanilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Roy Wil Sanchez Gutierrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Jorge Tipe Villanueva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
César Carránza Saravia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III
Plenarias
XXXII COLOQUIO PLENARIA PUCP
Equidistribución aritmética
Juan Rivera-Letelier
riveraletelier@mat.pucp.cl
Pontificia Universidad Católica de Chile
Resumen
Una breve historia sobre equisitribucion en contextos aritmeticos, desde los
resultados de Erdos y Turan sobre los ceros de polinomios de Littlewood, hasta
los resultados mas recientes sobre la equidistribucion de puntos de altura pequena,
con sus aplicaciones a la teoria de numeros y a los sistemas dinamicos.
SMP 2 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO PLENARIA PUCP
TBA
Cesar Camacho
email
IMPA
Resumen
SMP 3 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO PLENARIA PUCP
La Hipótesis de Riemann como un
problema de topologı́a
Julio Alcántara-Bode
jalcant@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
En L2(0, 1) se introduce una familia no contable de normas hilbertianas que
independientemente de la validez o no de la hipótesis de Riemann (HR) son
equivalentes entre si, excepto por una de ellas. La norma excepcional es siempre
continua respecto de las otras y es equivalente a cada una de ellas si y solo si HR no
se cumple. Encontramos un subespacio cerrado de codimension uno donde todas
las normas son equivalentes; lo mismo sucede en su complemento ortogonal.
Referencias
[1] ALCÁNTARA-BODE, J., An integral equation formulation of the Riemann
hypothesis, J. Integral Equations and Operator Theory 17, (1993), 151-168.
[2] ALCÁNTARA-BODE, J., An Algorithm for the Evaluation of certain Fredholm
Determinants, J. Integral Equation and Operator Thery 39 (2001), 153-158.
[3] ALCÁNTARA-BODE, J., Absolutely continuous restrictions of a Dirac measure
and non-trivial zeros of the Riemann zeta function, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I,
349, (2011) 357-359.
[4] ALCÁNTARA-BODE,J., A completeness problem related to the Riemann
hypothesis, J.Integral Equations and Operator Theory 53 (2005),301-309.
[5] ALCÁNTARA-BODE,J., The Riemann hypothesis as an ill posed problem, preprint,
SMP 4 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO & PLENARIA PUCP
Las Ecuaciones Diferenciales de la Geometrı́a y
Geometrı́a de las Ecuaciones Diferenciales
Jorge Sotomayor
sotp@ime.usp.br
Instituto de Matemática e Estatı́stica,
Universidade de São Paulo
Resumen
Este cursoa tendrá el siguiente contenido.
1. Introducción Histórica: Geometrı́a y Ecuaciones Diferenciales.
a) Superficies en R3 y Lineas de Curvatura Principal en los trabajos de Euler,
Monge, Dupin y Draboux
b) Ecuaciones Diferenciales en las contribuciones de Poincaré, Andronov -
Pontrjagin y Peixoto
c) Estabilidad Estructural para las Configuraciones por Lineas de Curvatura
2. Bifurcaciones de las Ecuaciones Diferenciales y de las Configuraciones por
Lineas de Curvatura.
a) Puntos Umbı́licos y sus Bifurcaciones.
b) Ciclos de Curvatura Principal.
c) Conexiones de Curvas Separatrices Umbı́licas.
3. Lineas de Curvatura en Hipersuperfı́cies de 4R .
a) Puntos Umbı́licos y Parcialmente Umbı́licos.
b) Ciclos Principales y Conexiones de Superficies Separatrices Parcialmente
Umbı́lcas.
aEste curso se desarrolla en colaboaración con el Dr. Ronaldo Garcia (ragarcia@mat.ufg.br) del
‘Instituto de Matemática e Estatı́stica da Universidade Federal de Goiás.’
Referencias
[1] R. GARCIA & J. SOTOMAYOR, Lines of Curvature on Surfaces: Historical
Commentes and Recent Developments, São Paulo Journal of Math. Sciences 2
1, (2008) 99 -143.
[2] R. GARCIA & J. SOTOMAYOR, Differential Equations of Classical Geometry: A
Qualitative Theory, 27th Brazilian Math. Colloquium, Rio de Janeiro, IMPA, 2009.
[3] C. GUTIERREZ & J. SOTOMAYOR, Lines of Curvature and Umbilic Points
on Surfaces, 18th Brazilian Math. Colloquium, Rio de Janeiro, IMPA, 1991.
Reprinted with update as Structurally Stable Configurations of Lines of Curvature
and Umbilic Points on Surfaces, Monografias del IMCA, Lima, 1998.
[4] D. LOPES , R. GARCIA & J. SOTOMAYOR, Partially umbilic singularities of
hypersurfaces of R4, Bulletin des Sciences Math. (2014),
http:// dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2014.10.005
SMP 5 Lima Perú, 2014
Conferencias
XXXII COLOQUIO PLENARIA PUCP
El espacio de métricas con curvatura negativa
Pedro Ontaneda
pedro@math.binghamton.edu
Binghamton New York
Resumen
Discutiremos la conexidad delespacio de métricas Riemannianas con curvatura
negativa seccional negativa en variedades de dimensino alta. Este es un trabajo en
conjunto con Tom Farrell.
SMP 7 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Sicigias para módulos y sus aplicaciones
Ricardo M. Bances Hernández
rbances@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica de Perú
Resumen
En su famoso teorema de las Sicigias, Hilbert demostró que todo A−módulo
finitamente generado tiene una resolución libre finita, cuando A = k[x1, . . . , xn]
es el anillo de polinomios sobre el cuerpo k. Definiremos, para {f1, f2, . . . , fs} ⊂
A, el submódulo de As de las sicigias, Sic(f1, f2, · · · , fs), como el núcleo del
homomorfismo de A−módulos ϕ : As → A definido por
s
∑
ϕ(h1, h2, . . . , hs) = hifi.
i=1
→− −→ →−
Extenderemos esta definición para el caso { f 1, f 2, . . . , f s} ⊂ Am. Luego
mostraremos cómo calcular un conjunto de generadores para el módulo de las
sicigias en ambos casos, usando bases de Gröbner. Finalmente desarrollaremos
algunas aplicaciones directas de las Sicigias.
Referencias
[1] Adams, W. and Loustaunau, P., An Introduction to Gröbner Bases. AMS,
Providende RI,1994.
[2] Becker, T and Weispfenning V.,Gröbner Bases: A Computational Approach to
Conmutative Algebra. Springer Verlag,Berlin and New York, 1993.
[3] COX, David ; LITTLE, Jhon; O’SHEA Donald, Ideal, Varieties, and Algorithms.
An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra
Editorial Springer. Segunda Edición, 2005.
[4] COX, David ; LITTLE, Jhon; O’SHEA Donald, Using Algebraic Geometry
Editorial Springer. Segunda Edición, 2005.
[5] SUN, Yao; WANG, Dingkang, The F5 algorithm in Buchberger’s style Springer-
Verlag Berlin Heidelberg. 2011
[6] WOLFRAM. Mathematica 9. V.9.0.1.0 (2012).
SMP 8 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Dimensión topológica y fractales
Renato Benazic Tome
rbenazict@unmsm.edu.pe
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Resumen
A finales del siglo XIX surgieron en las matematicas ejemplos de subconjuntos
que parecÃan desafiar el “sentido común”: El conjunto ternario de Cantor, la curva
de Peano, el triángulo de Sierpinski, la curva de Koch, etc. Todos ellos tenian una
construcción similar a traves de un método recursivo en el que el paso siguiente
era similar al paso anterior. Fueron los primeros ejemplo de fractales, objetos
cuya dimensión no podrı́a ser un numero natural. En la presente charla, usaremos
estos ejemplos para motivar el concepto de dimensión topológica y usaremos este
concepto para calcular la dimension de los conjuntos anteriormente mencionados.
Referencias
[1] CATER, F. S. A typical nonwhere differentiable function Springer-Verlag, Canad.
Math. Bull., 26 (1983) 149–151
[2] CHABERT, J-L. Un demi-siecle de fractales: 1870-1920. Historia Mathematica 17
(1990)339–365
[3] DE RHAM, G. Sur un exemple de fonction continue sans dérivée. Enseign. Math.,
3 (1957) 71–72
[4] EDGAR, G. Measure, Topology and Fractal Geometry. Springer-Verlag 1990.
[5] FALCONER K. Fractal Geometry: mathematical foundations and applications
2ed., Wiley (2003)
[6] HARDY, G. H. Wierstrass’s non-differentiable function. Trans. Amer. Math. Soc.,
17 (1916) 301–325
[7] PLAZA, S. Fractales y Generación Computacional de Imágenes. MonografÃas del
IMCA 16, 2001
SMP 9 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Existence of solutions for p(x)−Kirchhoff type problem with nonlocal
source and nonlinear boundary conditions
Eugenio Cabanillas Lapa
cleugenio@yahoo.com
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Resumen
In this papera we prove a result on the existence of weak solutions
for a p(x)−Kirchhoff type problem with non local source, subject to
intermediate nonlocal boundary conditions. By means of the Garlekin
method, fixed point theorem in finite dimensions and the theory of the
variable exponent Sobolev spaces we establish our result.
aThis is a joint work with Claudio Balcazar Huapaya and Jose Quique
Broncano.
Referencias
[1] F. J. S. A. CORRÊA, R. G. NASCIMENTO On a nonlocal elliptic system of
p-Kirchhoof-type under Neumann boundary condition Math. Comp. Modell. 49
(2009) 598–604.
[2] Y. YANG AND J. ZHANG Existence results for a class of nonlocal problems
involving p-Lapalcian Bound. Val. Prob. 32 (2011) 8p
SMP 10 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
De los Homomorfismos Mixtos de Módulos al Producto
Tensorial Mixto
José Carlos Cifuentes Vasquez
jccifa@gmail.com
Universidade Federal do Paraná
Resumen
La finalidad inicial de este estudio fue reconstruir y ampliar la teorı́a de módulos, sobre
anillos conmutativos o no, y en general el álgebra homológica, a partir del concepto de
‘homomorfismo mixto de módulos’, es decir, homomorfismo entre unR−módulo y un
S−módulo dondeR y S son anillos de escalares no necesariamente iguales, concepto
que surge del álgebra universal. Procuramos, en un primer momento, la construcción
del producto tensorial de tales módulos, que llamamos ‘producto tensorial mixto’, y
el desarrollo de esas ideas, que puede ser realizado en nivel de pregrado, exigió definir
adecuadamente, por ejemplo, el producto cartesiano mixto de módulos, ası́ como
las aplicaciones bilineales mixtas correspondientes, y también el producto tensorial
de homomorfismos mixtos, demostrando las respectivas propiedades universales. En
este trabajo formulamos una serie de cuestiones que fueron apareciendo en el andar
de la investigación, especialmente la construcción de ese producto tensorial usando
el producto tensorial tradicional, es decir, el producto tensorial de módulos con el
mismo anillo de escalares. Esas construcciones escapan de la categorı́aR−Mod de los
R−módulos dondeR es un anillo fijo. Aquı́, por simplicidad, los anillos considerados
serán conmutativos con unidad.
Palabras-clave: Álgebra Universal, homomorfismo mixto de módulos, producto
tensorial mixto, producto tensorial de homomorfismos mixtos.
⋄ ⋄ ⋄
Extensiones Galoisianas de Grupos y de Módulos en el
Contexto del Álgebra Universal
Resumen
Este trabajo presenta los primeros pasos del desarrollo de una teorı́a de Galois para
estructuras algebraicas generales del punto de vista del Álgebra Universal, procurando
estimular, mediante ejemplos y problemas motivadores, a los estudiantes de pregrado
y posgrado en matemática para el estudio investigativo de ese asunto. Para eso es
definida la noción de ‘extensión galoisiana de álgebras universales’y es formulado
el problema central de la obtención de un ‘teorema de correspondencia de Galois’por
analogı́a con el caso clásico de las extensiones de campos. En la búsqueda de subsidios
son abordados los casos de las extensiones de grupos y de las extensiones de módulos
con la intensión de reconstruir, ası́, lo que podrı́amos llamar el camino de Galois.
Este trabajo puede ser inserido en el campo de los fundamentos de la teorı́a de Galois
y su método será, destacadamente, el análisis por analogı́a con la teorı́a de Galois
elemental.
Palabras-clave: Álgebra Universal, teorı́a de Galois, extensiones galoisianas de
álgebras, extensiones galoisianas de grupos, extensiones galoisianas de módulos.
SMP 11 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Redes Neuronales en el estudio de la resistencia del
concreto de alto rendimiento
Pedro C. Espinoza Haro
pcesp67@gmail.com
Universidad Nacional de Ingenierı́a,
Facultad de Ingenierı́a Industrial y de Sistemas
1. La motivación
Uno de los problemas en el campo de la construcción civil es conseguir los concretos de
alta resistencia. La fabricación se realiza a partir de componentes básicos como el cemento,
agua, arena, piedra, aditivo, tiempo de hidratación, etc. y la medida de su resistencia se hace
mediante muestras o probetas de concreto que son sometidas a compresión en laboratorios
especializados. El presente trabajo es parte del proyecto de investigación “Redes Neuronales
y Simulación de Monte Carlo para el estudio del concreto de alta resistencia”1 Dentro de
este proyecto el Laboratorio de Ensayo de Materiales de la FIC viene elaborando probetas
de concreto con diferentes caracterı́sticas (Fig.1) y midiendo sus resistencias a la compresión
axial (Fig. 2) siguiendo normas internacionales (ASTM C 192/C 192M) y (ASTM, C39/C 39M)
respectivamente.
De este modo se tiene una base de datos que registra los valores de las variables de fabricación
Fig.1:Probetas de concreto Fig.2:Máquina que mide la resistencia
y la resistencia de 1083 probetas de concreto. En esta ocasión se ha utilizado la primera entrega
que corresponden a 296 probetas, que luego de un análisis de datos se ha reducido a 12 variables
de fabricación y la resistencia, como se muestra en la siguiente tabla.
2. El problema es desarrollar un grupo de Redes Neuronales (RN) supervisadas con la finalidad
de pronosticar la resistencia de una probeta, antes de su fabricación y con esto simular en la
computadora las caracterı́sticas de las probetas de máxima o mı́nima resistencia en tiempos
óptimos de hidratación o del uso adecuado de los aditivos etc. Existen otros estudios que tratan
de explicar el endurecimiento del concreto como el de ([10] Martinelli et. al.) que se basa en
una Ecuación Diferencial Parcial de evolución, que en su parte estacionaria es del tipo elı́ptico
semilineal.
3. Una neurona articial recoge las caracterı́sticas esenciales de una neurona biológica, que
1Este proyecto de investigación (contrato: 137-FINCyT-IA-2013) se ejecuta en las Facultades de
Ingenierı́a Civil e Ingenierı́a Industrial y de Sistemas de la UNI, con la participación de los siguientes
coautores: Francisco Garcı́a Fernández, Departamento de Ingenierı́a Forestal, Universidad
Politécnica de Madrid; Luis L. Acuña Pinaud, Facultad de Ingenierı́a Industrial y de Sistemas; Ana
V. Torre Castillo, Isabel Moromi Nakata, Facultad de Ingenierı́a Civil, ambas facultades
de la UNI.
SMP 12 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
N◦ Variables de fabricación y resistencia pb1 pb2
1 Edad (N◦ de dı́as sumergido en el agua) 28 28
2 Diseño (1, 2, ..., 7) 1 1
3 Relación Agua / Cemento 0.25 0.25
4 Cemento Kg/m3 708.3 708.3
5 Marca de aditivo (1 y 2) 1 1
6 %Aditivo (material cementante) 1.6 1.6
7 Aditivo (Kg/m3) 11.9 11.9
8 % Micro sı́lice (Kg/m3) 5 5
9 Micro sı́lice (Kg/m3) 37.3 37.3
10 Arena (Kg/m3) 345.1 345.1
11 Área (cm2) 81.7 81.9
12 Carga de rotura(Kg) 68277 70498
13 Resistencia a la compresión(Kg/cm2) 836 861
tiene vı́as de ingreso para la información denominada Dentrita, un cuerpo donde se procesa
la información y una vı́a de salida o respuesta de la neurona, denominada Axón. Los datos
de ingreso a una neurona están representados por una matriz columna p = [d1, d2, ..., dn]
donde cada dk representa una señal que al ingresar a la neurona por una dendrita es afectada
por un número wk denominado peso de la neurona. Esta afectación se representa por el
producto wkdk. El proceso dentro de la neurona está representado por la expresión wp + b =
w1d1+w2d2+...+wndn, donde b es el sesgo de la neurona. Los pesos expresan la incentivación
o disminución de una señal por parte de la neurona, por ejemplo en w1d1 si w1 toma valores
grandes la señal d1 está siendo incentivada, de lo contrario es reducida y se anulará cuando
w1 = 0. Luego interviene una función de transferencia f(s) de la neurona, dando lugar a la
respuesta final de la misma que es: q = f(wp + b). Existen muchas funciones de transferencia
en el diseño de redes neuronales, entre ellas tenemos la tangente hiperbólica denominada tansig,
la función identidad denominada purelin, etc.
4. Una Capa de Neuronas Artificiales
Una capa de neuronas está formada porm neuronas, dispuestas en paralelo, no hay comunicación
entre ellas, operan independientemente. A cada neurona j le está asociada una matriz fila
wj = [aj,1, aj,2, ..., aj,n] que es la matriz de pesos de dicha neurona más un sesgo bj y una
función de transferencia fj . Entonces, si se denota con W la matriz formada por las matrices
fila de las m neuronas y con b la matriz columna de los sesgos, la acción de la capa de neuronas
sobre un vector p es en primera instancia el producto y suma Wp+ b, que es un vector de mR .
En segunda instancia cada componente Wp+ b es transformada por la función de transferencia
fj de la neurona. Este proceso se representa mediante una función vectorial a valores vectoriales
F : mR → mR que a cada vector u = (u1, u2, ..., um) ∈ mR le hace corresponder el vector
SMP 13 Lima Perú, 2014
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F (u) = [f1(u1), f2(u2), ..., fm(um)]. Entonces la acción de la capa de neuronas sobre el vector
p será:
q = F (Wp+ b) = [f1(w1p+ b1), f2(w2p+ b2), ..., fm(wmp+ bm)]
que es un vector de mR . Se dice que q = F (Wp + b) es la respuesta o salida de la capa de
neuronas para el vector de entrada p.
En consecuencia una capa de m neuronas es una función T : n → mR R que transforma un
vector p ∈ nR en otro q ∈ mR donde q = T (p) = F (Wp+ b).
5. Una Red Neuronal Artificial
Una red neuronal es una concatenación de capas de neuronas. Desde el punto de vista matemático
es la composición de transformaciones:
n T1 m T T−→ −→2 k · · · −−N MR R R → R
6. Redes Neuronales supervisadas y el mecanismo de su aprendizaje
Toda RNA de este tipo tiene una secuencia de vectores t = [t1, t2, ..., tm], tk ∈ mR que se
denomina el valor esperado de la red, donde tk es el resultado de algún proceso realizado con
la columna pk de una matriz de datos p = [p1, p2, ..., p ], p ∈ Mm k R . Esto pasa para cada
k = 1, 2, ..., m. Por ejemplo tk es la resistencia de una probeta de concreto y pk los valores
de sus variables de fabricación. De otro lado, para cada columna pk de p, una RN devuelve un
vector rk(x) donde x está formado por los pesos y sesgos de todas sus neuronas de la red. De
este modo la respuesta de la red para la matriz de datos p que ingresa a ella es otra matriz de
vectores r(x) = [r1(x), r m2(x), ..., rm(x)], rk(x) ∈ R . El aprendizaje de la red consiste en
la minimización local de la función
m
1 ∑
E(x) = || 2rk(x)− tk||
2
k=1
que es el error en media cuadrática entre t y la respuesta de la red:
r(x) = [r1(x), r2(x), ..., rm(x)].
La minimización local hará que los pesos y ganancias de las neuronas cambien de tal manera
que ||∇E(x0)|| ≈ 0. Esto implicará que la respuesta de la red rk(x0) está muy próxima al valor
esperado tk. En este caso se dice que la RNA ha sido entrenada adecuadamente. En algunos
casos no se consigue una respuesta adecuada.
7. Resultados
7.1 La Red Neuronal Backpropagation (RNBP) que se ha desarrollado, es de cuatro capas
con 14, 12, 10 y 1 neurona respectivamente, con funciones de transferencia tansing (tangente
hiperbólico) para las tres primeras capas y purelin (función identidad) para la cuarta. La RNBP
ha sido entrenada, validada y testeada con 237 columnas de las 296 que tiene la matriz p. La
respuesta de la RNBP guarda una alta correlación con los valores esperados. Los coeficientes de
determinación, el error en media cuadrática, la raı́z de esta última y el número de variables de la
red, se resumen en la siguiente tabla:
ESTRUCTURA R R2 MSE RMSE N◦ pesos y sesgos
14 12 10 1 0.9988 0.9977 22.3585 4.7285 433
7.2 La capacidad predictiva de la RNBP creada se verificó con 59 columnas de la matriz p,
que no participaron de las tres fases de su entrenamiento. Para esto se normalizó y se redujo
la dimensión del espacio de vectores, empleando la transformación lineal de la clase ps2. Los
resultados estadı́sticos de la simulación se resumen en la siguiente tabla.
SMP 14 Lima Perú, 2014
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ESTRUCTURA R R2 MSE RMSE N◦ pesos y sesgos
14 12 10 1 0.9949 0.9898 231.143 15.2034 433
ESTRUCTURA R R2 MSE N◦ pesos y sesgos
6 1 0.9918 0.99836 15.46078 55
6 4 1 0.93456 0.87340 1169.46740 81
7 10 1 0.99218 0.98442 145.77688 147
1 14 7 1 0.97592 0.95243 441.48000 149
14 12 10 1 0.99844 0.99688 28.81800 433
7.3 Se ensayaron diversas RNBP para la misma base de datos y haciendo uso de las mismas
transformaciones, pero separando los datos según las clases de equivalencia módulo 4 y no
módulo 5. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
8. Los problemas matemáticos subyacentes
Existen diversos problemas, unos podrı́an ser considerados como abiertos. Citamos algunos de
ellos:
a) ¿Cuál es la mejor arquitectura que debe tener una RNA supervisada para lograr
pronósticos con niveles de correlación superiores al 99 %?
b) ¿Cuáles son las transformaciones más adecuadas que deben hacerse en una base de datos
antes de ser procesadas por una RNA?
c) ¿Los algoritmos del gradiente y de Newton pueden ser mejorados para obtener los valores
extremos de funciones especiales como los que se presentan en el entrenamiento de una
RNA?
d) ¿Existen métodos numéricos y gráficos que ayuden a establecer relaciones entre las
variables de fabricación de las probetas y sus correspondientes resistencias?
Referencias
[1] MARQUARDT, D. An algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear
Parameters, SIAM J. Appl. MathVol. 11, 1963, pp. 431-441.
[2] LEVENBERG, K. A Method for the Solution of Certain Problems in Least Squares,
Quart. Appl. MathVol. 2, 1944, pp. 164–168.
[3] AMINGHAFARI, M. CHEZE, N. POGGI, J-M. Multivariate denoising using
wavelets and principal component analysis, Computational Statistics & Data
Analysis Vol. 50, 2006, pp. 2381–2398.
[4] ROUSSEUW, P. VAN DRIESSEN, K. A fast algorithm for the minimum covariance
determinant estimator, TechnometricsVol. 41, 1999, pp. 212–223.
[5] WANG, QINGYUN, ZHENG, YANHONG, MA, JUN Cooperative dynamics in
neuronal networks, Chaos, Solitons & FractalsVol. 56, 2013, pp. 19–27.
[6] YU HAITAO. WANG JIANG. LIU CHEN. DENG BIN. WEI XILE Delay–induced
synchronization transitions in modular scale–free neuronal networks with hybrid
electrical and chemical synapses, Physica A.Vol. 405, 2014, pp. 25–34.
[7] YEH, I. Modeling of strength of high-performance concrete using artificial neural
networks, Cement & Concrete CompositesVol. 28, 1998, pp. 1797–1808.
SMP 15 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
[8] YEH, I. Modeling slump flow of concrete using second-order regressions and
artificial neural networks, Cement & Concrete CompositesVol. 29, 2007, pp. 474–
480.
[9] HAGAN, M. MENHAJ, M. Training feed-forward networks with the Marquardt
algorithm, IEEE Transactions on Neural NetworksVol. 5, 1994, pp. 989–993.
[10] MARTINELLI, E. KOENDERS, E. CAGGIANO, A. A numerical recipe for
modelling hydration and heat flow in hardening concrete, Elsevier Cement&
Concrete CompositeVol. 40, 2013, pp. 48–58.
[11] HAGAN, M.T. DEMUTH, H.B. BEALE, M.H. Neuronal Network Design
MA:PWS Publishing, Boston, 1996.
Nota: Es un libro que ofrece un enfoque claro de las arquitecturas de redes
neuronales y de las reglas de aprendizaje. Hace el análisis matemático de las redes,
los métodos de formación y la aplicación de las redes a los problemas prácticos de
la ingenierı́a.
www.elsevier.com/locate/cemconcomp
SMP 16 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Estabilización de un sistema acoplado con damping
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Universidade Federal Fluminense
Resumen
En los últimos años se ha estudiado mucho sobre el control activo de ruı́dos
generado en recintos cerrados distintos, por la vibración de las estructuras flexı́bles
que forman las paredes. Actualmente, un ejemplo que despierta el interés en
este tipo de problemas es la posibilidad de controlar las vibraciones acústicas
en el interior de um avión (vuelo subsónico, vuelo supersónico). Estudiamos
una situación real de la teoria acústica, a saber el fenómeno da refracción, y la
dirección de la propagación sonora es modificada por un cierto fator, cuando el
sonido sonido pasa de un medio para otro. En situaciones al aire libre, el viento
tambien puede ser un factor que altera la velocidad y dirección de propagación de
las ondas sonoras. El fenómeno citado es modelado por un sistema de ecuaciones
diferenciales parciales, formado por una ecuación de onda lineal con termino
elástico acoplado (com damping) de la forma siguiente:
′′
u (x, t)− uxx(x, t) + θx(x, t) = 0,
′
θ (x, t)− θxx(x, t) +
′
ux(x, t) = 0,
Estamos interesados en divulgar resultados de estabilización y controlabilidade
exacta para el sistema acoplado con damping. Consideramos el sistema acoplado
irreversible

