VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP-UVA 2013 Francisco Ugarte Guerra, editor De esta edición: © Vicerrectorado de Investigación (VRI), Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, 2014 Avenida Universitaria 1801, Lima 32, Perú Teléfono (51 1) 626 2650 feditor@pucp.edu.pe www.fondoeditorial.pucp.edu.pe Diseño de interiores: FranciscoUgarte Guerra / Janet Yucra Núñez Diseño de cubierta: Francisco Ugarte Guerra / DCI-PUCP Primera edición: octubre de 2014 Tiraje: 500 ejemplares Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2014-16314 ISBN: 978-612-317-056-1 Registro del Proyecto Editorial: 31501361401068 Impreso en Tarea Asociación Gráfica Educativa Pasaje María Auxiliadora 156, Lima 5, Perú 11 Introducción a la teoŕıa de los Stacks Introducción a la teoŕıa de los Stacks J.M. Aroca 1. Introducción Un sistema de ecuaciones algebraicas: f1(x1, ..., xn) = .... = fr(x1, ..., xn) = 0, fi(x1, ..., xn) ∈ k[x1, ..., xn] define por una parte una k- algebra finitamente generada A = k[x1, ..., xn]/I, I = (f1, .., fr)k[x1, ..., xn] y por otra las soluciones del sistema, es decir el conjunto de puntos del espacio af́ın kn en el que se anulan todas las funciones. Cada uno de estos puntos P = (a1, ...an) ∈ kn define por substitución un homomorfis- mo de k -algebras: eP : A → k, eP (f(x1, ..., xn) + I) = f(a1, ..., an) y rećıprocamente, de modo que hay correspondencia biuńıvoca entre soluciones en kn del sistema y Homk(A, k). Si tomamos una extensión de k, L, la propiedad se mantiene y las soluciones con valores en L del sistema se corresponden biuńıvocamente con Homk(A,L) y lo mismo sucede si tomamos, en lugar de una extensión, una k- algebra cualquiera. La geometŕıa de Grothendieck substituye las variedades algebraicas por esquemas, en los cuales los puntos son ideales primos, con lo que la idea geométrica se pierde. La tendencia post-Grothendieck es substituir los esquemas por sus familias de conjuntos de puntos en el sentido anterior. Aśı tenemos en lugar de la variedad algebraica clásica o el esquema, una correspondencia que asocia a cada k-álgebra un conjunto de puntos y a cada homomorfismo de k-algebras una aplicación, esto es lo que se llama un funtor. Ahora debemos preguntarnos: ¿Cómo se trabaja con estos funtores?. ¿ Son estos fun- tores más generales que las variedades?. ¿Cuándo un funtor representa una variedad? ¿Tiene alguna ventaja trabajar con este tipo de objetos? etc. De esto nos vamos a ocupar a continuación en un contexto muy general. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 11 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 11 28/10/2014 11:38:40 a.m. 12 J.M. Aroca En todo el texto, y al hablar de categoŕıa, trabajaremos solo con conjuntos para obviar las dificultades añadidas por las diferencias entre clases y conjuntos, que no son esenciales para comprender los objetos que queremos describir. 2. Algo de lenguaje de categoŕıas Una categoŕıa C es: Un conjunto Ob(C) a cuyos elementos llamaremos objetos. Para cada par de objetos A,B, un conjunto HomC(A,B) a cuyos elementos llama- remos morfismos. Escribiremos indistintamente f ∈ HomC(A,B) y f : A → B y llamaremos a A y B dominio y rango de f respectivamente. Una composición de morfismos: HomC(A,B)×HomC(B,C) → HomC(A,C), (f, g) �→ gf. Si existe la composición de f y g, es decir, si el rango de f coincide con el dominio de g se dice que son componibles. La composición debe verificar las propiedades usuales: • asociativa: ∃gf, hg ⇒ (hg)f = h(gf) • Para cada objeto A, ∃1A : A → A de modo que f : A → B ⇒ f1A = 1Bf = f . Una categoŕıa D, es una subcategoŕıa de otra C si y solo si: Ob(D) ⊂ Ob(D). ∀A,B ∈ Ob(D), HomD(A,B) ⊂ HomC(A,B). Las composiciones de morfismos coinciden. En una categoŕıa un isomorfismo es un morfismo con inverso, es decir f : X → Y es un isomorfismo si y solo si: ∃g : Y → X, gf = 1X , fg = 1Y . 12 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Ejemplo 1. 