∂θ
 y′′(x, t)−∆y(x, t) + (x, t) = 0,

∂x
 i


 ∂y′
θ′ (x, t)−∆θ(x, t) + (x, t) = 0,
 ∂xi


y(x, 0) = y0(x), y′(x, 0) = y1(x), θ(x, 0) = θ0 en Ω,



∑

 v, en
 0

 y = ,
∑ ∑


 0, en − 0,

θ = 0, en Σ,
Para el sistema anterior el problema de control exacto parcial en la frontera es
como sigue:
Para T > 0 suficientemente grande, queremos hallar un control v en la frontera tal
que la solución del sistema verifique
( ) = ′y T y (T ) = 0 (0.1)
Para resolver este problema utilizamos una variante del método idealizado por J. L.
Lions llamado Método de Unicidad Hilbertiana, a saber R.H.U.M. Los argumentos
usados son estimativas adecuadas para la derivada normal en la frontera, tales como
la regularidad escondida y desigualdad inversa. Estudiamos existencia, unicidad y
regularidad del sistema adjunto asociado al sistema acoplado.
SMP 17 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Referencias
[1] APOLAYA R.F. & CLARK H.R.& FEITOSA A.J. On a nonlinear coupled system
with internal damping, Electronic Journal of Differential Equations 64, 1 -17.
[2] BACKUS J. The Acoustical Foundations of Music W Norton, New york, 1969.
[3] LIONS J.L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed
Systems Siam Review, vol. 30, No. 1, 1988.
[4] YANG, HANN KIM. Sond Propagation: An Impedance Based Approach John
Wiley, Sons (Asia)Pte Ltd (2010)W Norton, New york, 1969.
SMP 18 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
La matemática en la Didactica Fundamental
Cecilia Gaita
cgaita@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
La Educación Matemática, como todo campo de conocimiento, ha
evolucionado con el tiempo, según se adoptaban distintas posturas epistemológicas
sobre la matemática y su aprendizaje. Ası́, se ha pasado por una concepción según
la cual la didáctica era considerada un arte, luego por una didáctica que se apoyaba
en teorı́as psicológicas del aprendizaje, hasta la actualidad en donde la didáctica de
la matemática se ha consolidado como un campo de conocimiento cientı́fico, con
bases en un modelo epistemológico constructivista matemático. Desde esta nueva
perspectiva, para proponer cambios y garantizar mejoras en los aprendizajes no
basta saber matemáticas; se hace necesario conocer los avances obtenidos en esta
disciplina y ese será el foco principal de la presentación.
Referencias
[1] BROUSSEAU, G. Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des
mathèmatiques. The Netherlands: Kluwer, Dordrecht, 1997
[2] GAITA, C. Reflexiones sobre la Didáctica de la Matemática, Revista En Blanco y
Negro Vol. 3, 2 (2012) 47–53.
[3] GASCÓN, J. Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las
prácticas docentes, Relime Vol. 4, 2 (2001) 129–160.
SMP 19 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
La alternativa de Fredholm a través de
sistemas duales
Mariano González Ulloa
mgonzal@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica de Perú
Resumen
Al considerar la ecuación ϕ − Aϕ = f con A un operador lineal compacto
A : X → X definido sobre el espacio normado X , podemos reescribir esta
ecuación en la forma (I − A)ϕ = f , lo cual nos conduce a estudiar o-peradores
de la forma T = I − A. La teorı́a de Riesz-Schauder [5] concentra su atención
en estos operadores, afirmando que la ecuación ϕ − Aϕ = f tiene una única
solución para cada f ∈ Y si y solo si la ecuación homogénea ϕ− Aϕ = 0 tiene
la solución trivial. Si la ecuación homogénea ϕ − Aϕ = 0 tiene soluciones no
triviales, la teorı́a de Riesz-Schauder no da respuesta a la solubilidad de la ecuación
no homogénea ϕ − Aϕ = f . Esta cuestión queda resuelta por la alternativa
de Fredholm [4]. En esta exposición se presenta la alternativa de Fredholm para
operadores compactos adjuntos a traves de sistemas duales generados por formas
bilineales no-degeneradas [5]. Esta versión de la alternativa de Fredhom es más
apropiada para las aplicaciones a ecuaciones integrales, resultando la teorı́a de
Riesz-Schauder como un caso especial.
Referencias
[1] GROETSCH, C.W. Inverse Problems in the Mathematical Sciences, Springer,
Wiesbaden, Germany. 1993.
[2] KABANIKHIN, S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems.
J. Inv. Ill-Posed Problems 16 (2008), 317-357.
[3] KABANIKHIN, S. I. Inverse and ill-posed problems theory and applications. De
Gruyter, Berlin/Boston, 2012.
[4] LEVEDEV, L.P., VOROVICH, I.I., GLADWELL, G.M.L., Functional Analysis,
Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 2002.
[5] KRESS, RAINER Linear Integral Equations. Third Edition, AMS, Springer New
York (2014).
SMP 20 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Sobre la polar de una plana irreducible de género dos
Fernando Hernández Iglesias
mfhiglesias@pma.uem.br
Universidade estadual de Maringá,
Facultad de ciencias - Departamento de matemática.
Resumen
Sea Cf : f = 0 un germen de curva plana irreducible, a curva afx + bfy = 0
con (a : b) en un abierto de P 1 es llamada de polar genérica o polar de Cf , es
conocido que el tipo topológico de la polar no es un invariante topolgico sino
analı́tico (F. Pham), no obstante genéricamente la afirmación es cierta (Casas
Alvero). Daremos una descripción explı́cita del tipo topológico de la polar para
una curva genérica irreducible de género 2 en particular describiremos los factores
de la polar expresados en el Teorema de Merle, finalmente caracterizamos los
semigrupos 〈v0; v1; v2〉 para los cuales la polar de una curva genérica es no
degenerada.
Referencias
[1] CASAS-ALVERO, E. On the singularities of polar curves Manuscripta Math. 43
(1983) 167-190 .
[2] CASAS-ALVERO, E. Infinitely near imposed singularities and singularities of polar
curves Math. Ann. 287 (1990) 429-454 .
[3] IGLESIAS, M. F. H., Polar of a irreducible plane curve germ. PhD. thesis (in
Portuguese), Universidade Federal Fluminense (2012).
[4] MERLE,M. Invariants Polaires des Courbes Planes Inventiones Mathematicae 41
(1977) 103-111.
SMP 21 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
El pincel de Wiman–Edge
Alexis Zamora
alexiszamora06@gmail.com
Universidad Autonoma de Zacatecas
Resumen
En 1897 A. Wiman descubrió una séxtica con 4 nodos que admite como
grupo de automorfismos al grupo simétrico S5. Casi un siglo después, en 1981,
W. L. Edge desarrolló varios aspectos geométricos de esta curva y en particular
demostró que está incluida en un pincel, donde toda curva de dicho pincel
admite una acción del grupo alternante A5. En esta charla quiero explicar esta
construcción con un lenguaje más moderno y explorar varios aspectos de este
pincel, como, por ejemplo, la geometrı́a de la fibración asociada.
SMP 22 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Método Proximal para Problemas de Desigualdad
Variacional: Caso no Monótono
Erik Alex Papa Quiroz
erikpapa@gmail.com
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Resumen
El presente artı́culoa introduce un algoritmo de punto proximal
inexacto usando distancias proximales para resolver el Problema
de Desigualdad Variacional cuando el operador involucrado en el
modelo es pseudo-monótono y cuasi-monótono. Bajo algunas hipótesis
naturales probamos que la sucesión generada por el método es
convergente en el caso pseudo-monótono y débilmente convergente
en el caso cuasi-monótono. Este enfoque extiende los resultados de
Auslender, Teboulle y Ben-Tiba (1999) y Brito et al. (2012).
aEste articulo fue escrito en co-autoria con Lennin Mallma Ramirez
Referencias
[1] AUSLENDER, ALFRED; TEBOULLE, MARC; BEN-TIBA, SAMI, Interior proximal
and multiplier methods based on second order homogeneous kernels., Math. Oper.
Res. 24 (1999), no. 3, 645–668.
[2] BRITO, ARNALDO S.; DA CRUZ NETO, J. X.; LOPES, JURANDIR
O.; OLIVEIRA, P. ROBERTO Interior proximal algorithm for quasiconvex
programming problems and variational inequalities with linear constraints. , J.
Optim. Theory Appl. 154 (2012), no. 1, 217–234.
SMP 23 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
La creación de problemas en la enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas
Uldarico Malaspina Jurado
umalasp@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
Es evidente la importancia de la resolución de problemas en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; sin embargo, lo usual es enseñar y
aprender resolviendo problemas formulados por otras personas, desaprovechando
ası́ los aportes de la creación de problemas a estos procesos y al desarrollo del
pensamiento matemático. Es esencial ir más allá de la obtención de una respuesta
correcta y del conocimiento de estrategias heurı́sticas al resolver problemas.
Se propone que los estudiantes vivan experiencias de crear y resolver sus
propios problemas y los problemas de sus compañeros de estudio, en actividades
individuales y grupales, con estı́mulos y orientaciones adecuadas de sus profesores.
Tales experiencias contribuirán a identificar problemas, a plantear(se) preguntas
creativamente, a buscar aplicaciones, a ampliar el horizonte matemático de la
comunidad en que se crean los problemas y a estimular el espı́ritu de investigación.
Se expondrán reflexiones y experiencias sobre la creación de problemas como parte
de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y como parte de la tarea de
investigación en educación matemática. Las reflexiones son fruto de experiencias
desarrolladas en la docencia universitaria y en talleres realizados en el Perú y
en varios paı́ses latinoamericanos, con profesores en formación y en ejercicio,
en temas de geometrı́a, teorı́a de números, álgebra, análisis y optimización. Se
explicará la estrategia elaborada y que se viene aplicando en los talleres, para
estimular el desarrollo de la capacidad de crear problemas en los profesores de
matemáticas, a partir de episodios en clases, en estrecha relación con la resolución
de problemas.
Palabras clave: creación de problemas, resolución de problemas, episodios en
clases, formulación de preguntas.
Referencias
[1] BONOTTO CINZIA Artifacts as sources for problem-posing activities. Educational
Studies in Mathematics. 83 (2013), 37–55.
[2] MALASPINA U. La enseñanza de las matemáticas y el estı́mulo a la creatividad.
UNO, Revista de Didáctica de las Matemáticas 63 (2013), 41–49.
[3] MALASPINA U. & VALLEJO E. Problem posing in preservice primary school
teachers’ training. En Osterle, S., Nicol, C., Liljedahl, P. & Allan, D. (Eds.)
Proceedings of the Joint Meeting of the PME 38 and PME-NA 36, Volumen 6.
Vancouver, Canada, (2014) p. 159.
[4] TICHÁ MARIE & HOŠPESOVÁ ALENA Developing teachers’ subject didactic
competence through problem posing Educ. Stud. Math. 83 (2013), 133–143.
SMP 24 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
La Geometrı́a hace 4000 años en Mésopotamia
Marcel Morales
morales@ujf-grenoble.fr
Institut Fourier, Laboratoire de Mathématiques,
Université de Grenoble I
Resumen
SMP 25 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Clasificación analı́tica de ciertos tipos de foliaciones
cuspidales en (C3, 0)
Hernán Neciosup Puican
hneciosup@gmail.com
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
Se estudia la clasificación analı́tica de foliaciones cuspidales casi-homogéneas
de tipo admisible, este estudio se lleva a cabo con una técnica sencilla: el de la
“holonomı́a esencial”, que no es mas que la técnica de la holomonı́a proyectiva
para dimensión dos. Primero encontramos una forma pre-normal para este tipo de
foliaciones en dimensión arbitraria, en seguida pasamos a estudiar la reducción de
singularidades en el caso de dimensión 3. El comportamiento local de la foliación,
nos permite encontrar una condición suficiente para que una foliación, generada
por la forma pre-normal, sea de tipo superficie generalizada. Identificamos una
componente especial del divisor, en la que es posible construir una fibración
de Hopf adaptada a la foliación, el cual permite extender la clasificación, en
primer lugar, a un entorno de la componente especial en cuestión. Estudiamos
la topologı́a de las componentes del divisor excepcional, una vez quitado el
lugar singular de la foliación. Imponemos hipótesis sobre algunas componentes
del divisor que, junto con un resultado debido a J. Mattei y R. Moussu, nos
permiten garantizar la existencia de integral primera holomorfa entorno del divisor
excepcional. Finalmente, la propiedad de la primera componente del divisor, un
vez quitado el lugar singular, de ser simplemente conexa; junto con un resultado
debido a D. Cerveau y J. Mozo, nos permiten extender la conjugación analı́tica en
un entorno del origen.
Referencias
[1] CERVEAU, DOMINIQUE; MOZO-FERNÁNDEZ, JORGE, Classification analytique
des feuilletages singuliers réduits de codimension 1 en dimension n ≥ 3. Ergodic
Theory Dynam. Systems 22 (2002), no. 4, 1041–1060.
[2] FERNÁNDEZ-SÁNCHEZ, PERCY,; MOZO-FERNÁNDEZ, JORGE,:NECIOSUP,
HERNÁN On codimension one foliations with prescribed cuspidal separatrix., J.
Differential Equations 256 (2014), no. 4, 1702–1717.
[3] MATTEI, J.-F.; MOUSSU, R., Holonomie et intégrales premières. Ann. Sci. École
Norm. Sup. (4) 13 (1980), no. 4, 469–523.
SMP 26 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Monotonicity and maximal monotonicity of affine maps
Eladio Ocaña
eladio.ocana@pucp.edu.pe
IMCA
Resumen
Variational inequality problems and equilibrium problems occur in a large
field of applications issued from various domains such as physics, mechanics,
economics, operations research. They encompass optimization problems and
related problems such as complementarity problems and saddle-point problems.
(Maximal) monotonicity holds in variational inequalities problems the role played
by convexity in optimization problems. The aim of this talk is to give the explicit
expression of the (maximal) monotonicity property of maps in the linear case.
SMP 27 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Matemática: la música del entendimiento,
Música: la matemática de lo sensible
Emilio Lluis Puebla
lluispuebla@gmail.com
Facultad de Ciencias -UNAM
Resumen
En esta conferencia (la cual tiene como propósito dejarle algo al asistente de
cualquier nivel) se hablará de la Matemática, sus caracterı́sticas, la investigación
y progreso en ella. Como ejemplo de una teorı́a matemática, se presentará una
breve exposición de la K−Teorı́a Algebraica, de cómo fue su creación y sus
problemas de frontera. También, se hablará de Matemática llamada aplicada y
cómo las Teorı́as de Módulos, Categorı́as, Topos, Homotopı́a, Homologı́a y otras
son utilizadas en la Teorı́a Matemática de la Música para hacer no solamente
aplicaciones sino matemática nueva en ella.
SMP 28 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
Una introducción al algoritmo de Metropolis-Hastings
y sus extensiones.
Luis Valdivieso
lvaldiv@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
Un problema muy común en la Estadı́stica y otras ciencias radica en la
evaluación de integrales de la forma
∫
I = E[g(mθ)] = g(mθ)f(mθ)dmθ
para alguna función g, donde f(mθ) corresponde a alguna función de densidad
D−dimensional. Las cadenas de Markov de Monte Carlo (MCMC) consituyen
una solución viable para obtener aproximaciones de I . Ellas son diseñadas para
generar una cadena de Markov estacionaria que tenga a f(mθ) como precisamente
su distribución lı́mite o estacionaria y ası́ aproximar I por simplemente la media
de los últimos valores de esta cadena en g. El algoritmo MCMC más general y
exitoso para obtener estas cadenas es el de Metropolis-Hastings. Empezándose
con un estimador inicial θ0m , el algoritmo propone transiciones θk → θk+1m m ,
las cuales son aceptadas con una probabilidad dependiente de una distribución
propuesta que toma usualmente la forma de un camino aleatorio. Altas tasas de
aceptación se alcanzan proponiendo transiciones pequeñas, pero esto hace muy
lento al algoritmo. En dimensiones altas; i.e, cuando D es grande, el camino
aleatorio se vuelve ineficiente resultando en bajas tasas de aceptación, pobre
mezcla de la cadena y muestras altamente correlacionadas. Es en virtud de ello que
han surgido recientemente diversas propuestas y extensiones que buscan solucionar
tal problema. En este trabajo introduciremos algunas de estas extensiones.
Referencias
[1] CHIB, S. AND GREENBERG, E.(1995) Understanding the Metropolis-Hastings
algorithm. The American Statistician. 49 p. 327-335.
[2] NEAL, R.(2011) MCMC Using Hamiltonian Dynamic. Handbook of Markov
Chain Monte Carlo. Chapman and Hall.
SMP 29 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CONFERENCIA PUCP
¿Por qué insistir en el álgebra geométrica?
Edgar Vera Saravia
edverasar@gmail.com
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Resumen
Se muestra que el álgebra geométrica ofrece una alternativa más simple e
intuitiva de introducir la integral de curvas y superficies (hipersuperficies en
general), ofreciendo un mejor modo de presentar el concepto de forma diferencial.
Adicionalmente se comentan otras posibilidades de utilizar el álgebra geométrica
para presentar conceptos matemáticos más sofisticados.
Referencias
[1] LAWSON JR.& MICHELSOHN M-L. Spin Geometry Princeton University Press,
New Jersey, 1989
[2] SHARPE, R. Differential Geometry (Cartan’s generalization of Klein’s Erlangen
Progam), Springer, New York, 1997.
[3] SNIGG, J. A new approach to differential geometry using Clifford’s geometric
algebra, Birkhauser, New York, 2010.
SMP 30 Lima Perú, 2014
Comunicaciones
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Exploration Mathematics with Maple through
Embedded Components
Lenin Araujo Castillo
physicsleninac@hotmail.com
Universidad César Vallejo
Facultad de Ingenierı́a
Resumen
Today science professionals in engineering software used to only work on the
desktop and even just looking to download and use mobile apps math; but they are
not able to design their own applications. Maplesoft to set the solution to it through
its Maple package; software supports desktop and mobile; solves problems of
analysis and calculation with Embedded Components. To show this we have taken
the area of different mathematical topics; fixed horizontally to a certain range of
parameters and not just a constant as it is customary to develop. This paper shows
how the Embedded Components allow us to develop mathematics in all areas.
Achieving build applications that are interactive in mobile devices such as tablets;
which are used at any time. Maple gives us design according to our university or
research need, based on contemporary and modern mathematics. With this method
we encourage students, teachers and researchers to use graphics algorithms.
Referencias
[1] THOMAS WESTERMANN. Ingenieurmathematik kompakt mit Maple Springer-
Verlag, Berlin Heidelberg , 2012
[2] INNA SHINGAREVA, CARLOS LIZÁRRAGA-CELAYA. Solving Nonlinear Partial
Differential Equations with Maple and Mathematica Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg , 2011
[3] ZIYA SANAT. Mathematik fur Ingenieure, Grundlagen, Anwendungen in Maple
und C++ Vieweg, Teubner, Berlin, 2009
SMP 32 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACION PUCP
El papel de Cosme Bueno en la historia de la
Matemática Peruana2
Marı́a del Carmen Bonilla
maria.bonilla.t@upch.pe
Universidad Peruana Cayetano Heredia,
Programa de Educación Intercultural Bilingüe
Resumen
Francisco Antonio Cosme Bueno y Alegre (1711 – 1798) fue un sabio de la Ilustración
Americana, poseedor de saber enciclopédico, curiosidad sistemática, un profundo
sentimiento docente, y una especial capacidad de transmitir los saberes. Aragonés
nacido en Belver de Cinca, viajó a Lima a los 19 años. Estudió Medicina en la Real
y Pontificia Universidad de San Marcos, en donde obtuvo el grado de Doctor en
1750. Fue miembro de la Sociedad Médica de Madrid desde 1768, y de la Sociedad
Vascongada desde 1784. Fue un erudito, tuvo amplios conocimientos de Historia,
Geografı́a, Matemáticas, Fı́sica, Astronomı́a, Quı́mica, Zoologı́a, Botánica, Derecho,
y demás ciencias conexas. Se desempeñó en la Cátedra de Método de Medicina desde
1750 hasta 1759, a la que renunció por ser elegido en 1757 como catedrático de Prima
de Matemática de la Real y Pontificia Universidad de San Marcos y Cosmógrafo Mayor
del Virreinato del Perú.
Bueno es considerado fundador de la actividad matemática en la vida académica.
Escribió un curso completo de Introducción a la Aritmética y al Álgebra para uso de
sus alumnos. Fue definido por su discı́pulo Gabriel Moreno, como “el primer prosélito
de Newton en el Perú”, por el abandono de los métodos cientı́ficos tradicionales
de la Escolástica y la asimilación de los nuevos principios empı́ricos del análisis
experimental. Su casa era visitada por los sabios que venı́an de Europa, como Hipólito
Ruı́z, José Pavón, Joseph Dombey, desentrañándoles cuantos papeles podı́a. Era
considerado la máxima autoridad cientı́fica en Lima, fuente ambulante de sabidurı́a
a la que recurrı́an los poderes de la Iglesia y el Estado para ilustrarse.
Cosme fue el introductor de los conocimientos de Newton en el Perú, tuvo la
biblioteca cientı́fica más importante de la Lima del Siglo XVIII, que constaba de
1346 volúmenes, muchos de ellos en temas especializados. En lo que se refiere
a Matemáticas y Ciencias, incluı́a obras de Isaac Newton (Opuscula mathematica,
philosophica et philologica), de Alexis-Claude Clairaut (Elements dÁlgébre), de
Jean-Baptiste Le Rond DÁlambert y Denis Diderot (Encyclopédie, ou Dictionnaire
raisonné des sciences, des arts et des métiers), de Louis Feuillée (Jornal des
observations physiques, mathématiques et botaniques), entre otras.
En una extensa carta hecha por el Cosme Bueno y Alegre, de fecha 27 de febrero
de 1768, responde al pedido del Virrey sobre un texto de Don Joseph Gabriel de Castro
en el que este ofrece una supuesta solución al problema para hallar la longitud en la
navegación marı́tima. Pero, lo que realmente se creı́a era que esta solución tenı́a que
ver con la cuadratura del cı́rculo. La carta, se encuentra en la Biblioteca Central de la
UNMSM.
2Este trabajo se ha desarrolado en colaboración con la profesora Teresa Sofı́a Oviedo
Millones (sofia.oviedo@pucp.edu.pe) de la Pontificia Universidad Católica del Perú
SMP 33 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACION PUCP
Cosme observa que para resolver el problema local de la medición de la longitud
en el mar, era una quimera pensar en que se podı́a resolver si se resolvı́a, a la vez, el
problema de la cuadratura del cı́rculo y relata detalles sobre la obsesión, en ese tiempo,
y sobre los diversos intentos de solución al problema de la cuadratura del cı́rculo.
Finalmente, todos esos intentos fracasaron, pero llevó a otros resultados prácticos
que narra en resumen, cómo sucedieron.
Referencias
[1] DOCUMENTOS VARIOS (T.66178). Volumen de Manuscritos e Impresos de la
época colonial (Siglo XVIII). Documento 25. Fondo Reservado de la Universidad
Nacional Mayor de San Marcos.
[2] MORALES, M Y MORALES, J. (2010). La Ilustración en Lima: vida y obra del
doctor Cosme Bueno y Alegre (1711-1798). Lima: CEPREDIM, UNMSM.
[3] MORALES, M. Y MORALES, J. (2013). Cosme Bueno: clı́nica y epidemiologı́a
en el Perú. Revista del Archivo General de la Nación, 28. Lima: Ministerio de
Cultura.
[4] PISCONTE, A. (2000). Hallazgo reciente de inédito de Cosme Bueno (1711-
1798): La Cuadratura del cÃrculo y el problema de la navegación (1768). Logos
Latinoamericano, , 5, 229–234.
[5] RAMOS, G. (1984). El Desarrollo de la Matemática en el Perú. Algunos aportes
para el estudio de la historia de la ciencia en el Perú. Ernesto Yepes (ed.). Lima:
Concytec.
[6] RAMIREZ, H. (1996). El Cosmógrafo Mayor don Cosme Bueno y su obra “El
Conocimiento de los Tiempos”. Revista de GeografÃa Norte Grande, 23, 109–111.
[7] SERRERA, R., VILA, L. Y HERNÁNDEZ, C. (1996). El aragonés Cosme Bueno
y la descripción geográfica del RÃo de la Plata (1768-1776). Huesca: Instituto de
Estudios Altoaragonenses.
SMP 34 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACION PUCP
Aplicación de la Idoneidad Didáctica de Godino en la
comprensión de la media aritmética de los estudiantes de la
Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurı́mac
Belén Cabrera Navarrete
belencabreran@gmail.com
Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurı́mac
Departamento Académico de Ciencias Básicas
Resumen
Se presenta la investigación cuyo objeto de estudio es la media aritmética y
su comprensión por estudiantes de los primeros ciclos de la Universidad Nacional
Micaela Bastidas de Apurı́mac, para lo cual se ha aplicado sesiones didácticas
tomando como marco teórico, la idoneidad didáctica propuesta por [2] Godino,
J. (2011) y sus colaboradores; la que permitió evaluar la comprensión de los
estudiantes desde las perspectivas se la definición, procedimientos, algoritmos,
lenguaje, representaciones y argumentos planteados por [1] Cobo, B. y Batanero,
C. (2004); Para este estudio se tuvo la colaboración de estudiantes universitarios
divididos en dos grupos, un grupo de control y otro grupo experimental a quienes
en forma homogénea y en el mismo tiempo bajo las mismas condiciones se
presentó una prueba de entrada denominada Pre test; posteriormente al grupo
experimental se presentó sesiones didácticas con el Enfoque OntoSemiotico (EOS)
Idoneidad Didáctica, desarrollado por Godino, J. (2011), tomando en cuenta las
dimensiones cognitiva y epistémica; con el grupo de control se desarrollaron clases
magistrales tradicionales; posteriormente a ambos grupos se evaluó nuevamente
con una prueba denominada Post test; como resultado de estas evaluaciones
se encontraron resultados y diferencias bastante significativas a favor de los
estudiantes del grupo experimental; en cuanto a los resultados resaltan: Los
estudiantes del grupo experimental usan las definiciones de la media aritmética
en mayor proporción que los estudiantes del grupo de control, del mismo modo
que lo logran usan procedimientos, algoritmos, representaciones y el lenguaje sin
embargo tanto el grupo de control como el grupo experimental no logran usar
argumentos al momento de resolver problemas sobre la media aritmética.
Referencias
[1] COBO, B. Y BATANERO, C. Significado de los libros de texto en la secundaria,
Enseñanza de las ciencias, Barcelona. 2004.
[2] GODINO, J. Indicadores de la Idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, XIII CIAEM, IACME. Recife, Brasil, 2011.
SMP 35 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Software para facilitar el proceso de abstracción del análisis
de superficies en 3D para estudiantes empleando
Realidad Aumentada
Cristhian E. Hilario López
u912545@upc.edu.pe
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas,
Facultad de Ingenierı́a
Resumen
La adquisición de la competencia matemática para los estudiantes de ingenierı́a
en la UPC implica desarrollar destrezas a través de diferentes contenidos; en el
curso de Cálculo 2, se estudian las superficies cuádricas y debido al grado de
dificultad y el nivel de abstracción que se requiere, las habilidades de graficar,
proyectar y describir regiones en tres dimensiones (IR3) no se llegan a consolidar.
Hoy en dı́a, las herramientas que se utilizan para la adquisición de estos conceptos
no permiten la interacción activa de los estudiantes. Dentro del plano educativo,
aparece la Realidad Aumentada como una alternativa para la enseñanza de
diferentes factores, debido a que permite la visualización de un elemento virtual en
el plano real. En este artı́culo se expone el resultado del trabajo de investigación e
implementación de una aplicación móvil la cual, empleando Realidad Aumentada,
permite la graficación y manipulación de las superficies cuádricas en IR3, la
graficación de ecuaciones libres y la intersección con planos perpendiculares a los
ejes cartesianos. El proyecto considera, realizar un análisis del impacto generado
en los estudiantes luego de la interacción con la aplicación, y se espera obtener
como principal conclusión la facilidad de adaptación y la comprensión de los
conceptos matemáticos involucrados.
Referencias
[1] ESTEBAN, P. Y OTROS La realidad aumentada: un espacio para la comprensión de
conceptos del cálculo en varias variables (2004)
[2] FABREGAT GESA, RAMÓN Combinando la realidad aumentada con las
plataformas de e-learning adaptativas, Revista Venezolana de Información,
Tecnologı́a y Conocimiento vol. 9, núm. 2, mayo-agosto (2012) pp 69-78.
[3] FOMBONA CADAVIECO JAVIER; PASCUAL SEVILLANO, MARÍA Y MADEIRA
FERREIRA AMADOR, MARÍA Realidad Aumentada, una Evolución de las
Aplicaciones de los Dispositivos Móviles, Pı́xel-Bit núm. 41, julio (2012) pp.197-
210.
[4] KANGDON, LEE The Future of Learning and Training in Augmented Reality,
InSight vol. 7 (2012) pp.31-42.
[5] STEWART, JAMES Cálculo de varias variables Contextos y Conceptos 4ta edición.
Cengage Learning Editores, S.A., México, 2010
SMP 36 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Bases de Gröbner y la Teorı́a de Códigos
Maritza Luna Valenzuela
luna.m@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catĺica del Perú
Resumen
La teorı́a de los códigos correctores de errores forma hoy un extenso y
fructı́fero campo de interacción entre las matemáticas y las tecnologı́as de la
información, en el que conceptos y resultados matemáticos abstractos permiten
dar elegantes soluciones al problema de transmitir información de forma eficiente
y segura. Entre estos conceptos matemáticos juegan un papel relevante el álgebra
lineal y la teorı́a de bases de Gröbner. En esta comunicación se mostrará un
algoritmo para la descodificación de los códigos cı́clicos utilizando las bases de
Gröbner.
Referencias
[1] COX D. LITTLE J. OÁHEA D. Ideal, Varieties, and Algorithms An Introduction to
Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra Editorial Springer.
Segunda Edición, 2005.
[2] CONTI P. TRAVERSO C. Buchberger Algotihm and Integer Programming Instituto
di Matematica Applicata. Universitá di Pisa, 1999.
[3] FRÖBERG R. An Introduction to Gröbner Bases. Series: Pure and applied
mathemátics. Unnumbered, 1998.
[4] MARTÍNEZ E. MUNUERA C. RUANO R. Bases de gröbner: Aplicaciones a la
Codificación Algebraica, Escuela venezolana de Matemática XX ISBN 978-980-
261-087-7, serie (2007).
[5] WOLFRAM, STEPHEN The Mathematica book. Third edition. Wolfram Media,
Inc., Champaign, IL; Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
SMP 37 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Representación de Bryant
Paúl Eladio Luque Ccama
udtccss@gmail.com
Instituto de Matematica
Universidad Federal de Rio de Janeiro
Resumen
Uno de los problemas de mayor interés en el campo de la Geometrı́a
Diferencial de subvariedades es el análisis, caracterización y obtención de
superfı́cies, en un determinado espacio ambiente, con curvatura de Gauss constante
(CGC), curvatura extrı́nseca constante (CEC) o curvatura media constante
(CMC), en particular de aquellas superfı́cies minimales, cuya curvatura media
es idénticamente nula. El estudio de las superfı́cies minimales y en general de
CMC en el espacio euclı́deo se inicia hacia 1762, cuando Lagrange establece
la ecuación diferencial de los grafos minimales, aunque fue Meusnier en 1776
quien dio una interpretación geométrica de esta ecuación, observando que ella
expresa el hecho de que la media de las curvaturas principales de la superficie
sea cero. En 1860 Karl Weierstrass realizó una importante aportación a la
teorı́a de superficies minimales obteniendo unas fórmulas de representación para
esta clase de superficies. Fórmulas similares fueron establecidas poco tiempo
después por Enneper en 1864, parametrizando la superficie de tal forma que
las curvas coordenadas sean lı́neas de curvatura. Posteriormente Osserman, en
1950 presentó una nueva versión de las mı́smas. El hecho de que esta clase de
superficies admita una representación conforme le permitió, utilizando la teorı́a de
funciones de variable compleja, realizar estudios de su geometrı́a global de una
manera precisa. Exhibimos una representación en datos holomorfos , análogo a la
representación de Weierstrass para superfı́cies de curvatura media uno en 3H . Tal
representación fue obtenida por Bryant en 1987, al mostrar que las superfı́cies
de curvatura media constante uno en 3H son proyecciones de curvas nulas en
SL(2,C), encontando de esta manera una representación holomorfa de tales
superfı́cies. Como ejemplo teorico tendremos la representación para superficies
planas obtenida por Galvez, Martinez y Milan.
Referencias
[1] BRYANT R. Surfaces of mean curvature one in hyperbolic space, Astérisque 154-
155 XVI (1988) 321-347.
[2] DO CARMO, M. Geometria Riemanniana 4 ed., IMPA, Rio de Janeiro, 2011
[3] GALVEZ J. MARTINEZ A. & MILAN F. Flat surfaces in the hyperbolic 3-space,
Math. Ann 316, 2000 419-435.
[4] LEE J. Riemannian Manifolds Graduate texts in mathematics, 176, Springer-
Verlag, New York, 1997
SMP 38 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Método de Averaging para encontrar ciclos lı́mite
Joel Mendoza Jimenez
joel.mendoza@pucp.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
El problema de encontrar ciclos lı́mite es complicado en general, pero existen
métodos para determinar el número de ciclos limite. En la presente comunicación
se dará a conocer el Método de Averaging en su versión moderna, es decir haciendo
uso del grado de Brower (con esto se debilita las hipótesis de la versión clásica).
El método de averaging consiste perturbar un centro, tomar la sección transversal
(compacta) a este, y encontrar los ceros de una apliación polinomial inducida
por la aplicación de Poincaré (su desarrollo en forma de Taylor). Los ceros de
esta aplicación nos darán los ciclos lı́mite del sistema, cercanos a la singularidad.
Finalmente se aplicará este método a encontrar órbitas periódicas y su estabilidad
en el sistema prototipo 4−Rossler.
Referencias
[1] A. BUICĂ & J. LLIBRE Averaging methods for finding periodic orbits via
Brouwer degree. Bull. Sci. Math 128 (2004) 7–22.
[2] A. BUICĂ; J. P FRANÇOISE & J. LLIBRE Periodic solutions of nonlinear periodic
differential systems with a small parameter. Commun. Pure Appl. Anal. 6 (2007)
103–111.
[3] I. A. GARCÍA, J. LLIBRE & S. MAZA Periodic orbits and their stability in the
Rossler prototype-4 system,Physics Letters A. 376 (2012) 2234–2237.
[4] F. VERHULST Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems.
Universitext, Springer 1991.
SMP 39 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO PUCP
Sobre el operador de extension de Elias M. Stein3
Hubert Gabino Roman Tello
hrt ae @yahoo.es
Facultad de Ciencias Matemáticas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Resumen
Muchas desigualdades de Sobolev requieren que el dominio sea un dominio
de Lipschitz cuya frontera sea bien regular, [3]; en consecuencia, muchas
ecuaciones diferenciales y problemas variacionales están definidos en un dominio
de Lipschitz, por eso estudiar la regularidad de los dominios es importante por
las nociones matemáticas que se desarrollan en ellos. Los operadores estándares
no funcionan bien cuando relajamos la regularidad del dominio. Existe un
operador debido a E. Stein que mejora sustancialmente los operadores de extensión
habituales. En este trabajo se comprueba la relación directa que existe entre la
regularidad exigida al dominio para poder extender este tipo de funciones y la
necesaria para que las conocidas inclusiones de Sobolev sean satisfechas. En ese
sentido se observara que todo este contexto del trabajo no afecta a los resultados
relacionados con el operador traza. El teorema central de esta comuncación es:
Teorema: Sea Ω un dominio con frontera ∂Ω minimamente regular . Existe un
operadpr lineal E que extiende funciones de Ω a funciones en n+1R tal que :
(a) E(f)|Ω = f
( )
(b) El operador E transforma W k,p (Ω) en W k,p n+1R de forma continua
para 1 ≤ p ≤ ∞ y k = 0, 1, 2, . . . . Esto es, ‖Ef‖
Wk,p(Rn+1) ≤
C ‖f‖Wk,p(Ω)
El esquema de trabajo del teorema del trazo, citamos [2], esta reflejado en la
siguiente figura
R
φi
U φi(Ω ∩ Ui i)
Ω
Rn
ψif fi
R
Figura 1: Esquema de Trabajo
3Este trabajo se ha desarrolado bajo la asesoria de la profesora Yolanda Santiago Ayala
(ysantiago@unmsm.edu.pe) de la Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
SMP 40 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO PUCP
Que se traduce en la construccion de un operador estándar donde Ω ⊂ n+1R
de clase Ck y φ un difemorfismo. En consecuencia estos operadores habituales
dependen mucho de los difeomorfismos Ck. El operador de Stein excluye la
construccion del mismo sin recurrir a estas condiciones , citamos [1].
Referencias
[1] ESPERANZA SANTAMARIA. & MARTIN:Ecuaciones en Derivadas Parciales y
Perturbaciones del Dominio, Trabajo de Iniciación a la Investigación Mater en
Investigación Matematica, Universidad Complutense de Madrid, Enero 2008.
[2] SANTIAGO AYALA YOLANDA Notas del Curso de Seminario de Investigación
UPG ,Facultad de Ciencias Matematicas, de la UNMSM, (2010–2011)
[3] KESAVAN Topics in Functional Analysis and Appications Wiley Easton Limited .
New Delhi , (1950 ).
SMP 41 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Estudio de técnicas de programación en paralelo
basado en MPI para aproximar y simular el modelo LWR
del flujo de tráfico vehicular4
Lenin Quiñones Huatangari
lquinoneshuatangari@unj.edu.pe
Universidad Nacional de Jaén.
Resumen
El tráfico vehicular en las autopistas interurbanas y en las grandes avenidas de las
ciudades densamente pobladas se ha convertido en un problema que está motivando
cambios culturales, polı́ticos y económicos. Entre estos cambios están las restricciones
para utilizar los automóviles por determinados dı́as de la semana (por ejemplo en
Chile), la modificación de los horarios habituales de viaje entre el hogar y el trabajo o
estudio, y la generación de proyectos de ley relacionadas con la contaminación del aire
y la contaminación acústica. Esta importancia social convierte al tráfico vehicular en
un problema que merece atención desde el punto de vista cientı́fico.
El hecho que el tráfico vehicular en una autopista se comporte como un sistema
análogo al flujo de un fluido en una tuberı́a sugirió la idea de modelar este fenómeno
utilizando las leyes de la Mecánica Clásica. En particular y a sugerencia de Lighthill,
Whitham y Richards se utilizó el principio de conservación de la masa para deducir un
modelo matemático basado en Ecuaciones Diferenciales Parciales. Este modelo ideal
sentó las bases de una nueva lı́nea de investigación. Para mayores detalles sobre los
problemas abiertos consultar el artı́culo de revisión del estado del arte sobre tráfico
vehicular publicado por B. Piccoli y A. Tosin.
En este trabajo de investigación se estudia el problema de la solución numérica
de leyes de conservación escalares que modelan el flujo vehicular en autopistas
aplicando los principios de computación paralela y volúmenes Finitos. Se presentan
seis algoritmos secuenciales para resolver el problema de cauchy bajo distintos tipos
de flujo y basados en los denominados esquemas upwind, Godunov e Hı́brido. Luego,
se introduce la paralelización de cada uno de estos seis algoritmos. Para los algoritmos
correspondientes a los esquemas upwind y Godunov la paralelización se realiza
siguiendo la técnicaa de la descomposición de dominios. En tanto, para el esquema