1. Los conjuntos y las aplicaciones, los grupos y los homomorfismos de grupos, los es- pacios topológicos y las aplicaciones continuas, etc. son ejemplos de categoŕıas, a las que representaremos como ((Sets)), ((Gr)), ((Top)), etc.. La categoŕıa de gru- pos abelianos, es una subcategoŕıa de la de grupos, la de conjuntos finitos es una subcategoŕıa de la de conjuntos etc. 2. Si G es un grupo llamaremos G-conjunto a todo conjunto con una acción de G, es decir a un par (X, p) donde X es un conjunto y p : X ×G → X, p(x, g) = xg una aplicación tal que: (xg)h = x(gh) xeG = x (eG es la unidad de G). La acción de un grupo G sobre un conjunto E se dice simple si: ∀x ∈ E, ρx : G → E, ρx(g) = xg es inyectiva y se dice transitiva si: ∀x, y ∈ E, ∃g ∈ G, xg = y, y se dice trivial si ∀x ∈ E, ∀g ∈ G, xg = x. Un G- morfismo o morfismo equivariante entre dos G-conjuntos es una aplicación que conmuta con la acción φ : X → Y, φ(xg) = φ(x)g La órbita de un elemento x ∈ X de un G-conjunto es el subconjunto: Ox = {xg | g ∈ G}. Y el conjunto de órbitas se llama conjunto cociente por la acción de G y se representa por X/G. Los G-conjuntos y G-morfismos forman una categoŕıa ((G − Sets)). Como cada conjunto se puede dotar de la acción trivial y toda aplicación es equivariante para la acción trivial, la categoŕıa ((Sets)) es una subcategoŕıa de la ((G− Sets)). VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 13 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 12 28/10/2014 11:38:40 a.m. 13 J.M. Aroca En todo el texto, y al hablar de categoŕıa, trabajaremos solo con conjuntos para obviar las dificultades añadidas por las diferencias entre clases y conjuntos, que no son esenciales para comprender los objetos que queremos describir. 2. Algo de lenguaje de categoŕıas Una categoŕıa C es: Un conjunto Ob(C) a cuyos elementos llamaremos objetos. Para cada par de objetos A,B, un conjunto HomC(A,B) a cuyos elementos llama- remos morfismos. Escribiremos indistintamente f ∈ HomC(A,B) y f : A → B y llamaremos a A y B dominio y rango de f respectivamente. Una composición de morfismos: HomC(A,B)×HomC(B,C) → HomC(A,C), (f, g) �→ gf. Si existe la composición de f y g, es decir, si el rango de f coincide con el dominio de g se dice que son componibles. La composición debe verificar las propiedades usuales: • asociativa: ∃gf, hg ⇒ (hg)f = h(gf) • Para cada objeto A, ∃1A : A → A de modo que f : A → B ⇒ f1A = 1Bf = f . Una categoŕıa D, es una subcategoŕıa de otra C si y solo si: Ob(D) ⊂ Ob(D). ∀A,B ∈ Ob(D), HomD(A,B) ⊂ HomC(A,B). Las composiciones de morfismos coinciden. En una categoŕıa un isomorfismo es un morfismo con inverso, es decir f : X → Y es un isomorfismo si y solo si: ∃g : Y → X, gf = 1X , fg = 1Y . 12 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Ejemplo 1. 1. Los conjuntos y las aplicaciones, los grupos y los homomorfismos de grupos, los es- pacios topológicos y las aplicaciones continuas, etc. son ejemplos de categoŕıas, a las que representaremos como ((Sets)), ((Gr)), ((Top)), etc.. La categoŕıa de gru- pos abelianos, es una subcategoŕıa de la de grupos, la de conjuntos finitos es una subcategoŕıa de la de conjuntos etc. 2. Si G es un grupo llamaremos G-conjunto a todo conjunto con una acción de G, es decir a un par (X, p) donde X es un conjunto y p : X ×G → X, p(x, g) = xg una aplicación tal que: (xg)h = x(gh) xeG = x (eG es la unidad de G). La acción de un grupo G sobre un conjunto E se dice simple si: ∀x ∈ E, ρx : G → E, ρx(g) = xg es inyectiva y se dice transitiva si: ∀x, y ∈ E, ∃g ∈ G, xg = y, y se dice trivial si ∀x ∈ E, ∀g ∈ G, xg = x. Un G- morfismo o morfismo equivariante entre dos G-conjuntos es una aplicación que conmuta con la acción φ : X → Y, φ(xg) = φ(x)g La órbita de un elemento x ∈ X de un G-conjunto es el subconjunto: Ox = {xg | g ∈ G}. Y el conjunto de órbitas se llama conjunto cociente por la acción de G y se representa por X/G. Los G-conjuntos y G-morfismos forman una categoŕıa ((G − Sets)). Como cada conjunto se puede dotar de la acción trivial y toda aplicación es equivariante para la acción trivial, la categoŕıa ((Sets)) es una subcategoŕıa de la ((G− Sets)). VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 13 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 13 28/10/2014 11:38:41 a.m. 14 J.M. Aroca 3. Si S es un objetos de una categoŕıa C podemos construir una nueva categoŕıa, la categoŕıa relativa a S, C/S como sigue: Ob(C/S) = ∪ X∈Ob(C) HomC(X,S) ∀f : X → S, g : Y → S, HomC/S(f, g) = {h ∈ HomC(X,Y ) | f = gh} X Y S h f g La composición de morfismos es la de C. 4. Si X es un espacio topológico se puede construir una categoŕıa TX cuyos objetos son los abiertos de X y HomTX (U, V ) esta formado solo por la inclusión si U ⊂ V y es el vaćıo en caso contrario. Dadas dos categoŕıas C y D se llama funtor de la primera en la segunda, a: Una aplicación F : Ob(C) → Ob(D). Para todo par de objetos de C, A,B, una de las dos opciones siguientes: • Una aplicación F : HomC(A,B) → HomD(F (A), F (B)) tal que: F (1A) = 1F (A), F (gf) = F (g)F (f) • Una aplicación F : HomC(A,B) → HomD(F (B), F (A)) tal que: F (1A) = 1F (A), F (gf) = F (f)F (g). En el primer caso el funtor se llama covariante y en el segundo contravariante. Obviamente la composición de funtores es un funtor y la identidad también, de modo que tiene sentido hablar de la categoŕıa ((Cat)) cuyos objetos son las categoŕıas y cuyos morfismos son los funtores. Ejemplo 2. 1. Si C es una categoŕıa y T es un objeto, podemos asociar a T dos funtores de C en la categoria de conjuntos ((Sets)). 14 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks hT (−) definido por: hT (S) = HomC(T, S), ∀f : S → U, ∀φ ∈ hT (S), hT (f)(φ) = fφ ∈ hT (U). T (−) definido por: T (S) = HomC(S, T ), ∀f : S → U, ∀φ ∈ T (U), T (f)(φ) = φf ∈ T (S). El primero es covariante y el segundo contravariante. 2. Si X e Y son espacios topológicos y f : X → Y es una aplicación continua, tenemos un funtor: f : TY → TX , f(V ) = f−1(V ). 3. Si X es un espacio topológico, todo funtor contravariante P de TX en una categoŕıa C, se llama un prehaz sobre X con valores en C. Si U ⊂ V son abiertos de X, el morfismo P(V ) → P(U) se llama restricción de V a U . Si X e Y son espacios topológicos podemos asociar a cada abierto U de X el conjunto de aplicaciones continuas de U en Y , tomando como restricción la restricción usual de funciones tenemos un prehaz CY . Este prehaz verifica la propiedad siguiente: Dado un recubrimiento abierto {Ui}i∈I de un abierto U , y dadas funciones continuas {fi : Ui → Y }i∈I tales que: fi|Ui∩Uj = fj |Ui∩Uj , ∀i, j ∈ I entonces: ∃f : U → Y, continua única tal que : f |Ui = fi, ∀i ∈ I entonces se dice que este prehaz es un haz. (La propiedad anterior se enuncia tri- vialmente para todos los prehaces de conjuntos con una estructura). Obviamente y para un objeto T fijo T (−) es un prehaz de conjuntos, pero en general no es un haz. Si ((BMet)) es la categoŕıa de espacios métricos y aplicaciones conti- nuas acotadas, los Un = (1/n, 1), n ∈ N forman un recubrimiento abierto de (0, 1), y las funciones reales fn : Un → R, fn(x) = 1/x cumplen la condición de haz y no definen una función acotada sobre (0, 1). 4. Si P es un prehaz sobre un espacio X y f : X → Y es una aplicación continua, podemos definir un prehaz sobre Y , llamado imagen directa de P por f , por: ∀V ∈ TY , f∗(P)(V ) = P(f−1(V )). VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 15 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 14 28/10/2014 11:38:41 a.m. 15 J.M. Aroca 3. Si S es un objetos de una categoŕıa C podemos construir una nueva categoŕıa, la categoŕıa relativa a S, C/S como sigue: Ob(C/S) = ∪ X∈Ob(C) HomC(X,S) ∀f : X → S, g : Y → S, HomC/S(f, g) = {h ∈ HomC(X,Y ) | f = gh} X Y S h f g La composición de morfismos es la de C. 4. Si X es un espacio topológico se puede construir una categoŕıa TX cuyos objetos son los abiertos de X y HomTX (U, V ) esta formado solo por la inclusión si U ⊂ V y es el vaćıo en caso contrario. Dadas dos categoŕıas C y D se llama funtor de la primera en la segunda, a: Una aplicación F : Ob(C) → Ob(D). Para todo par de objetos de C, A,B, una de las dos opciones siguientes: • Una aplicación F : HomC(A,B) → HomD(F (A), F (B)) tal que: F (1A) = 1F (A), F (gf) = F (g)F (f) • Una aplicación F : HomC(A,B) → HomD(F (B), F (A)) tal que: F (1A) = 1F (A), F (gf) = F (f)F (g). En el primer caso el funtor se llama covariante y en el segundo contravariante. Obviamente la composición de funtores es un funtor y la identidad también, de modo que tiene sentido hablar de la categoŕıa ((Cat)) cuyos objetos son las categoŕıas y cuyos morfismos son los funtores. Ejemplo 2. 