Hı́brido el principio básico es la descomposición del operador de diferencias finitas
asociado, en tres operadores que evolucionan independientemente y de los cuales dos
de ellos realizan el transporte de la solución y uno de ellos modela la evolución de
la discontinuidad. Los algoritmos paralelos basados en descomposición de dominios
resultaron ser mejores en tiempos de ejecución y los basados en descomposición
de operadores en aproximación de discontinuidades. Para validar los algoritmos
paralelizados se realizaron pruebas numéricas para las ecuaciones de advección, Burger
y el modelo de tráfico vehicular de Lighthill–Withman–Richards, midiéndose en cada
uno de estos casos con las métricas: tiempos de ejecución, speedup y eficiencia. Los
resultados para los tiempos de ejecución son decrecientes cuando se utilizan tres
procesadores y muestran un comportamiento no monótono para más procesadores,
debido al incremento del paso de mensajes. En la mayor parte de los experimentos
numéricos el speedup está en el intervalo [1, 2]. La eficiencia de los algoritmos
paralelizados varı́a entre el 49 % y el 92 %.
4El presente trabajo es fruto de la investigación hecha durante mi permanencia en Chile haciendo el
Magister en Ciencias de la Computacion en la Universidad del Bio Bio, contando como asesor al Dr.
Anibal Coronel Perez (acoronel@ubiobio.cl) docente de la Universidad del Bio Bio–Chile
SMP 42 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Referencias
[1] A. AW & M. RASCLE. Resurrection of second order models of traffic flow, SIAM
Journal on Applied Mathematics, 2000 pp 916-938.
[2] S. BERRES ET AL. On mathematical models and numerical simulation of the
fluidization of polydisperse suspensions, Applied Mathematical Modelling, 2005.
[3] L.CHANG. & S. MIAOU. Real-time prediction of traffic flows using dynamic
generalized linear models, Transportation research Record 1999, pp 168-178.
[4] M.GARABELLO & B.PICCOLI. Traffic Flow on Networks, American Institute of
Mathematical Sciences, USA.2004
[5] M.GARABELLO & B.PICCOLI. The LWR model on a network, American Institute
of Mathematical Scienses, 2006.
SMP 43 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Complementariedades en las decisiones de innovación
y el nivel de producción en la industria manufacturera
peruana5
Edward M. Ruiz Crosby
edumarcu11@gmail.com
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
Uno de los temas que actualmente se encuentran en debate consiste en la diversificación
productiva del paı́s. De acuerdo con el Plan Nacional de Diversificación Productiva,
elaborado por el Ministerio de la Producción, el Perú es un paı́s eminentemente minero,
y a la fecha produce prácticamente la misma canasta de bienes y servicios, constituida
principalmente por minerales, que producı́a en 1970. Sin embargo, el boom de los
precios de los metales que ocurrió desde el 2003 al 2011 ya se acabó y se necesitan
nuevos motores para el crecimiento y desarrollo económicos.
Al respecto, Szirmai y Verspagen (2010) [10] sugieren que el sector manufacturero es
el principal motor del crecimiento y el desarrollo económicos. Una de las ventajas
que presenta la industria manufacturera, según estos autores, consiste en que ésta
presenta oportunidades especiales para el progreso tecnológico. Esto es, el sector
manufacturero tiene el potencial de concentrar el avance tecnológico para luego
difundir el mismo hacia otros sectores. En este sentido, el rol de la innovación en la
industria manufacturera es crucial para que sea un motor efectivo para la economı́a.
De acuerdo al último reporte del Foro Económico Mundial 2014-2015, el Perú se
encuentra en el puesto 117 de 148 paı́ses en el pilar de innovación, por lo que es esencial
impulsarla.
No obstante, a pesar que la innovación es el fenómeno económico más importante,
Swann (2009) [9] afirma que se necesita conocer más de la microeconomı́a estándar
para comprender la innovación a plenitud. Especı́ficamente, el autor establece la
importancia de la distinción entre la innovación de productos y la de procesos al tener
cada uno diferentes efectos económicos. Además, el autor sostiene que a menudo un
proceso mejorado genera un producto renovado y viceversa. De esta manera, estarı́an
existiendo complementariedades entre ambos tipos de innovación.
En este sentido, Miravete y Pernı́as (2006) [8] realizan un modelo de
complementariedades entre los tipos de innovación y el nivel de producción de firmas
españolas en la industria cerámica que deriva en una función de máxima verosimilitud
empleada para hacer una contrastación empı́rica de dichas complementariedades.
A partir de este documento de trabajo, la presente comunicación tiene como
objetivo establecer los fundamentos matemáticos del modelo de Miravete y Pernı́as
(2006) [8], empleando las herramientas matemáticas de Topkis (1998) [10]. En
particular, se desarrollan los conceptos de retı́culos y funciones supermodulares.
Con estos conceptos, no se necesitan supuestos de convexidad o conexidad del
dominio ni convexidad o diferenciabilidad de la función de beneficios de las firmas
5El presente trabajo se ha desarrollado bajo la asesoria de los profesores Alejandro Lugón,
Loretta Gasco y Fernando Pérez Forero
SMP 44 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
manufactureras. Esto se debe dado que el dominio será un conjunto no convexo y la
función no será diferenciable en todas sus variables de decisión, aspecto que resulta
pertinente desde la teorı́a matemática y bastante útil desde el punto de vista económico.
Asimismo, se estimará empı́ricamente el modelo empleando datos de la Encuesta
Nacional de Innovación en la Industria Manufacturera del año 2012, para contrastar
la hipótesis de complementariedades de innovación entre los tipos de innovación
y el nivel de producción de tales firmas. Por último, a partir de los resultados, se
presentarán recomendaciones de polı́tica a fin de impulsar la innovación en la industria
manufacturera peruana.
Por ende, en la primera parte se muestra cómo optimizar funciones supermodulares
en retı́culos. En el segundo capı́tulo, se desarrolla el modelo estructural de Miravete
y Pernı́as (2006) [8], a partir del cual se muestran las complementariedades entre las
variables de decisión. En la tercera parte se determina la forma de estimar el modelo
expuesto en el capı́tulo anterior. En la cuarta parte, se describen los datos relativos
a la industria manufacturera correspondientes al año 2012, que se emplearı́an para la
estimación del modelo. En la quinta parte, se muestran y analizan los resultados de
la estimación empı́rica. Y en la sexta y última parte, se elaboran las conclusiones y
recomendaciones de polı́tica.
Referencias
[1] ATHEY, S. y A. SCHMUTZLER, “Product and Process Flexibility in an Innovative
Environment”, RAND Journal of Economics, 26 (4), págs. 557–574, 1995.
[2] CHOK, N.S., “Pearson’s versus Spearman’s and Kendall’s Correlation
Coefficients for continuous data”, Tesis de MaestrÃa de la Universidad de
Pittsburgh, 2010.
[3] GENZ, A., “Numerical Computation of Rectangular Bivariate and Trivariate
Normal and t Probabilities”, Statistics and Computing, 14, págs. 151–160, 2004.
[4] GREENE, W.H., Análisis Econométrico, tercera edición, Prentice Hall, 1999.
[5] IACUS, S.M., Option pricing and Estimation of Financial Models with R, primera
edición, Wiley, 2011.
[6] KRETSHCMER, T. y E.J. MIRAVETE y J.C. PERNÍAS, “Competitive Pressure
and Innovation Complementarities”, American Economic Review, 102 (4), pags.
1540–1570, 2012.
[7] MANKIW, N.G., Principle of Economics, quinta edición, Cengage Learning,
2008.
[8] MIRAVETE, E.J. y J.C. PERNÍAS, “Innovation Complementarities and Scale of
Production”, Journal of Industrial Economics, 54, págs. 1–29, 2006.
[9] SWAN, G.M., The Economics of Innovation: An Introduction, primera edición,
Edward Elgar Publishing, 2009.
[10] TOPKIS, D.M., Supermodularity and Complementarity, primera edición,
Princeton University Press, 1998.
SMP 45 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Forma Normal Formal para campos vectoriales en (C2, 0)
con multiplicidad 2
Soledad Ramı́rez Carrasco
sramirez@unmsm.edu.pe,
solramirez−c@hotmail.com
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Resumen
Para los campos vectoriales en ( 2C , 0) con multiplicidad 2, obtenemos una
forma normal formal bastante simple implementando una técnica basada en el
Teorema de la Transversal Completa para campos vectoriales. El teorema que
presentamos es una versión del Teorema de la Transversal Completa, usado en la
clasificación analı́tica de curvas planas. Este trabajo es un aporte a la clasificación
formal–analı́tica de campos vectoriales, debido a que muchos resultados de
clasificación analı́tica, se basan en formas normales.
SMP 46 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Cálculo de las bases de Gröbner de un
sistema polinomial
Marco G.Solórzano Mamani
marco.solorzano@pucp.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
Se calcula explicitamente las bases de Groebner de un sistema polinomial
relacionado con la conjetura Jacobiana, usando los números de Catalán.
Referencias
[1] GUCCIONE J.A. GUCCIONE J.J. & VALQUI C. On the Jacobian Conjecture.
[2] COX D. LITLE J. & O’SHEA D. Ideals, varieties, and algorithms: an introduction
to computational algebraic geometry and commutative algebra álgebra, Springer–
Verlag, New York, 1997.
[3] DECKER W. & LOSSEN C. Computing in Algebraic Geometry, a quick start using
Singular Springer–Verlang, Berlin, 2006.
[4] KOSHY T. Catalan numbers with applications. Oxford University Press., USA,
2009.
SMP 47 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Aspectos dinámicos de los homeomorfismos y
difeomorfismos del cı́rculo
Pedro Suárez Navarro
ivan.suarez@pucp.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
El presente trabajo lo dedicamos al estudio de la teorı́a clásica de los
homeomorfismos de la circunferencia unitaria, cuyos orı́genes se remontan
a una de las memorias de Henri Poincaré, publicada en 1885. Definiremos
un invariante topólogico de mucha importancia en el ámbito de la dinámica
unidimensional, conocido hoy como número de rotación de Poincaré. Dividiremos
esta comunicación inspirados en dos hechos históricos que marcan el inicio del
estudio de los homeomorfismos de la circunferencia unitaria. El primero es debido
a Poincaré, quién demuestra que si f es un homeomorfismo de la circunferencia
que preserva orientación con número de rotación ρ(f) irracional, entonces f
es semiconjugada a una rotación Rρ(f). El segundo hecho histórico, data de
1932, cuando Arnaud Denjoy demuestra que si f es un difeomorfismo de classe
C1 que preserva orientación con derivada de variación acotada y número de
rotación irracional, entonces la semiconjugación es de hecho un homeomorfismo.
En general, este resultado se obtiene para difeomorfismos de clase C2. Además
esbozaremos las ideas de la construcción del contraejemplo de Denjoy.
Referencias
[1] KATOK A. HASSELBLATT B. Introduction to the modern theory of dynamical
systems. Cambridge University Press, 1995.
SMP 48 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
Creencias y una aproximación de la concepción de los
profesores de pre cálculo sobre el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la función exponencial
Felix Ivan Velásquez Millones
ivan.velasquez@pucp.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
Esta investigación6 analiza las prácticas matemáticas que realiza un grupo de
profesores en la enseñanza de función exponencial en cursos de introducción al Cálculo
para estudiantes de las carreras de letras, y un curso de análisis matemático para
estudiantes de ingenierı́a. Para analizar dichas prácticas se utiliza el análisis didáctico
que lo proporciona el Enfoque Ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática
(EOS). La metodologı́a es de tipo cualitativa constructivista, ya que busca describir
e interpretar los fenómenos sociales y educativos. Se emplea el estudio de casos
considerando cuatro profesores; se analizan las prácticas matemáticas desarrolladas
por dos de ellos y a los cuatro se les aplica una entrevista semiestructurada y un
cuestionario que surgen del análisis de las prácticas. El análisis de las prácticas junto
con las respuestas de la entrevista y el cuestionario nos permite identificar las creencias
y aproximarnos a la concepción de los profesores sobre la enseñanza de la función
exponencial. En la presentación de los resultados, tomamos en cuenta la postura de
Peirce con respecto al término creencia. Este estudio resulta importante porque nos
permite saber la naturaleza de las creencias de los profesores de precálculo sobre la
enseñanza de la función exponencial. Además nos permite saber cuál es su origen y
cómo podrı́an influir éstas creencias en el aprendizaje de los estudiantes. Esto es útil
conocer, para involucrar a los profesores en los procesos de cambio en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El objetivo de este estudio fue identificar
las creencias y una aproximación de la concepción de los profesores en el proceso
de enseñanza y aprendizaje de la función exponencial en cursos de pre-cálculo. Este
objetivo se llegó a lograr pues se identificó las creencias que los profesores tienen de
la función exponencial. Desde nuestro punto de vista, estas creencias hacen que los
alumnos aprendan a tabular y graficar funciones exponenciales.
Referencias
[1] ADVÍNCULA E. Una situación didáctica para la enseñanza de la función
exponencial, dirigida a estudiantes de las carreras de Humanidades. (Tesis de
maestrı́a) PUCP, Perú. (2009).
[2] GODINO J.D. BATANERO C. & FONT V. Un enfoque ontosemiótico del
conocimiento y la instrucción matemática. (2008).
[3] LATORRE A. RINCÓN D. & ARNAL J. Bases metodológicas de la investigación
educativa (1996).
6Este trabajo se ha desarrolado bajo la asesoria de la profesora Norma Rubio Goycochea de la
Pontificia Universidad Católica del Perú
SMP 49 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO COMUNICACIÓN PUCP
[4] LIMA E. CARVALHO P. WAGNER E. & MORGADO A. La Matemática de la
Enseñanza Media Vol. II (2000). Lima- IMCA.
[5] MARTÍNEZ G. Explicación sistémica de fenómenos didácticos ligados a las
convenciones de los exponentes Revista Latinoamericana de Investigación en
Matemática Educativa p. 45-78
[6] PINO L. Evaluación de la faceta epistémica del conocimiento didáctico
matemático de futuros profesores de bachillerato sobre la derivada (Tesis
doctoral). Universidad de Granada-España. (2013).
[7] PONTE J. Las creencias y concepciones de maestros como un tema fundamental
en la formación de maestros Universidad de Lisboa, Portugal. Traducción de
Casimira López. (1999).
[8] VARGAS J. Análisis de la práctica docente: El caso de la función exponencial.
(Tesis doctoral) Universidad de Salamanca, España. (2012).
[9] RODRÍGUEZ L. Análisis de las creencias epistemológicas, concepciones y
enfoques de aprendizaje de los futuros profesores. (Tesis doctoral)Universidad de
Granada, España. (2012).
SMP 50 Lima Perú, 2014
Posters
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Criptografı́a matemática en el algoritmo RSA
Cristhian N. Aldana Yarlequé
caldana@udaff.edu.pe
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
Resumen
La Criptografı́a es parte de la Criptologı́a que trata del diseño de algoritmos,
protocolos y sistemas que se utilizan para proteger la información contra amenazas
especı́ficas, relacionadas con la integridad, la confidencialidad, la disponibilidad,
la autenticación y el no repudio de la información que se transmite. Cuando
realizas operaciones bancarias a través de internet, cuando firmas digitalmente
o usas tu DNI electrónico, cuando empleas tu smartphone o WhatsApp para
comunicarte. . . Ahı́ está intrı́nsicamente la criptografı́a matemática. Para nuestro
estudio se utiliza el Algoritmo Criptográfico Asimétrico RSA que encripta la
información que se transmite entre un usuario y otro. Este es uno de los métodos
más usados en aplicaciones comerciales, en transmisiones militares, en transacciones
financieras, en comunicación de satélite, en redes de computadoras, en lı́neas
telefónicas, en transmisiones de televisión entre otras aplicaciones, protegiendo el
tráfico en la web, servidores y navegadores (por ejemplo, el software de navegación
de internet Netscape, usa el RSA). También, en una aplicación de correo electrónico,
se utiliza para asegurar la privacidad y autenticidad del mensaje de correo electrónico.
El objetivo de este trabajo es describir los fundamentos matemáticos del algoritmo
criptográfico asimétrico RSA mediante la Teorı́a de Números para entender su
aplicación en seguridad de la información. Cabe indicar que este método de
encriptación de datos conocido como algoritmo asimétrico RSA, por las iniciales de
los nombres de sus creadores Rivest, Shamir y Adleman, es el más conocido entre
los diferentes métodos de criptografı́a de clave pública y es utilizado actualmente
para la transmisión segura de datos a través de canales inseguros, cuya codificación
trabaja con dos claves diferentes: una clave “pública”, y otra “privada”. Ambas
son complementarias entre sı́ (trabajan de manera conjunta) ası́ que un mensaje
cifrado con una de ellas sólo puede ser descifrado por su contraparte. Dado que la
clave privada no se puede calcular a partir de la clave pública, esta última queda
generalmente queda a disposición del público. La seguridad del RSA en sı́ se basa
principalmente en el problema matemático de factorización de enteros muy grandes
(por ejemplo, de 300 dı́gitos o más), anillo de los enteros y la existencia y unicidad de
la descomposición en factores primos de un número entero. Estas propiedades permiten
que los criptosistemas asimétricos sean utilizados en una amplia variedad de funciones,
tales como las firmas digitales.
Referencias
[1] AREITIO J. Seguridad de la Información: Redes, informática y sistemas de
información. Paraninfo Cengage Learning, 2008.
[2] MENEZES A. VAN OORSCHOT P. & VANSTONE S. Handbook of applied
cryptography. CRC Press, 1997.
[3] COUTINHO S. Números Enteros y Criptografı́a RSA. IMCA, 2003.
SMP 52 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
El teorema del valor medio para integrales complejas en el
teorema fundamental del álgebra
Pedro A. Becerra Perez
pbecerra2014@gmail.com
Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Resumen
En el presente trabajoa usaremos el Teorema del Valor Medio (TVM),
el lema de Growth para polinomios complejos, la desigualdad para
integrales complejas
∫
1 2π
f(z ) = f(z + reit0 0 )dt
2π 0
y
‖f(z0)‖ ≤ máx |f |
∂B
y otras propiedades del análisis complejo para demostrar el Teorema
Fundamental del Álgebra, el cual se enuncia de la siguiente manera:
“Todo polinomio complejo no constante tiene una raı́z”
aEsta presentacion se ha esarrolado en colaboración con el profesor Luis
Alberto, Macha Collotupa (lmachac@hotmail.com) de la Facultad de Ciencias
Matematicas-UNMSM
Referencias
[1] AHLFORS LARS. Complex Analysis Second edition, Mc Graw-Hill, 1966.
[2] GROVE E. AND LADAS G, Introducction to complex variables Houghton, Mifflin,
1974.
[3] REMMERT R. Funktionentheorie 1 and 2 Springer-Verlag,(1984, 1991)
[4] GAUSS C. F. First proff, Thesis doctoral, Helmstadt, 3, (1799) 01-30.
SMP 53 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Una ecuación de Petrovsky con memoria y término
no–lineal con coeficiente variable
Emilio Marcelo Castillo Jiménez
ecastilloj@yahoo.es
Universidad Nacional del Callao
Resumen
En este trabajo7 se cosidera Ω ⊂ Rn un dominio acotado con frontera regular ∂Ω
donde se estudia la siguiente ecuación semilineal
 ∫ t

 utt −△2u+ g(t− s)△2u(s)ds = a(x)|u|pu, en Ω× R+;

 0



(∗) ∂u
 u = = 0, en ∂Ω× R+;

 ∂ν





u(x, 0) = u0(x) ut(x, 0) = u
1(x), en Ω.
Se asume que u0 ∈ H20 (Ω) ∩H
4(Ω), u1 ∈ H20 (Ω) ∩ L
2(Ω), a(x) ≥ 0, a ∈ L∞(Ω),
además la función g : R+ → R+ es continuamente diferenciable y satisface
∫
( ∞ )
(i) g(0) > 0, g′(s) ≤ 0, 1− g(s)ds > 0
0
(ii) ∃K0,K1, constantes tales que
−K0 ≤ g
′(s) ≤ 0, 0 ≤ g′′(s) ≤ K1 ∀, s > 0.
Para la ecuación (*), que es una variación de la ecuación de Petrovsky [4],
mostramos la existencia de la solución debil [1], y en un sigueinte trabajo estudiaremos
el comportamiento asintótico de tales soluciones [2, 3].
Referencias
[1] MESSAOUDI, S. A. Blow-up of positive-initial-energy solutions of a nonlinear
viscoelastic hyperbolic equation. J. Math. Anal. Appl. 320 (2006) 902–915.
[2] MESSAOUDI, S. A. Global existence and decay of solutions to a system of
Petrovsky. Math. Sci. Res. J. 6 (2002), 534–541.
[3] MUÑOZ RIVERA, J. E.; LAPA, E. C.& BARRETO, R. Decay rates for viscoelastic
plates with memory. J. Elasticity 44(1996), no. 1, 61–87.
[4] TAHAMTANI, FARAMARZ& SHAHROUZI, MOHAMMAD Existence and blow up
of solutions to a Petrovsky equation with memory and nonlinear source term.
Boundary Value Problems a Springer Open Journal 50 (2012) 15 pp.
7Estre trabajo ha sido escrito en colaboación con Hellen Gloria Terreros Navarro
(hellengloria2@hotmail.com) de la Facultad de Ciencias Matematicas–UNMSM
SMP 54 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Matematch:
una experiencia lúdica fuera del aula
Elizabeth Caycho Ñuflo
ecaychon@ci.edu.pe,
elymath@gmail.com
Colegio de La Inmaculada, Jesuitas-Lima. Perú.
Los alumnos muestran desinterés en el Concurso de Matemática que siempre se
realizaba en la Semana Estudiantil con el clásico formato de Olimpiadas Matemáticas
(Baterı́a de ejercicios) donde siempre ganan los que más saben. En el marco
de la presente propuesta las actividades lúdicas colaborativas en espacios abiertos
constituyen el eje motivador para la competencia que se genera según las actividades
planteadas. Colomina y Onrubia (2001) mencionan que existen investigaciones que
demuestran que, bajo ciertas condiciones, el trabajo cooperativo resulta más efectivo a
nivel académico y social.
El presente póster describe la actividad denominada Matematch8, desarrollada
con estudiantes de 6to grado de primaria a 5to año de secundaria en el campo de
esparcimiento del Colegio de la Inmaculada Jesuitas-Lima. La planificación, ejecución
y evaluación está a cargo de los profesores del área de Matemática, quienes se proponen
consolidar las habilidades matemáticas de los estudiantes en actividades individuales y
colaborativas a través de juegos matemáticos. Los resultados de la actividad evidencian
que los estudiantes profundizan y refuerzan los contenidos del área en general y
el desarrollo del pensamiento lógico en particular, aplican diversas estrategias en la
resolución de situaciones con distintos grados de dificultad y relacionan la matemática
con una situación generadora de sana competencia y diversión.
La acogida que tiene entre los estudiantes es impresionante: después de los juegos
deportivos es la actividad mejor valorada en las encuestas. Además, involucra la
participación de todos los integrantes de los grupos y tiene un efecto emocional
positivo, ya que se consigue estimular a los estudiantes para la resolución de ejercicios
y problemas; al mismo tiempo, se observa un ambiente donde se pone en práctica las
habilidades y conocimientos aprendidos.
A continuación, la descripción de algunos de los juegos aplicados:
EL JUEGO DE LA OCA
Materiales - Gigantografá base (25 m2 de superficie) - 4 fichas (porfiados) - un dado
(70 cm de arista) - 50 preguntas
Participantes 4 grupos de 25 alumnos cada uno
Descripción Avanzar 80 casillas cumpliendo consignas matemáticas durante el
recorrido y respondiendo las preguntas propuestas en los números establecidos.
8Este trabajo se ha elaboarado en colaboración de los profesores Melissa Denisse Castillo Medrano
(mcastillom@ci.edu.pe) Adrián Alberto Cahuana Garboza (acahuanag@ci.edu.pe) Felipe Asmad Falcón
(fasmadf@ci.edu.pe) y Vı́ctor Fernando Garro Moreno (vgarrom@ci.edu.pe).
SMP 55 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
EL CRANIUM
Materiales - Gigantografı́a base (25 m2 de superficie) - 4 fichas (porfiados) - un dado
de colores (70 cm de arista) - 50 preguntas
Participantes 4 grupos de 25 alumnos cada uno
Descripción Recorrer diversas rutas y realizar anagramas, juego de palabras, dibujos,
charadas, recolección o situaciones problemáticas, según el color que salga en el
dado.
EL LUDO
Materiales - Gigantografı́a base (25 m2 de superficie) - un dado (70 cm de arista) - 50
preguntas
Participantes 4 grupos de 25 alumnos cada uno
Descripción Cada alumno representa una ficha durante el juego, debe realizar un
circuito respondiendo preguntas.
AJEDREZ
Materiales - Gigantografı́a base (25 m2 de superficie) - un cronómetro - 32 piezas de
madera de 120 cm de altura cada una
Participantes 2 representantes de cada grupo
Descripción El tablero base sirve para hacer preguntas referente a sistema de
coordenadas. Luego, se realiza el juego de ajedrez gigante con las mismas reglas.
OTROS: rompecabezas de metal, cubos mágicos, estimaciones con soguilla, memoria
de valores, dominó de madera, rompecabezas tridimensionales, construcción de torres,
hidatos, cuadrados inteligentes, etc.
Referencias
[1] COLOMINA, R. Y ONRUBIA, J. (2001). Interacción educativa y aprendizaje
escolar: la interacción entre alumnos. Coll, C., Palacios, j. y Marchesi, a. (eds.)
Desarrollo psicológico y educación 2. Psicologı́a de la educación escolar (pp. 415–
435) Madrid: Alianza Editorial.
[2] COLOMINA, R., ONRUBIA, J. Y ROCHERA, M. J. (2001). Interactividad,
mecanismos de influencia educativa y construcción del conocimiento en el aula.
A: C. Coll, A. Marchesi i J. Palacios (eds.) Desarrollo Psicológico y Educación 2.
Psicologı́a de la Educación Escolar (pp.437–458). Madrid: Alianza Editorial.
[3] GAIRÍN, J. M. (1990). Efectos de la utilización de juegos educativos en la
enseñanza de las matemáticas. Educar, 17 105–118.
[4] GUZMÁN, M. (2005). Juegos matemáticos en la enseñanza. Martı́n, F. y
Fuentes, I. (eds.). Textos de Miguel de Guzmán, (pp. 23–60). Madrid: Fespm.
[5] KAMII, C. (1985). El niño reinventa la aritmética, implicaciones de la teorÃa de
Piaget. Madrid: Visor.
[6] KAMII, C. Y DEVRIES, R. (1980). Juegos colectivos en la primera enseñanza:
implicaciones de la teorı́a de Piaget. Madrid: Visor.
SMP 56 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Campo direccional de una EDO de primer orden,
mediante isoclinas usando GeoGebra
Vı́ctor Alcides Coaquira Cárdenas
vicoca277@hotmail.com
Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga
Ayacucho
Resumen
Resolver una ecuación diferencial ordinaria analı́ticamente puede ser difı́cil o
casi imposible. Sin embargo, existe una aproximación gráfica que permite aprender
mucho acerca de la solución de una ecuación diferencial. Se trata de uno de
los métodos para resolver varias clases de ecuaciones diferenciales de manera
gráfica mediante la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales y sus
soluciones; para metodologı́a es útil analizar las ecuaciones de la forma:
dy
= f(x, y) (∗)
dx
Cuya solución es una función y = ϕ(x). Geométricamente, en la ecuación se
afirma que, en cualquier punto (x, y) la “pendiente” dy de la solución en ese
dx
punto está dada por f(x, y). Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento
rectilı́neo que pase por el punto (x, y) con la pendiente dy . La colección de todos
dx
esos segmentos rectilı́neos se llama campo direccional de la ecuación diferencial.
El campo direccional puede observarse si se trazan pequeños segmentos rectilı́neos
en algún conjunto representativo como una rejilla rectangular de puntos. Una
vez que se obtiene un esquema del campo direccional, a menudo es posible
ver el comportamiento cualitativo de las soluciones, o quizá observar regiones
que tienen algún interés especial. Si es necesario trazar manualmente el campo
direccional de (*), es útil la interpretacion geométrica y las curvas f(x, y) = k,
denominadas curvas isoclinas. Para ecuaciones relativamente simples es posible
trazar el campo direccional dibujando unas cuantas isoclinas y luego insertar los
segmentos rectilı́neos tangentes a la solución en varios puntos de cada una. Cuando
se hace variar el parámetro k, obtenemos un conjunto de isoclinas en los elementos
lineales se constituyen adecuadamente. El campo de direcciones recuerda las
lı́neas de flujo de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial de
la cual obtenemos soluciones particulares. La motivación del presente trabajo es
mostrar la interpretación geométrica de las soluciones de una ecuación diferencial
por medio de ejemplos aplicativos usando el Software Matemático Geogebra.
Referencias
[1] R. KENT NAGLE. EDWARD B. SAFF. & ARTHUR DAVID SNIDER. Fundamentals
of Differential Equations, 8th ed Pearson Education, 2012.
[2] MARKUS HOHENWARTER & JUDITH HOHENWARTER. Documento de Ayuda de
Geogebra. (www.geogebra.org)
[3] http://.uv.mx/personal/aerrera/files/2014/04/00a/.-Isoclinas-y-campo-de-
Direcciones.pdf
[4] M. GONZALES ULLOA. http://macareo.pucp.edu.pe/mgonzal/publicaciones.htm
SMP 57 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
El principio de extensión para una ecuación de Schrödinger
no lineal
Luis E. Cóndor Surichaqui
luis mat@hotmail.com
Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Resumen
En esta presentacióna se considera la ecuación generalizada de de
Schrödinger no lineal
i∂tu(t) + µu(t) = −∂
2
xu(t) +G(u(t)), (∗)
u(0) = φ ∈ Hsper.
Con las siguientes condiciones
(i) G es una función de Hsper sobre si mismo, ∀s ∈ R, tal que
G(0) = 0.
(ii) G satisface la condición local de Lipschitz, i.e.
‖G(v)−G(w)‖s ≤ L(‖v‖s, ‖w‖s)‖v − w‖
s
s ∀v, w ∈ Hper
donde L(·, ·) es una función continua, no decreciente respecto a
cada componente y µ es una constante positiva.
Usando la teoróa de Sobolev Periódico, teorı́a de semigrupos e
inspirándonos de las ideas de [1] probamos que(*) es localmente bien
puesto. Ası́ mismo probamos que se da el principio de Extensión para
el problema no lineal (*).
aEste trabajo se ha desarrolado bajo la asesoria de la profesora Yolanda Santiago
Ayala de la Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Referencias
[1] RAFAEL JOSE IORIO, JR. Fourier Analysis and Partial Differential Equations,
Cambridge University Press, 2001.
[2] R. A. ADAMS. Sobolev Spaces, Academia Press, (1975)
[3] PAZY A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential
Equations Springer-Verlag, New York, 1983.
SMP 58 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
El teorema de Hille–Yosida y algunas aplicaciones
Fidel Cuba Balvin
fidel−server@hotmail.com
Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Resumen
El teorema de Hille–Yosidaa describe ciertas condiciones en un
operador A, sobre un espacio de Banach X , bajo las cuales se puede
encontrar un C0−semigrupo de contracciones del cual es su generador
infinitesimal. Inspirandonos en [3] podemos generalizar este resultado
para cualquier C0−Semigrupo no necesariamente de contracción. En
este proceso usamos las Aproximaciones de Yosida. Ası́, éste teorema
nos permite resolver el Problema de Cauchy Abstracto:
∥
′
∥ x = Ax,
(PCA) ∥
∥ x(0) = x0
Por este método se puede resolver por ejemplo la ecuación de la onda
[2], llevando esta ecuación a un (PCA).
aEste trabajo se ha desarrolado bajo la asesoria de la profesora Yolanda Santiago
Ayala de la Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Referencias
[1] GOLDSTEIN JEROME A. Semigroups of linear Operators and Applications ,
Oxford University Press, Inc . New York , 1985.
[2] BREZIS H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential
Equations , Springer-Verlag, New York, 2010.
[3] PAZY A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential
Equations Springer-Verlag, New York, 1983.
SMP 59 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Construcción de números y lectura de números naturales en diferentes
sistemas de numeración menores al decimal
Blademir González Parián
bladygp@gmai.com
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
Facultad de Ciencias de la Educación
Resumen
SMP 60 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Sobre una metodologia de enseñanza de la Topologı́a
Felix Leon Barboza
fleonb24@yahoo.es
Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Resumen
Historicamente hablando la topologı́a ha seguido dos lı́neas principales
de desarrollo. En homologı́a, la teorı́a de Dimensión y el estudio de
las variedades la motivacion básica proviene de la geometrı́a y en
estos campos, los espacios topológicos son vistos como configuraciones
geométricas generalizadas y el énfasis es puesto en la estructura de
los espacios mismos. En otra dirección el principal estı́mulo ha sido el
Análisis. Aqui, las funciones contı́nuas han sido los objetos principales
de interes y los espacios topológicos son considerados primariamente
como portadores de tales funciones, con dominios sobre los cuales
ellas pueden ser integradas. Estas ideas conducen naturalmente a la
teorı́a de espacios de Banach, de Hilbert, las algebras de Banach,
yla teorı́a moderna de Integracion y el Análisis Armónico Abstracto.
La enseñanaza de estos topicos requiere dirigir particular atención a
la motivación de las ideas en discusión que permitan “visualizar” el
concepto abstracto enseñado, asi como captar su significado intuitivo.
Este trabajoa formaliza estas observaciones, realizadas dirpersadamente
por algunos autores, en una metodologia de enseñanza de la Topologia,
construyendo sucesionalmente la topologia de los Espacios Métricos y
concluyendo en los Espacios Topológicos Abstractos.
aEste trabajo se ha desarrolado en colaboración con el profesor Eugenio
Cabanillas Lapa (cleugenio@yahoo.com) de la Facultad de Ciencias Matematicas-
UNMSM
Referencias
[1] FREUDENTHAL, H. Revisiting mathematics education. Dordrectht: Kluwer,
Academic Publishers, 1991
[2] GAMELIN, T. & EVERIST, R. Introduction to topology Dover Publications Inc.
1999
SMP 61 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Aplicación de la envolvente en la teorı́a de costos
Charles Edgar López Vereau
charlesvereau@gmail.com
Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Resumen
En este trabajoa analizamos la aplicación de la envolvente en la
economı́a en particular en la Teorı́a de costos. Hemos estudiado
primero el marco teórico sobre la envolvente en el plano y en el
espacio, adicionalmente, hemos estudiado las soluciones singulares
de ecuaciones diferenciales, y fue necesario estudiar problemas de
maximizar o minimizar funciones sujetas a ciertas restricciones, para
lo cual fue necesario ver todo lo relacionado a Multiplicadores de
Lagrange y por supuesto también el Teorema de la envolvente, estas
últimas comienzan su estudio a partir de lo expuestas en [3]. En lo
que respecta a la teorı́a económica hemos revisado los rudimentos de
la teorı́a de costos, tanto en el corto y largo plazo. En base a este marco
teórico hemos comenzado a experimentar en forma teórica el uso de la
envolvente al análisis de costo, para luego ver un caso real.
aEste trabajo se ha desarrolado bajo la asesoria de la profesora Yolanda Santiago
Ayala de la Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Referencias
[1] BOLTIANSKI V. La Envolvente Mir, Moscú, 1977
[2] DO CARMO M. Diffrential Geometry of curves and surfaces Prentice-Hall
International, New Jersey, 1976
[3] SYDSAETER K. & HAMMOND P. Matemáticas para el Analisis Económico
Prentice-Hall International, Hertfordshire, 1996
SMP 62 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Test para estabilidad estocástica de un sistema lineal
con saltos Markovianos
Jorge Enrique Mayta Guillermo
jorge.maytag@pucp.pe
Pontificia Universidad Católica de Perú
Resumen
En este trabajoa se estudiará la estabilidad estocástica de un sistema
lineal con saltos markovianos, donde el espacio de estado de la cadena
de markov asociada al sistema es un conjunto finito. Bueno en vista de