1. Si C es una categoŕıa y T es un objeto, podemos asociar a T dos funtores de C en la categoria de conjuntos ((Sets)). 14 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks hT (−) definido por: hT (S) = HomC(T, S), ∀f : S → U, ∀φ ∈ hT (S), hT (f)(φ) = fφ ∈ hT (U). T (−) definido por: T (S) = HomC(S, T ), ∀f : S → U, ∀φ ∈ T (U), T (f)(φ) = φf ∈ T (S). El primero es covariante y el segundo contravariante. 2. Si X e Y son espacios topológicos y f : X → Y es una aplicación continua, tenemos un funtor: f : TY → TX , f(V ) = f−1(V ). 3. Si X es un espacio topológico, todo funtor contravariante P de TX en una categoŕıa C, se llama un prehaz sobre X con valores en C. Si U ⊂ V son abiertos de X, el morfismo P(V ) → P(U) se llama restricción de V a U . Si X e Y son espacios topológicos podemos asociar a cada abierto U de X el conjunto de aplicaciones continuas de U en Y , tomando como restricción la restricción usual de funciones tenemos un prehaz CY . Este prehaz verifica la propiedad siguiente: Dado un recubrimiento abierto {Ui}i∈I de un abierto U , y dadas funciones continuas {fi : Ui → Y }i∈I tales que: fi|Ui∩Uj = fj |Ui∩Uj , ∀i, j ∈ I entonces: ∃f : U → Y, continua única tal que : f |Ui = fi, ∀i ∈ I entonces se dice que este prehaz es un haz. (La propiedad anterior se enuncia tri- vialmente para todos los prehaces de conjuntos con una estructura). Obviamente y para un objeto T fijo T (−) es un prehaz de conjuntos, pero en general no es un haz. Si ((BMet)) es la categoŕıa de espacios métricos y aplicaciones conti- nuas acotadas, los Un = (1/n, 1), n ∈ N forman un recubrimiento abierto de (0, 1), y las funciones reales fn : Un → R, fn(x) = 1/x cumplen la condición de haz y no definen una función acotada sobre (0, 1). 4. Si P es un prehaz sobre un espacio X y f : X → Y es una aplicación continua, podemos definir un prehaz sobre Y , llamado imagen directa de P por f , por: ∀V ∈ TY , f∗(P)(V ) = P(f−1(V )). VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 15 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 15 28/10/2014 11:38:42 a.m. 16 J.M. Aroca Claramente f∗(P) = Pf . 5. Si f : S → T es un morfismo de una categoŕıa C se puede construir un funtor (Imagen directa) f∗ : C/S → C/T por: f∗(g : X → S) = (fg) : X → T f∗ es la identidad sobre los morfismos. Como consecuencia obtenemos un funtor R : C → ((Cat)) asociando a cada objeto S la categoŕıa C/S y a cada morfismo f el funtor f∗. 6. La correspondencia que asocia a cada grupo, anillo, espacio topológico, etc., el con- junto subyacente a su estructura y a cada homomorfismo etc. la aplicación subyacente es un funtor covariante que se llama funtor de olvido. 7. Si ρ : G → H es un homomorfismo de grupos, todo H-conjunto X se puede dotar de estructura de G-conjunto por: ∀x ∈ X, g ∈ G, xg = xρ(g). Todo H- morfismo es también un G- morfismo, tenemos aśı un funtor: ρ∗ : ((H − Sets)) → ((G− Sets)). También las correspondencias que asocian: A cada grupo G la categoŕıa de los G-conjuntos ((G− Sets)). A cada homomorfismo ρ : G → H, el funtor ρ∗ : ((H − Sets)) → ((G− Sets)), definen un funtor de la categoŕıa de grupos en la de categoŕıas. 8. Las correspondencias: X �→ X/G, f �→ fO, fO(Ox) = Of(x), definen un funtor: ((G− Sets)) → ((Sets)). 16 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Dados dos funtores F,G : C → D (ambos covariantes o ambos contravariantes) se llama una transformación natural de F en G a una familia de morfismos NX : F (X) → G(X), ∀X ∈ Ob(C). Tales que: Caso covariante. ∀f : X → Y,NY F (f) = G(f)NX F (X) G(X) F (Y ) G(Y ) NX F (f) G(f) NY Caso contravariante. ∀f : X → Y,NXF (f) = G(f)NY F (Y ) G(Y ) F (X) G(X) NY F (f) G(f) NX La composición de transformaciones naturales es una transformación natural y la identidad también, por tanto dadas dos categoŕıas, tomando como objetos los funtores entre ellas y como morfismos las transformaciones naturales tenemos una categoŕıa, los isomorfismos en esa categoŕıa, es decir, las transformaciones naturales con inversa se llaman isomorfismos naturales. Ejemplo 3. 