que es difı́cil analizar la estabilidad estocástica mediante la definición
,en este trabajo se dará un test que facilitará el análisis de la estabilidad
estocástica, el cual se podrá comprobar de manera computacional.
aEste trabajo se ha desarrolado bajo la asesoria del Dr. Richard Chavez
Fuentes de la Pontificia Universidad Católica de Perú
Referencias
[1] YUANDONG JI. CHIZECK HOWARD. Jump Linear Quadratic gaussian control:
Steady-State Solution and Testable Conditions, Control-Theory and Advanced
Technology Vol 6. No.3, (1990) pp.289-319.
[2] FENG XIANGBO. LOPARO KENNETH. & YUANDONG JI. CHIZECK HOWARD.
Stochastic Stability properties of Jump Linear Systems , IEEE Transactions on
Automatic Control Vol 37 No.1, (1992) pp.38-53.
[3] ATHREYA, KRISHNA B. Measure theory and probability theory Springer, New
York, 2010
[4] COSTA, OSWALDO LUIZ DO VALLE. Continuous-time Markov jump linear
systems Springer, New York, 2013
[5] COSTA, OSWALDO LUIZ DO VALLE. Discrete-time Markov jump linear systems
Springer, London, 2005
SMP 63 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Algunas aplicaciones de la Transformada de Laplace
en la solución de ecuaciones diferenciales referente a vigas
y a un sistema masa–resorte
Elmer Moisés Marquina Ventura
elmer.marquina@upnorte.edu.pe
Universidad Privada del Norte UPN Lima
Resumen
En este trabajo se presenta una técnica basada en la transformada de Laplace,
que se puede usar para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de
orden superior, relacionada con problemas de la fı́sica–matemática. Se dará una
presentación de diversas situaciones fśicas en que aparece el problema matemático,
los teoremas que constituyen el soporte básico de la teorı́a y la aplicación de ésta
teorı́a en la solución de un problema como el de determinar la deflexión de una
viga, y a un sistema de masa–resorte.
Referencias
[1] DENNIS G. ZILL & MICHAEL R. CULLEN Ecuaciones diferenciales. CENGAGE.
2009.
[2] O´NEIL PETER. Matemáticas avanzadas para ingenierı́a. 2008.
SMP 64 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Aplicaciones del teorema de Grobman–Hartman en la
solución de sistemas dinámicos
Juan Carlos Masgo Céspedes
carlm131@hotmail.com
Universidad Nacional de Ingenierı́a
Labosin (Laboratorio de Simulación numérica)
Resumen
En este trabajo9 se considera la propuesta de un modelo matemático para
la simulación numérica del comportamiento de la infección–tratamiento de la
enfermedad con el Virus del VIH-1, asumiendo el suministro de antirretrovirales en
un paciente infectado. Las variables del modelo, denotadas por x1(t), x2(t), x3(t),
representan la cantidad de Linfocitos T “Helpers”(CD4), cantidad de Linfocitos
T “Citotóxicos”(CD8) y “Carga Viral del paciente, el cual está bajo el proceso
de infección con el virus de VIH-1 y sometido a un control del tratamiento
en cualquier instante de tiempo t para la observación de los indicadores de
evaluación: CD4, CD8 y Carga Viral respectivamente. Las ecuaciones del modelo
es un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias No lineales, cuyo dominio
existencial es un subconjunto de los números reales positivos el cual representa el
tiempo de evaluación del proceso de Infección–Tratamiento del virus. Al conjunto
de estados xi(t), i = 1, 2, 3 se le denomina Sistema Dinámico No lineal y
está asociado a condiciones de valor inicial continuas, por lo que se define un
Problema de Cauchy. Existen pocos estudios relacionados a este tema, desde el
punto de vista matemático; y de los encontrados algunos se reducen al estudio
experimental en dos variables y otros sin la obtención de la solución explı́cita.
Con el estudio del sistema para tres variables, se contribuye al conocimiento de
un análisis cualitativo y cuantitativo de un sistema de tres variables a partir de su
linealización, construcción de diagramas de fase, análisis de estabilidad cualitativa
y la resolución numéricadel sistema no lineal cuya solución explı́cita mediante
el método de Runge Kutta de 4to orden, permite comprobar los resultados de la
equivalencia de la solución del sistema lineal y no lineal fundamentados por el
Teorema de Grobman–Hartman. La eficacia del modelo propuesto se puede ver en
los resultados de simulación del proceso Infección–Tratamiento, puesto que dicho
estudio realizado muestra la convergencia del esquema numérico y su validación
con los datos experimentales.
También haremos una aplicación de la ecuación tipo Lotka Voterre para tres
variables espaciales, en dicha ecuación se modela el comportamiento de la especies
en competencia. Veremos una metodologá del comportamiento de la solución
utilizando la existencia de puntos de equilibrio, ya que existe una equivalencia
topológica entre el Sistema No lineal y lineal alrededor de los puntos singulares
hiperbólicos por el Teorema de Grobman–Hartman. Se representan los gráficos
de tal comportamiento en cada punto del espacio utilizando como condiciones
iniciales diversos puntos cercanos al punto de equilibrio del sistema de especies
en competencia.
9Este trabajo se ha desarrollado en colaboración con la Dra Irla Mantilla Núñez
(irlamn@uni.edu.pe) de la Universidad Nacional de Ingenierı́a.
SMP 65 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Teorı́a de sextales y números primos
Rubén Darı́o Muñoz López
dariolanni7@gmail.com
Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco
Resumen
SMP 66 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Significados comunes de las medidas de tendencia central (MTC) de los
alumnos de educación basica regular y de educación superior halladas
en investigaciones nacionales e internacionales. Un contexto para la
mejora en la enseñanza–aprendizaje de las MTC.
Teresa S. Oviedo Millones
sofia.oviedo@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica de Perú
Asociación Peruana de Investigación en Educación Matemática
APINEMA.
Resumen
En este trabajo se pretende resaltar las dificultades comunes que persisten en
los alumnos peruanos y extranjeros –tanto de educación básica regular (EBR)
como de educación superior– en el tema de las medidas de tendencia central, con
el fin de persuadir a los docentes en la mejora de la enseñanza–aprendizaje de este
tema básico de la Estadı́stica Descriptiva (que permite conocer tendencias a partir
de las cuales puede inferirse el comportamiento de una variable y sirven de base
para la aplicación y el estudio de otros temas de la Estadı́stica Inferencial, que es
la parte más importante de la Estadı́stica). Se muestran los resultados comunes
de algunas investigaciones internacionales y nacionales (incluyendo resultados
de la autora) respecto a los significados de las medidas de tendencia central
obtenidos mediante el marco teórico: Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y
la Instrucción Matemática (EOS) propuesto por Godino y colaboradores (Godino
y Batanero, 1994; Godino, 2002; Godino, Batanero y Font, 2007) –que permite
describir cómo emergen los objetos matemáticos en el aula–. Se tuvo como muestra
de estudio alumnos de EBR y de educación superior de los primeros ciclos de
estudio como también docentes de EBR. Se observa en las investigaciones que,
tanto en alumnos como en los docentes, con el transcurso del tiempo, persisten las
mismas dificultades.
Referencias
[1] BATANERO, C., GODINO, J. D., VALLECILLOS, A., GREEN, D. R., & HOLMES,
P. Errors and difficulties in understanding elementary statistical concepts.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,
25(4), 527-547.
[2] BATANERO, CARMEN. ”Significado y comprensión de las medidas de posición
central.” Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas 25 (2000) 41–58.
[3] GODINO, J. D., & BATANERO, C. Significado institucional y personal de los
objetos matemáticos. Recherches en didactique des Mathématiques, 14, 325-355.
[4] GODINO, J. D., & FONT, V. Un enfoque ontosemiótico del conocimiento y
la instrucción matemática. ZDM. The International Journal on Mathematics
Education, 39, 127-135.
[5] OVIEDO MILLONES, T. Significado de la Asimetrı́a EstadÃstica en los alumnos
de EconomÃa de la UNAC. Tesis de maestrÃa, 2013, PUCP.
[6] SAYRITUPAC GUTIERREZ, J. Significados de las medidas de tendencia central:
Un estudio con alumnos de las carreras de Humanidades. Tesis de maestrı́a, 2014,
PUCP
SMP 67 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Existencia de solucioes para un problema del tipo
p−Kirchhoff con nonlinealidades
concava–convexas
Victor Pardo Rivera
vpardor@unmsm.edu.pe
Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Resumen
En este trabajoa estudiamos el problema de encontrar soluciones débiles
del sistema p−Kirchhoff
{
[ ]p−1
M(||u||p1,p) (−△pu) = |u|
p−2u+ |u|q−2u en Ω,
u = 0 en ∂Ω;
donde 1 < p < q < p∗. Aplicando el teorema del Paso de la Montaña
obtenemos nuestro resultado de existencia.
aEscrito en colaboación con los profesores Eugenio Cabanillas Lapa
(cleugenio@yahoo.com) y Fidel C. Vera Veliz (fverav@unmsm.edu.pe) de la
Facultad de Ciencias Matematicas–UNMSM
Referencias
[1] F. J. S. A CORRÊA & G. M. FIGUEREIDO On a elliptic equation of p-Kirchhoff
type via variational methods Bull. Austral. Math. Soc. 74 (2006) 263–277
[2] LIU, CHUNHAN & WANG, JIANGUO Existence and multiplicity of nontrivial
solutions to p-Kirchhoff type equation. Ann. Differential Equations 29 (2013) 423–
429.
SMP 68 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Observaciones sobre una ecuación elṕtica,
tipo Kirchhoff
Douglas A. Pomlaya Velasquez
doug26589@gmail.com
Universidad Nacional del Callao
Resumen
Este trabajo es un estudio sobre la existencia y unicidad del problema de valor
frontera elı́ptico, no local:
∫
−M( |∇ 2u| dx)∆u = f(x, u) en Ω, u = 0 en ∂Ω.
Ω
Donde Ω es un dominio acotado de NR , M es una función positiva, y f tiene
un crecimiento subcrÃtico: |f(x, u)| ≤ C(1 + |s|p) ∀x ∈ Ω ,∀s ∈ R.
Para garantizar la existencia de soluciones débiles, recurriremos a técnicas como
el método de Galerking, dándole a la ecuación condiciones necesarias para la
compatibilidad de dicho método. Se analizará también la unicidad en la solución.
Referencias
[1] KESAVAN S., Topics in Analysis and Applications. ,Tata institute of Fundamental
Research, 1988.
[2] LAWRENCE C. EVANS.,Partial Differential Equations, American Mathematical
Society, volume 19.
[3] C.O. ALVES, & A. CORRÊA, & TO FU MA., Positive Solutions for a
Quasilinear Elliptic Equation of Kirchhoff Type,International Journal Computers
and Mathematics with Applications 49 (2005) 85-93.
SMP 69 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Aplicación de la Matemática a la Sociologı́a
Mariano Martı́n Rengifo Santander
estoya.d@gmail.com
Universidad Naciona de Ingenierı́a
Resumen
Las ideas y resultados del presente trabajo han sido extraı́dos del libro [1],
en cuyo capı́tulo final la autora muestra una las posibles aplicaciones de la
teorı́a de conjuntos a la sociologı́a. En ese sentido, el problema planteado por
sociólogos y economistas es el siguiente: Se tiene un conjunto S llamado de
“alternativas” cuyos elementos son factibles de ser ordenados por n individuos
según sus preferencias. Por ejemplo, S puede ser un conjunto de candidatos
a una elección o un conjunto de posibles medidas a tomar frente a un hecho
determinado. Cada individuo introduce un “orden individual” sobre S, pero como
los individuos constituyen una comunidad o sociedad, se busca un orden para
esas alternativas, llamado “orden social”, que represente el orden de la comunidad
o sociedad. Es necesario encontrar una única representación del “orden social”,
el cual se espera que dependa de la totalidad de los “ordenes individuales”. Lo
que se busca es entonces una función, llamada “función social”, que asigne a
“n ordenes individuales” un único “orden social” de la comunidad. Cuando la
“función social” es de modo que se adapte en la mejor forma posible a los ordenes
individuales se está hablando de una “función de bienestar social”. En algunos
casos, por ejemplo, en paı́ses ocupados o colonias, hay sistemas de elección
social prefijados de antemano que establecen la misma relación entre ciertos pares
de alternativas sin importar las preferencias individuales, en este caso no existe
libertad de elegir entre las alternativas; o cuando un paı́s está gobernado por un
dictador, éste impondrá sus preferencias y solo en caso que un par de alternativas
le sea indifenrente dejará la elección en manos del resto de miembros de su
comunidad, en este caso no hay igualdad de elección entre los individuos. Para
que haya bienestar social se deberı́a evitar estas anomalı́as; es decir, no debe
haber imposición, esto es, debe haber libertad de elegir entre cualquier par de
alternativas; y no debe haber un dictador, esto es, la preferencia de cada individuo
de la comunidad vale igual que la de cualquier otro. Cuando las alternativas son dos
se demuestra que la decisión por mayorı́a es un sistema de elección de bienestar
social. Cabe preguntarse qué sucede cuando hay más de dos alternativas, en este
caso se demuestra que ninguna función social puede ser de bienestar social y por
lo tanto no existe sistema de elección de bienestar social.
Referencias
[1] OUBIÑA LIA Introducción a la teorı́a de conjuntos cuarta edición, Editorial
Universitaria de Buenos Aires, Argentina, 1969
[2] ROJO A. Álgebra decimoctava edición , vol. I, El Ateneo, Argentina, 2001
SMP 70 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Familias normales y grupos discontinuos
Jimmy Rainer Tamara Albino
jimmy.tamara@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica de Perú
Resumen
La noción de Familia Normal fue introducida en 1907 por Paul Montel.
Este concepto fue desarrollado por él, transformándose en la teorı́a de Familias
Normales. Una aplicación de esta teorı́a es: que todo grupo discontinuo Γ es
discreto, donde Γ es un grupo de transformaciones de Moebius. Sin embargo la
parte recı́proca no se cumple necesariamente ya que el grupo Picard P es discreto
y no discontinuo. Es ası́ que podemos preguntarnos ¿Qué condición se requiere
para que todo grupo discreto Γ sea discontinuo?, es allı́ donde interviene la teorı́a
de las familias normales.
Referencias
[1] SCHIFF, JOEL L. Normal Families, Ed. Springer-Verlag, New York, 1993.
[2] CAMACHO C. Tópicos de una Variable Compleja , Monografia del IMCA, 1997.
[3] LINS NETO, A. Funções de uma variável complexa. Rio de Janeiro, IMPA 1993
[4] TAMARA, J. Familias Normales y Grupos Discontinuos. Tesis PUCP Mg. 2013.
http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/handle/123456789/5047
SMP 71 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
El teorema de Lumer–Phillips para C0-semigrupos
de dos parámetros.
Piere Rodriguez Valerio
piere.cancer.1993@gmail.com
Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Resumen
El teorema de Lumer-Phillipsa nos da una caracterización del generador
infinitesimal de un C0-Semigrupo de contracciones. Usando la teorı́a
de operadores disipativos y algunos resultados de [2] probamos que un
operador A, definido en un subconjunto de un espacio de Banach X ,
es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones, si y
solamente si, A es m-disipativo y densamente definido. Ası́ también,
inspirándonos en [3] y [1] probamos que el teorema de Lumer-
Phillips se puede extender para C0-Semigrupo de contracciones de
dos parámetros. Es decir, caracterizaremos el generador de un C0-
Semigrupo de contracciones de dos parámetros.
aEste trabajo se ha desarrolado bajo la asesoria de la profesora Yolanda Santiago
Ayala de la Facultad de Ciencias Matematicas-UNMSM
Referencias
[1] AXLER S. and RIBET K. A Short Course on Operator Semigroups Springer-
Verlag, New York, 2000.
[2] BREZIS H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential
Equations Springer-Verlag, New York, 2010.
[3] PAZY A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential
Equations Springer-Verlag, New York, 1983.
SMP 72 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Problema de valor inicial para un sistema dispersivo
no lineal de ondas largas regularizado
David A. Sumire QQuenta
dsumire@upeu.edu.pe
Universidad Peruana Unión
Facultad de Ingenierı́a y Arquitectura
Resumen
Consideremos una familia de ecuaciones dispersivas bajo el efecto de
disipación:

(1− µ∂2)∂ 3 3 p p
 x tu+ ∂xu+ α∂xv + u ∂xu+ v ∂xv = 0,

(1− µ∂2)∂ v + α∂3u+ ∂3v + vpx t x x ∂
p
xv + ∂x(uv ) = 0,
(∗)
 u(0) = ϕ,


v(0) = ψ;
donde µ > 0 y |α| < 1 son constantes reales, u = u(x, t) y v = v(x, t) son
funciones con valores reales para x ∈ R, t ≥ 0 y p ≥ 1 es un número entero.
Nuestro propósito es estudiar varias propiedades de las soluciones reales u =
u(x, t) y v = v(x, t) del problema de valores iniciales (*) en el espacio de Sobolev
del tipo Hs( sR)×H (R), cuya norma es dada por
|| || = ||( )|| = (|| ||2 2
1
U Hs u, v Hs u s + ||v||s) 2 .
Se espera demostrar que (*) está bien formulado, localmente. Para esto usaremos
el teorema del punto fijo de Banach, construyendo la ecuacion integral asociada al
sistema y mostraremos que tal solución es única. Además se demostrará la buena
formulación global para T = ∞ por medio de estimativas a priori.
Referencias
[1] YUANDONG JI. CHIZECK HOWARD. Jump Linear Quadratic gaussian control:
Steady-State Solution and Testable Conditions, Control-Theory and Advanced
Technology Vol 6. No.3, (1990) pp.289-319.
[2] FENG XIANGBO. LOPARO KENNETH. & YUANDONG JI. CHIZECK HOWARD.
Stochastic Stability properties of Jump Linear Systems , IEEE Transactions on
Automatic Control Vol 37 No.1, (1992) pp.38-53.
[3] ATHREYA, KRISHNA B. Measure theory and probability theory Springer, New
York, 2010
[4] COSTA, OSWALDO LUIZ DO VALLE. Continuous-time Markov jump linear
systems Springer, New York, 2013
[5] COSTA, OSWALDO LUIZ DO VALLE. Discrete-time Markov jump linear systems
Springer, London, 2005
SMP 73 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Una alternativa para la evaluación de la resolución de
problemas de matemática
Marı́a Elena Villanueva Pinedo
villanuepi@lamolina.edu.pe
Universidad Nacional Agraria La Molina
Resumen
Este trabajo surge de la necesidad de iniciar un proceso de innovación de
la evaluación de los aprendizajes en los cursos de matemática e incorporar
recursos objetivos para una evaluación eficaz. Se realizó una actividad de
resolución de problemas en grupo en el curso de Cálculo Diferencial con
estudiantes de carreras relacionadas con el agro que tienen diferentes habilidades
y conocimientos, con la finalidad de que afiancen sus avances y aprendan unos
de otros. Al finalizar la actividad los estudiantes presentaron la resolución de un
problema, por grupo y escrito, en la cual se debı́an manifestar las cuatro etapas
para resolver problemas sugeridas por Pólya (1945): entender el problema, crear
un plan, llevar a cabo el plan y revisar e interpretar el resultado. Para evaluar
este trabajo se diseñó una Rúbrica o Matriz de Valoración, cuyos criterios o
indicadores son estas etapas. Una Rúbrica tiene los siguientes componentes:
una sección de criterios en donde se desglosan los aprendizajes con los que se
evalÃoa el desempeño esperado, otra sección que mide los niveles de desempeño
que puede alcanzar un estudiante y por último una sección de descriptores que
contienen las especificaciones de lo que se va a medir, en este caso otorgando
una valoración. Posteriormente, con los resultados obtenidos, se realizará la
evaluación del instrumento (especı́ficamente, se comparan los puntajes obtenidos
sin el uso del instrumento y con el uso del instrumento) a través de técnicas
estadı́sticas, con el objetivo de determinar si se obtienen mejores calificaciones
y calificaciones homogéneas utilizando esta herramienta. En caso se corroboren
estas caracterı́sticas, se recomendará la utilización de este instrumento en otras
partes del curso que requieren de la resolución de problemas.
Referencias
[1] BOLOGNA, E. (2011) Estadı́stica para psicologı́a y educación. Editorial Brujas,
Córdoba, 2011.
[2] DELGADO, J. (2000) Didáctica de las Matemáticas. UPC, Lima, 2000.
[3] EDUCARCHILE (2014) Instrumentos de Evaluación: RÃobricas. Recurso Web.
URL: http://www.educarchile.cl/. Consultado en octubre de 2014.
[4] PÓLYA, G. (1945) How to Solve It. Princeton Press, Princeton, 1945.
[5] RUÉ, J. (2009) El Aprendizaje Autónomo en Educación Superior. Narcea S.A.,
Madrid, 2009.
[6] TORRES, P. (2003) Estrategias de Resolución de Problemas. UPC, Lima, 2003.
SMP 74 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO POSTER PUCP
Teorı́a de Morse en superficies
Guillermo Jesús Zela Quispe
guillezela@hotmail.com
Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga
Ayacucho
Resumen
La Teorı́a de Morse estudia la relación entre la función escalar y la topologı́a
de su dominio. Una función escalar f : M → R aplica puntos de la variedad M
cuyo recorrido es real. Restringimos nuestra atención cuando M es una superficie
cerrada. Las superficies son fáciles de visualizar, y todos los puntos esenciales de
la teorı́a aparecen rápidamente en el caso de superficies.
Referencias
[1] MATSUMOTO YUKIO An Introduction to Morse Theory, Iwanami Serie In Modern
Mathematics, v. 208, Editorial Board, Providence,Rhode Island, 2002
[2] MILNOR JHON Morse Theory, Annals of Mathematics Studies, Number 51,
Princeton University Press, Princeton,New Jersey, 1973
SMP 75 Lima Perú, 2014
Cursos
XXXII COLOQUIO PUCP
Árboles Aleatorios
Johel Beltrán Ramı́rez
johel.beltran@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
Un árbol es una clase particular de grafo. En este curso estaremos interesados
en árboles ordenados, donde cada vértice pertenece a una generación y cada
generación tiene un orden definido. Produciremos árboles ordenados aleatorios
usando el proceso de Galton–Watson y discutiremos sobre la probabilidad de
extinción de este proceso, es decir la probabilidad de que estos árboles sean finitos.
SMP 77 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Una introducción a las Singularidades Aisladas
Ruben Burga
rrubenb@yahoo.es
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
Resumen
Este mini-curso presenta una introducción a las singularidades aisladas
de tipo intersección completa. Desarrollamos herramientas que nos permiten
demostrar algunas propiedades básicas de las singularidades aisladas. En el caso
de una hipersuperficie mostramos que la singularidad aislada esta caracterizada
localmente por la altura de su ideal jacobiano. Estudiamos el caso de intersección
completa. Presentamos una generalización del complejo Koszul, y estudiamos su
cohomologı́a.
SMP 78 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Una breve introducción de Teorı́a de la Medida para
Profesores de Educación Primaria y Secundaria
César Carránza
ccarran@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
El propósito de este cursoa será introducir el concepto de medida de
subconjuntos en el plano llamadas también figuras elementales del
plano, teniendo en cuenta la definición y propiedades de la medida o
longitud de los intervalos de la recta R, llamados también segmentos.
Se define la longitud de un intervalo o segmento J = {a, b} de la
recta, con extremos a y b tales que a ≤ b como m(J) = b − a,
lo que implica que: m(J) ≥ 0 y que m(J) es finitamente aditiva; es
decir, si J1 ∩ J2 = ∅ o tiene comunes los extremos, entonces m(J) =
m(J1) + m(J2). De manera análoga queremos “medir”, en primer
lugar, subconjuntos del plano acotados por polı́gonos: triángulos,
cuadriláteros (cuadrados, rectángulos), y en general, cualquier polı́gono
de cinco o mas lados, pentágonos, hexágonos, etc.; llamados regiones
poligonales. En lo sucesivo, en lugar de decir, la medida en el
plano, llamada históricamente “área”de una región poligonal, diremos
simplemente la medida o área de un polı́gono.
aEste curso se desarrollará en colaboración con Alex Molina Sotomayor
(amolina@pucp.edu.pe) de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Referencias
[1] CARRANZA, C. & CARDOSO, R. & MOLINA, A. & NECIOSUP, H. Tópicos de
matemática para formadores de profesores de educación primaria, Lima, PUCP-
ANC-IANAS, 2008.
[2] CARRANZA, C. TeorÃa de la Medida (Homenaje a Mischa Cotlar), Lima, PUCP,
2011.
SMP 79 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Matemática financiera en la escuela secundaria para la formación de
ciudadanos responsables
Freddy Chuquisana Mora
fchuquisana@pucp.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
Este curso está dirigido a profesores de matemática de educación
secundaria de formación inicial y permanente. Tiene por objetivo
proporcionar algunas herramientas de matemática financiera que los
ayude en su labor docente, en la formación de ciudadanos responsables,
conscientes de sus consumos y habituados al ahorro. Se toma como
referencia la implementación del programa piloto realizada en el curso
de Números, Relaciones y Funciones (de la Maestrı́a en Enseñanza
de la Matemáticas con mención en Educación Secundaria), dirigido a
profesores de secundaria becados por el PRONABECa. La metodologı́a
a desarrollar en este minicurso consiste en la presentación de sesiones
de clase que parten de problemas contextualizados y que siguen una
secuencia inductiva, para que en algunos casos emerja un objeto
matemático y en otros se apliquen conceptos. Además, en todas las
sesiones se reservarán espacios para la reflexión de los participantes,
la cual despierte el pensamiento crı́tico que los ayude en la formación
de valores ciudadanos en sus alumnos. Se plantean problemas de la
vida cotidiana, relacionados con préstamos, ahorros, compras al crédito
y planes de pagos. Este curso está pensado en el uso doméstico
de las herramientas que brinda la matemática financiera, útiles para
cualquier ciudadano. Aun cuando los planes curriculares, en nuestro
paı́s, incluyen temas de matemática financiera en la escuela secundaria,
estos no están siendo implementados en la mayorı́a de instituciones
educativas. Muchos docentes de matemática no han estudiado temas
de matemática financiera en su formación inicial o continua. Además,
los textos utilizados en secundaria, desarrollan los temas de interés
simple y compuesto de manera tradicional: parten de la fórmula, que
luego le sirve para su aplicación directa en ejercicios rutinarios y no
contextualizados, donde no hay lugar para el desarrollo del pensamiento
crı́tico de los estudiantes.
aEsta implementación forma parte del proyecto de tesis de maestrı́a “Matemática
financiera en la escuela secundaria, para la inclusión y la alfabetización financieras. Una
propuesta para la formación de profesores”. presentada bajo la asesoria de la Dra. Norma
Rubio (nrubio@pucp.edu.pe) de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Referencias
[1] OECD. Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012: Competencia Financiera,
España, 2013.
[2] SKOVSMOSE, O. Towards a philosophy of critical mathematics education, Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht, 1994.
[3] VALERA, R.& SILIPÚ B. Matemática Financiera: Conceptos, problemas y
aplicaciones, 5ta Edición, Universidad de Piura, 2012.
SMP 80 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Funciones de Matrices
Judith Cruz Torres
haydect@gmail.com
Universidad Nacional de San Agustı́n
Universidad Católica San Pablo
Resumen
Inicialmente recordaremos los conceptos básicos de autovalores, autovectores,
polinomio caracterı́stico, radio espectral de una matriz. Desde que las matrices
diagonales poseen la forma más simple, nos preguntamos si cualquier matriz
cuadrada es similar a una matriz diagonal. Respondiendo a esta interrogante,
estableceremos el Teorema de Schur, y como aplicación veremos el cálculo
de funciones de matrices racionales. También estudiaremos la Forma Canónica
de Jordan de una matriz y sus aplicaciones en el desarrollo de funciones de
matrices no diagonalizables, lo cual nos llevará a ver una introducción de métodos
numéricos para el cálculo de autovalores de una matriz: potencia, potencia
inversa, algoritmo de iteración QR, algoritmo de iteración QR truncada, cálculo
de autovalores via métodos tipo Newton.
Referencias
[1] CARL D. MEYER. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM. 2001
http://www.matrixanalysis.com/
[2] T. POLITI AND M. POPOLIZIO. Schur Decomposition Methods for the
Computation of Rational Matrix Functions. Computational Science - ICCS 2006:
6th International Conference, Reading, UK, May 2006, Proceedings, Part IV.
Springer
[3] L.H. BEZERRA. Cálculo de Autovalores via Métodos tipo Newton. Departamento
de Matemática, UFSC, 88040-900 Florianópolis, SC, Brasil. TEMA Tend. Mat.
Apl. Comput., 5, No. 1 (2004), 37–47.
SMP 81 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Una breve introducción a las variedades de Kähler
Jaime Cuadros
jcuadros@pucp.edu.pe
Pontificia Universiad Catolica del Perú
Resumen
Sesión 1 Geometrı́a compleja y hermitiana: Variedades complejas,
el fibrado tangente complexiificado. Formas campos
vectoriales holomorfas. Descomposición del fibrado exterior
complexificado. El tensor de Nijenhuis. Objetos holomorfos
en variedades complejas.
Sesión 2 Fibrados holomorfos, estructuras holomorfas, el fibrado
canónico del espacio proyectivo complejo CPn. Fibrados
hermitianos. Estructuras hermitianas y conexiones.
Sesión 3 Métricas de Kähler. Caracterización de las métricas de
Kähler. Comparación entre la conexión Levi–Civita y la
conexión de Chern. El tensor curvatura de la métrica de
Kähler. Expresión local del tensor curvatura en variedades
de Kähler. La métrica Fubini–Study en el espacio proyectivo
complejo.
SMP 82 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Geometrı́a Proyectiva
Percy Fernandez
pefernan@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
En este curso se abordará los puntos mas básicos de la Geometrı́a Proyectiva.
Comenzaremos con los espacios afines y proyectivos, luego introduciremos
algunas herramientas para su estudio como la razón dupla, proyecciones y
dualidad. Los principales objetos de estudios serán las curvas algebraicas, y ellas se
presentará el Teorema de Bezout. Finalmente estudiaremos las cónicas y cubicas.
SMP 83 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Las asintotas y sus enigmas con Mathematica
Mariano Gonzalez
mgonzal@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
La noción de ası́ntota está ligada a la definición de lı́mite, lo cual