1. Todo morfismo g : X → Y induce transformaciones naturales: ∀S ∈ Ob(C), hS(g) : X(S) → Y (S), hS(g)(f) = gf ∀S ∈ Ob(C), S(g) : hY (S) → hX(S), S(g)(f) = fg 2. Toda aplicación continua f : X → Z induce una transformación natural (morfismo de haces): F : CZ → f∗(CX), FU ; CZ(U) → f∗(CX)(U) = CX(f−1(U)), FU (g) = gf. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 17 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 16 28/10/2014 11:38:42 a.m. 17 J.M. Aroca Claramente f∗(P) = Pf . 5. Si f : S → T es un morfismo de una categoŕıa C se puede construir un funtor (Imagen directa) f∗ : C/S → C/T por: f∗(g : X → S) = (fg) : X → T f∗ es la identidad sobre los morfismos. Como consecuencia obtenemos un funtor R : C → ((Cat)) asociando a cada objeto S la categoŕıa C/S y a cada morfismo f el funtor f∗. 6. La correspondencia que asocia a cada grupo, anillo, espacio topológico, etc., el con- junto subyacente a su estructura y a cada homomorfismo etc. la aplicación subyacente es un funtor covariante que se llama funtor de olvido. 7. Si ρ : G → H es un homomorfismo de grupos, todo H-conjunto X se puede dotar de estructura de G-conjunto por: ∀x ∈ X, g ∈ G, xg = xρ(g). Todo H- morfismo es también un G- morfismo, tenemos aśı un funtor: ρ∗ : ((H − Sets)) → ((G− Sets)). También las correspondencias que asocian: A cada grupo G la categoŕıa de los G-conjuntos ((G− Sets)). A cada homomorfismo ρ : G → H, el funtor ρ∗ : ((H − Sets)) → ((G− Sets)), definen un funtor de la categoŕıa de grupos en la de categoŕıas. 8. Las correspondencias: X �→ X/G, f �→ fO, fO(Ox) = Of(x), definen un funtor: ((G− Sets)) → ((Sets)). 16 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Dados dos funtores F,G : C → D (ambos covariantes o ambos contravariantes) se llama una transformación natural de F en G a una familia de morfismos NX : F (X) → G(X), ∀X ∈ Ob(C). Tales que: Caso covariante. ∀f : X → Y,NY F (f) = G(f)NX F (X) G(X) F (Y ) G(Y ) NX F (f) G(f) NY Caso contravariante. ∀f : X → Y,NXF (f) = G(f)NY F (Y ) G(Y ) F (X) G(X) NY F (f) G(f) NX La composición de transformaciones naturales es una transformación natural y la identidad también, por tanto dadas dos categoŕıas, tomando como objetos los funtores entre ellas y como morfismos las transformaciones naturales tenemos una categoŕıa, los isomorfismos en esa categoŕıa, es decir, las transformaciones naturales con inversa se llaman isomorfismos naturales. Ejemplo 3. 1. Todo morfismo g : X → Y induce transformaciones naturales: ∀S ∈ Ob(C), hS(g) : X(S) → Y (S), hS(g)(f) = gf ∀S ∈ Ob(C), S(g) : hY (S) → hX(S), S(g)(f) = fg 2. Toda aplicación continua f : X → Z induce una transformación natural (morfismo de haces): F : CZ → f∗(CX), FU ; CZ(U) → f∗(CX)(U) = CX(f−1(U)), FU (g) = gf. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 17 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 17 28/10/2014 11:38:43 a.m. 18 J.M. Aroca Dos categoŕıas C, D se dicen isomorfas si existen funtores: F : C → D, G : D → C tales que: F.G = 1D, G.F = 1C Dos categoŕıas C, D se dicen equivalentes si existen funtores: F : C → D, G : D → C e isomorfismos naturales α : F.G → 1D, β : G.F → 1C. Cualquiera de los dos funtores F, G se llama, en este caso, una equivalencia de categoŕıas. Es un ejercicio fácil probar que: un funtor F : C → D es una equivalencia de categoŕıas si y solo si es fiel, completo y esencialmente suprayectivo, es decir si y solo si para todo par de objetos X,Y de C, F : HomC(X,Y ) → HomD(F (X), F (Y )) es biuńıvoca y para todo objeto Z de D existe un objeto X de C tal que F (X) es isomorfo a Z. Ejemplo 4. La categoŕıa de K- espacios vectoriales de dimensión finita. es equivalente a la categoŕıa cuyos objetos son los espacios Kn y los morfismos de Kn en Km las matrices m× n con entradas en K. 3. Funtores representables Como hemos señalado a cada objeto X de una categoŕıa C se le puede asociar el funtor contravariante (funtor de puntos): X(−) : C → ((Sets)), X(S) = HomC(S,X). El objeto X queda uńıvocamente determinado salvo isomorfismos por el funtor X(−) HomC(X,Y ), se corresponde biuńıvocamente con las transformaciones naturales de X(−) en Y (−) Un functor contravariante F : C → ((Sets)) se dice representable si existe X ∈ C tal que F ≃ X(−) Si un functor es representable su representante es único salvo isomorfismos. Si no es representable cabe la posibilidad de construir una categoŕıa más amplia que C en la que lo sea. Se puede hacer la misma construcción con los funtores covariantes hX(−). 18 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Si X representa F , el elemento a de F (X) correspondiente a la identidad 1X ∈ HomC(X,X) ≃ F (X) se llama aplicación universal, de la definición se sigue que el par (X, a), a ∈ F (X) queda uńıvocamente caracterizado, salvo isomorfismos, por la propiedad: ∀S ∈ Ob(C), ∀b ∈ F (S), ∃β : S → X único | F (β)(a) = b. Ejemplo 5. 1. En la categoŕıa de espacios vectoriales sobre un cuerpo: Dados dos espacios V y W el funtor Bihom(V ×W,−) que asocia a cada espacio T las aplicaciones bilineales de V ×W en T es covariante y representable, su representante es V ⊗ W y la aplicación universal a : V ×W → V ⊗ W, a(v, w) = v ⊗ w, es decir, el producto tensorial queda caracterizado; porque para toda aplicación bilineal F : V × W → T existe un único homomorfismo f : V ⊗ W → T tal que F = fa. 2. Dada una familia de objetos de C, {Ci}i∈I si el funtor F : C → ((Sets)) F (T ) = ∏ i∈I HomC(T,Ci) es representable, su representante se llama producto de la familia, y se escribe como∏ i∈I Ci. La aplicación universal es la familia de proyecciones: a = (πj)j∈I , πj : ∏ i∈I Ci → Cj de modo que para cada objeto de C y cada familia de morfismos b = (bi : T → Ci)i∈I existe un único morfismo β : T → ∏ i∈I Ci tal que: b = F (a) ⇔ bj = πjβ ∀j ∈ I. Es interesante observar que ∏ i∈I Ci no esta bien definido, ya que el objeto descrito en la definición está determinado salvo isomorfismo, lo que sabemos es que entre cada dos determinaciones del objeto hay un isomorfismo único con la propiedad de conmutar con las proyecciones. 3. Si en la categoŕıa C/S existe el producto de un par de objetos f : X → S, g : Y → S, este producto se llama producto fibrado deX e Y sobre S y se representa porX×SY . X ×S Y queda uńıvocamente caracterizado, salvo isomorfismos, por las propiedades siguientes: VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 19 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 18 28/10/2014 11:38:44 a.m. 19 J.M. Aroca Dos categoŕıas C, D se dicen isomorfas si existen funtores: F : C → D, G : D → C tales que: F.G = 1D, G.F = 1C Dos categoŕıas C, D se dicen equivalentes si existen funtores: F : C → D, G : D → C e isomorfismos naturales α : F.G → 1D, β : G.F → 1C. Cualquiera de los dos funtores F, G se llama, en este caso, una equivalencia de categoŕıas. Es un ejercicio fácil probar que: un funtor F : C → D es una equivalencia de categoŕıas si y solo si es fiel, completo y esencialmente suprayectivo, es decir si y solo si para todo par de objetos X,Y de C, F : HomC(X,Y ) → HomD(F (X), F (Y )) es biuńıvoca y para todo objeto Z de D existe un objeto X de C tal que F (X) es isomorfo a Z. Ejemplo 4. La categoŕıa de K- espacios vectoriales de dimensión finita. es equivalente a la categoŕıa cuyos objetos son los espacios Kn y los morfismos de Kn en Km las matrices m× n con entradas en K. 3. Funtores representables Como hemos señalado a cada objeto X de una categoŕıa C se le puede asociar el funtor contravariante (funtor de puntos): X(−) : C → ((Sets)), X(S) = HomC(S,X). El objeto X queda uńıvocamente determinado salvo isomorfismos por el funtor X(−) HomC(X,Y ), se corresponde biuńıvocamente con las transformaciones naturales de X(−) en Y (−) Un functor contravariante F : C → ((Sets)) se dice representable si existe X ∈ C tal que F ≃ X(−) Si un functor es representable su representante es único salvo isomorfismos. Si no es representable cabe la posibilidad de construir una categoŕıa más amplia que C en la que lo sea. Se puede hacer la misma construcción con los funtores covariantes hX(−). 18 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Si X representa F , el elemento a de F (X) correspondiente a la identidad 1X ∈ HomC(X,X) ≃ F (X) se llama aplicación universal, de la definición se sigue que el par (X, a), a ∈ F (X) queda uńıvocamente caracterizado, salvo isomorfismos, por la propiedad: ∀S ∈ Ob(C), ∀b ∈ F (S), ∃β : S → X único | F (β)(a) = b. Ejemplo 5. 