no hace posible que se introduzca el concepto de ası́ntota con cierta
rigurosidad en los programas de Matemáticas de nivel secundario. Al
considerar solamente la función exponencial y, en algunos casos, la
función f(x) = 1 se menciona ası́ntotas horizontales y/o verticales,
x
mas no oblicuas. Por este motivo, la noción que tienen los alumnos
sobre ası́ntota, al finalizar sus estudios secundarios, es que se trata de
una recta que nunca corta a una curva y que puede ser horizontal o
vertical. Según el diccionario de la Real Academia Española (RAE) [3]
ası́ntota es:
“Lı́nea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a
una curva, sin llegar nunca a encontrarla. ”
lo cual hace pensar que una ası́ntota no puede intersecar a la curva.
En este cursoa se desarrolla una introducción intuitiva de ası́ntota,
aprovechando las ventajas de cálculo y gráficas que nos ofrece el
software Mathematica. Se mostrará distintos casos de ası́ntota, de
manera que se aclare aquella “mala”interpretación que se tiene sobre
las ası́totas. Luego dar la definición formal de ası́ntota.
aEste curso se desarrolla en colaboaración con Iris Flores
(iris.flores@pucp.edu.pe) y Nancy Saravia (nsaraviam@pucp.edu.pe).
Referencias
[1] SWOKOWSKI, EARL W. Cálculo con Geometrı́a Analı́tica. Grupo Editorial
Iberoamérica. Cuarta edición. México, 1998.
[2] WOLFRAM Mathematica 10. V.10.0.0 (2014).
[3] http://lema.rae.es/drae/?val=as %C3 %ADntota. Visitada 20-10-2014.
[4] LEITHOLD, L. El Cálculo. Oxford University Press. Séptima edici´on, 1998.
SMP 84 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Tópicos de convexidad abstracta
Abelardo Jordan
ajordan@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
Una versión geométrica del Teorema de Hahn–Banach conduce a la
representación de una función convexa semicontinua inferior como un función
que es el supremo puntual de una familia de funciones lineales afines continuas,
éstas últimas se llaman generadoras de dicha función. Dualmente cada conjunto
convexo cerrado resulta ser intersección de una familia de semiespacios cerrados.
Sobre estos temas se ha desarrollado ampliamente la teorı́a de optimización. En
el presente curso se va a desarrollar un esquema similar, con la diferencia que
las funciones generadoras no son necesariamente lineales afines y se tomarán
otros conjuntos apropiados que sustituyan a los conjuntos convexos cerrados; esta
teorı́a es la que se conoce como Convexidad Abstracta. El esquema de trabajo se
desarrollará fundamentalmente bajo una estructura cónica dentro de un espacio
finito dimensional. Al terminar el curso se presentarán algunas aplicaciones de la
convexidad abstracta.
SMP 85 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Introducción a la Transformada de Fourier
Alejandro Ortiz Fernandez
jortiz@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
la transformada de Fourier es de vital importancia tanto en la matemática pura
como en la aplicada; en particular en el análisis armónico ella es usada de un modo
fundamental. El objetivo es dar una visión de la transformada de Fourier en L1 y
L2 y en el espacio S de las funciones rápidamente decrecientes. Podrı́a servir de
un prerequisito para un futuro minicurso sobre integrales singulares .
Lectura 1 Motivación. Series de Fourier. Transformada de Fourier en L1; el
teorema de Riemann–Lebesgue. Convolución de funciones.
Lectura 2 La transformada de Fourier en L2. La identidad de Parseval. Teorema
de Plancherel. Transformada de Fourier en Lp
Lectura 3 El espacio S de funciones rápidamente decrecientes. Transformada de
Fourier en S. Topologı́a en S.
SMP 86 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Espacios de Recubrimiento
Alfredo Poirier
apoirie@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
La teorı́a de espacios de recubrimiento sirve para tender un puente entre
espacios que no son simplemente conexos y aquellos que si lo son. Si bien no
presentaremos pruebas completas las cuales son conocidas y aparencen en fuentes
acequibles (como por ejemplo [1]) ,en desquite desarrollaremos una amplia gama
de aplicaciones y ejemplos. Los temas a tratar incluyen lo siguiente: Vecindades
distinguidas, recubrimientos, base y fibra; levantamientos, lema fundamental de
levantamiento de curvas; recubrimiento universal, recubrimientos intermedios.
Levantamiento de endomorfimos al recubriento universal; transformaciones de
cubierta, grupos de cubierta, transitividad de las fibras en el recubrimiento
universal. Ejemplos en el análisis complejo: superfı́cies elı́pticas, parabólicas e
hiperbólicas.
Referencias
[1] MUNKRES, JAMES R, Topology: a first course. Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N.J., 1975.
SMP 87 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
¿Las funciones sólo son cartesianos?
Cerapio Quintanilla
quintanilla cn@hotmail.com
Universidad Nacional de Huancavelica,
Departamento Académico de Ciencias y Humanidades
Resumen
El objetivo del trabajo10es mostrar las concepciones sobre el concepto de función
en sus diferentes acepciones durante el desarrollo de clases en matemáticas. Porque
la conceptualización se concibe desde la perspectiva cartesiana, mas no ası́ en las
diferentes presentaciones. Se presume a la fuerte presencia de un marco cartesiano
en las clases de matemáticas. Para [2, p. 1], el “concepto de función es uno de
los conceptos fundamentales en matemáticas, y aparece en la primaria, secundaria y
universidad”; y, que estudiantes universitarios que han tomado un número de cursos
de matemáticas aún no tienen una comprensión adecuada del concepto de función [3].
Por otro lado, el término concepción se usa a fin de establecer una distinción entre
el objeto matemático que es único y las diversas representaciones que se asigna a
dicho objeto. Según [1, p. 24] la noción de concepción responde a dos necesidades
diferentes. En primer lugar, mostrar los diferentes puntos de vista de un mismo objeto
matemático, sus representaciones y modos de tratamiento; y dejar en evidencia cuales
son las adaptaciones adecuadas que sufre cuando se resuelve un problema. Y en
segundo lugar, permite diferenciar la ilusión de transparencia de la comunicación
didáctica en el saber que la enseñanza desea transmitir y los conocimientos construidos.
En tal sentido, consideramos de importancia el tema de funciones en los procesos
de aprendizaje de las matemáticas, por lo que se requiere diseñar situaciones que
equilibren los diferentes acercamientos teóricos y metodológicos. La investigación
comenzó con el análisis teórico del concepto de función, denominado por [4] análisis
epistemológico del concepto, ası́ como las definiciones en los libros de texto de
matemática; porque el concepto de función juega un papel importante en el currı́culo
matemático. Tı́picamente la definición de función en matemáticas es un par ordenado,
cuya correspondencia asocia a cada elemento de x a un único elemento de y [5, p.
745]. El trabajo fue con estudiantes en formación de profesorado en la especialidad
de Matemática–Fı́sica; se ha desarrollado diversas situaciones sobre el concepto de
función a través de la teorı́a APOS. Finalmente, se presentó una serie de situaciones
que permiten concebir el concepto de función; cuyo resultado muestra evidencia de una
fuerte presencia cartesiana en la concepción de función. Como ejemplo presentamos
la situación {2n > n2 + 3n : n ∈ [1, 2, 3, . . . , 20]}, que [3] manifiestan que
una sucesión por sı́ misma no representa una función; pero, si se realizan ciertas
operaciones, sı́. Porque se asignan valores enteros de acuerdo a la condición, dando
valores al primer término, segundo término y ası́ sucesivamente, y hacer corresponder
el conjunto de partida con el conjunto de llegada En la situación, el dominio es el valor
de n considerado desde 1 hasta 20 y el rango es el resultado de evaluar 2n > n2 + 3n.
10Este trabajo se desarrolla en colaboaración con la Dra. Cecilia Gaita (cgaita@pucp.edu.pe) de la
Pontificia Universidad Católica del Perú.
SMP 88 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
valores de n n 2
2 >n +3n decisión
n=1 xxxxxxx 2>4 falso
n=2 xxxxxxx 4>10 falso
n=3
xxxxxxxx 8>18 falso
F
n=4 xxxxxxx 16>28 falso
n=5 xxxxxxx 32>40 falso
V
n=6 xxxxxxx 64>54 verdadero
xxxxxxxx verdadero
n=7 128>70
... .xxxxxxx .. ..
.
xxxxxxx verdadero
n=20 1048576>460
Referencias
[1] M. ARTIGUE, Epistemologı́a y didáctica, Recherches en didactique des
mathèmatiques 10, no. 2-3 (1990), 1–40.
[2] HATICE AKKOÇ & DAVID TALL, The Function Concept: Comprehension and
Complication, BSRLM Proceedings: Vol 23 No 1 April (2003) 1–6
[3] D. BREIDENBACH, E. DUBINSKY, J. HAWKS, AND D. NICHOLS, Development
of the process conception of function, Educ. Stud. Math., 23, no. 3 (1992), 247–
285.
[4] DUBINSKY, ED, AND GUERSHON HAREL. The Nature of the Process Conception
of Function. In The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy,
edited by Guershon Harel and Ed Dubinsky, pp. 85–106. Washington, D.C.:
Mathematical Association of America, 1992.
[5] L. L. CLEMENT, What Do Students Really Know about Functions?, Mathematics
Teacher 94, 9 (2001), 745–748.
SMP 89 Lima Perú, 2014
DOMINIO
RANGO
1 2 3 4 5 6 ... 20
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Elementos Finitos
Roy W. Sanchez
rwsanche@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
Los elementos finitos son una herramienta matemática que brinda la
posibilidad de aproximar problemas no lineales con dominios geométricos
complicados. Las computadoras y los métodos numéricos ofrecen una alternativa
para muchos problemas no lineales representados mediante las ecuaciones en
derivadas parciales. En el presente curso 11se abordarán los métodos variacionales
en la ecuación de Stokes y en las ecuaciones elı́pticas. En los laboratorios se
implementaran los programas correspondientes usando el programa de Matlab.
CONTENIDO Y CRONOGRAMA El curso se desarrollará en dos dias, cuatro horas
por dı́a, dos horas para la teorı́a (en las mañanas) y dos horas para los laboratorios
(en las tardes).
Tema 1 Método de Galerkin. Método de Elementos Finitos para problemas
elı́pticos.
Tema 2 Método de Elementos Finitos para el problema de Stokes.
Los laboratorios se han programado con la finalidad de aplicar los conceptos
teóricos.
Laboratorio 1 Introducción a Matlab y resolución de la ecuación de Stokes.
Laboratorio 1 Resolución de los problemas elı́pticos.
METODOLOGÍA Se entregará a cada participante los materiales elaborados para el
curso, programas en Matlab que se usarán en los talleres. Además, contarán con la
ayuda de los colaboradores en el desarrollo de los talleres del laboratorio.
Referencias
[1] BRAESS, DIETRICH, Finite Elements. Theory, Fast Solvers, and Applications in
Solid Mechanics. Cambridge University Press, Third edition, New York, USA 2007
[2] RICHARD L. BURDEN, J. DOUGLAS FAIRES & ANNETTE M. BURDEN
Numerical analysis. Cengage Learning; 10 edition. USA 2015, x+896
[3] CARDONA-FACHINOTTI, Introducción al Método de Elementos Finitos.
Argentina, 2014.
[4] KRESS, R., Linear Integral Equations, Springer, New York, Third Edition, 2014.
11Este trabajo se desarrolla en colaboaración con Dandy Rueda, Galia Tantarico Minchola,
Marco Solorzano, Daniel Sanchez Ruiz, David Sanchez Ruiz, Juan Mogollon
Aparicio, Carlos Mendoza Taboada, Jorge Salazar Marocho,Marhori Vilca
Alvares y Alex Renjifo Salazar.
SMP 90 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO CURSO PUCP
Olimpiadas Matemáticas en el Perú:
progresos y reflexiones
Jorge Tipe Villanueva
jorgetipe@gmail.com
Resumen
Esta presentación se llevara a cabo en colaboración con John
Cuya Barrios.
⋄ ⋄ ⋄
Doble Conteo
Juan Neyra Faustino
juan.neyra@gmail.com
Resumen
Una técnica muy importante para resolver algunos problemas
relacionados con conteo es el “doble conteo”. Muchas
identidades pueden ser demostradas utilizando esta técnica.
Veremos algunos problemas de olimpiadas internacionales
que se pueden resolver con este método, ası́ como también
un problema de la ONEM (Olimpiada Nacional Escolar de
Matemática) de este año.
SMP 91 Lima Perú, 2014
XXXII COLOQUIO TALLER ECBI PUCP
La Contaminación del Agua y los seres vivos
César Carránza
ccarran@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Catolica del Perú
Resumen
En los últimos años, muchos estudios han puesto de manifiesto una
alarmante disminución del interés de los jóvenes y niños en el estudio
de las ciencias básicas: Biologı́a, Fı́sica, Quı́mica y Matemáticas. Es
ası́ que el proyecto Enseñanza de las Ciencias Basado en la Indagación
(ECBI) de la Academia Nacional de Ciencias del Perú (ANC), propone
revertir esta situación a través del uso y la diseminación del método de
la indagación. Este método busca superar uno de los problemas más
frecuentes en la enseñanza tradicional de las ciencias en el aula: la
exposición de los alumnos a la teorı́a dejando de lado el fundamento
del quehacer cientı́fico, la investigación. Este proceso ha demostrado
ser eficaz en el aumento del interés y logros de los escolares en los
temas de ciencias, al mismo tiempo que incrementa la motivación de
los docentes que imparten estas materias. Es ası́ que el grupo ECBI–
Perúa desarrollará la actividad “La contaminación del agua y los seres
vivos”. Tema que permitirá exponer los lineamientos básicos de la
metodologı́a ECBI y las cuatro fases del ciclo de aprendizaje en el
proceso de indagación cientı́fica: focalización, exploración, reflexión,
aplicación, ası́ también, como generar conciencia sobre los problemas
medio ambientales que vienen afectando a nuestro planeta.
aÉsta actividad educativa en el Coloquio de Matemática es parte del proyecto
Enseñanza de las Ciencias Basado en la Indagación (ECBI) de la Academia
Nacional de Ciencias del Perú (ANC), [1] y se desarrollará en colaboración con
Hernán Neciosup (hneciosup@pucp.pe), Maria Elena Gonzalez Romero
(marelgonzalezr@gmail.com) y Rosa Cardoso Paredes (rcardoso@pucp.pe).
Referencias
[1] CARRANZA, C. Programa de Educación en Ciencias Basado en la Indagación,
Lima, Academia Nacional de Ciencias – Perú, 2004.
SMP 92 Lima Perú, 2014