1. En la categoŕıa de espacios vectoriales sobre un cuerpo: Dados dos espacios V y W el funtor Bihom(V ×W,−) que asocia a cada espacio T las aplicaciones bilineales de V ×W en T es covariante y representable, su representante es V ⊗ W y la aplicación universal a : V ×W → V ⊗ W, a(v, w) = v ⊗ w, es decir, el producto tensorial queda caracterizado; porque para toda aplicación bilineal F : V × W → T existe un único homomorfismo f : V ⊗ W → T tal que F = fa. 2. Dada una familia de objetos de C, {Ci}i∈I si el funtor F : C → ((Sets)) F (T ) = ∏ i∈I HomC(T,Ci) es representable, su representante se llama producto de la familia, y se escribe como∏ i∈I Ci. La aplicación universal es la familia de proyecciones: a = (πj)j∈I , πj : ∏ i∈I Ci → Cj de modo que para cada objeto de C y cada familia de morfismos b = (bi : T → Ci)i∈I existe un único morfismo β : T → ∏ i∈I Ci tal que: b = F (a) ⇔ bj = πjβ ∀j ∈ I. Es interesante observar que ∏ i∈I Ci no esta bien definido, ya que el objeto descrito en la definición está determinado salvo isomorfismo, lo que sabemos es que entre cada dos determinaciones del objeto hay un isomorfismo único con la propiedad de conmutar con las proyecciones. 3. Si en la categoŕıa C/S existe el producto de un par de objetos f : X → S, g : Y → S, este producto se llama producto fibrado deX e Y sobre S y se representa porX×SY . X ×S Y queda uńıvocamente caracterizado, salvo isomorfismos, por las propiedades siguientes: VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 19 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 19 28/10/2014 11:38:44 a.m. 20 J.M. Aroca Existen morfismos π1 : X ×S Y → X, π2 : X ×S Y → Y , tales que fπ1 = gπ2. Para cada par de morfismos β1 : T → X, β2 : T → Y , tales que fβ1 = gβ2 existe un único morfismo β = β1 ×S β2 : T → X ×S Y tal que π1β = β1, π2β = β2 T X ×S Y X Y S β1β β2 π1 π2 f g Como hemos dicho en el ejemplo anterior el producto fibrado, si existe, no está uńıvo- camente determinado. De la caracterización anterior está claro también que es fun- torial en las dos variables módulo isomorfismos. A veces se puede dar un criterio que permite elegir un producto fibrado para cada par de objetos, por ejemplo: si C es una categoŕıa de conjuntos con una estructura, se puede elegir un producto fibrado de f : X → S, g : Y → S dado por: X ×S Y = {(x, y) ∈ X × Y f(x) = g(y)}. En particular, si X e Y son subconjuntos de S su producto fibrado es X ∩ Y . En el primer caso el producto fibrado no define en cada variable un funtor (esa es una de las razones de la definición de 2-funtor) pero si lo define en el caso particular de la intersección. 4. Dado un morfismo f : S → T podemos construir para cada objeto de C/T, (X → T ) su (Imagen rećıproca) f∗(X → T ) por: f∗(X → T ) = (π2 : X ×T S → S) Dado un morfismo g en C/T de α : X → T a β : Y → T , f∗(g) = π2 ×T gπ1 : X ×T S → Y ×T S y la imagen rećıproca está determinada, salvo isomorfismos, por tanto al contrario que la imagen directa, no es un funtor a menos que, como sucede en la mayoŕıa de las categoŕıas, podamos elegir de modo canónico un representante del producto fibrado. 20 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks 5. Dada una familia de objetos de C, {Ci}i∈I si el funtor F : C → ((Sets)) F (T ) = ∏ i∈I HomC(Ci, T ) es representable, su representante se llama coproducto de la familia y se escribe como⨿ i∈I Ci. La aplicación universal es la familia de secciones: q = (qj)j∈I , qj : Cj → ⨿ i∈I Ci de modo que para cada objeto de C y cada familia de morfismos b = (bi : Ci → T )i∈I existe un único morfismo β : ⨿ i∈I Ci → T tal que: b = F (q) ⇔ bj = βqj , ∀j ∈ I. Del mismo modo que en el ejemplo anterior se define el coproducto fibrado como el coproducto en la categoŕıa relativa C/S. El coproducto de una familia de conjuntos es su unión disjunta, el de una familia de espacios topológicos, su suma topológica. El coproducto fibrado de subconjuntos, es su unión. En general se pueden leer mas fácilmente las propiedades de un objeto en el funtor de puntos al que representa que en el objeto mismo: Ejemplo 6. 1. En geometŕıa algebraica se asocia a cada anillo A un espacio topológico, su espectro: Spec(A) = {p | p ideal primo de A} dotado de la topoloǵıa (topoloǵıa de Zariski) con base de abiertos: ZA = {D(f)}f∈A, D(f) = {p ∈ Spec(A) | f /∈ p} Las correspondencias: A �→ Spec(A) (f : A → B) �→ f−1 : Spec(B) → Spec(A) VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 21 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 20 28/10/2014 11:38:45 a.m. 21 J.M. Aroca Existen morfismos π1 : X ×S Y → X, π2 : X ×S Y → Y , tales que fπ1 = gπ2. Para cada par de morfismos β1 : T → X, β2 : T → Y , tales que fβ1 = gβ2 existe un único morfismo β = β1 ×S β2 : T → X ×S Y tal que π1β = β1, π2β = β2 T X ×S Y X Y S β1β β2 π1 π2 f g Como hemos dicho en el ejemplo anterior el producto fibrado, si existe, no está uńıvo- camente determinado. De la caracterización anterior está claro también que es fun- torial en las dos variables módulo isomorfismos. A veces se puede dar un criterio que permite elegir un producto fibrado para cada par de objetos, por ejemplo: si C es una categoŕıa de conjuntos con una estructura, se puede elegir un producto fibrado de f : X → S, g : Y → S dado por: X ×S Y = {(x, y) ∈ X × Y f(x) = g(y)}. En particular, si X e Y son subconjuntos de S su producto fibrado es X ∩ Y . En el primer caso el producto fibrado no define en cada variable un funtor (esa es una de las razones de la definición de 2-funtor) pero si lo define en el caso particular de la intersección. 4. Dado un morfismo f : S → T podemos construir para cada objeto de C/T, (X → T ) su (Imagen rećıproca) f∗(X → T ) por: f∗(X → T ) = (π2 : X ×T S → S) Dado un morfismo g en C/T de α : X → T a β : Y → T , f∗(g) = π2 ×T gπ1 : X ×T S → Y ×T S y la imagen rećıproca está determinada, salvo isomorfismos, por tanto al contrario que la imagen directa, no es un funtor a menos que, como sucede en la mayoŕıa de las categoŕıas, podamos elegir de modo canónico un representante del producto fibrado. 20 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks 5. Dada una familia de objetos de C, {Ci}i∈I si el funtor F : C → ((Sets)) F (T ) = ∏ i∈I HomC(Ci, T ) es representable, su representante se llama coproducto de la familia y se escribe como⨿ i∈I Ci. La aplicación universal es la familia de secciones: q = (qj)j∈I , qj : Cj → ⨿ i∈I Ci de modo que para cada objeto de C y cada familia de morfismos b = (bi : Ci → T )i∈I existe un único morfismo β : ⨿ i∈I Ci → T tal que: b = F (q) ⇔ bj = βqj , ∀j ∈ I. Del mismo modo que en el ejemplo anterior se define el coproducto fibrado como el coproducto en la categoŕıa relativa C/S. El coproducto de una familia de conjuntos es su unión disjunta, el de una familia de espacios topológicos, su suma topológica. El coproducto fibrado de subconjuntos, es su unión. En general se pueden leer mas fácilmente las propiedades de un objeto en el funtor de puntos al que representa que en el objeto mismo: Ejemplo 6. 1. En geometŕıa algebraica se asocia a cada anillo A un espacio topológico, su espectro: Spec(A) = {p | p ideal primo de A} dotado de la topoloǵıa (topoloǵıa de Zariski) con base de abiertos: ZA = {D(f)}f∈A, D(f) = {p ∈ Spec(A) | f /∈ p} Las correspondencias: A �→ Spec(A) (f : A → B) �→ f−1 : Spec(B) → Spec(A) VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 21 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 21 28/10/2014 11:38:45 a.m. 22 J.M. Aroca definen un funtor contravariante de la categoŕıa de anillos (conmutativos y homo- morfismos unitarios) en la de espacios topológicos. Podemos definir un prehaz sobre Spec(A) asignando a cada abierto de la base D(f), el anillo de fracciones: Af = { a fn | a ∈ A, n ∈ N } , a este prehaz se le asocia un haz, �A por medio de una construcción que no detalla- remos, y el par (Spec(A), �A) se llama un esquema af́ın. La categoŕıa de esquemas afines es isomorfa a la categoŕıa de anillos. El grupo lineal es el esquema af́ın: GLn = Spec (Z[(xi,j), t]/(det(xi,j)t− 1)) en el que no se aprecia la estructura de grupo. En cambio para un anillo A: GLn(Spec(A)) = HomSpec(Z)(Spec(A), GLn) = = Hom(Z[(xi,j), t]/(det(xi,j)t− 1), A) = GLn(A) Ya que los homomorfismos de anillos de Z[(xi,j), t]/(det(xi,j)t− 1) en A, se obtienen dando valores a las (xi,j) y a t que anulen a det(xi,j)t− 1, es decir, se corresponden con las matrices n× n de elementos de A con determinante inversible. 2. La definición formal de esquema en grupos, grupo algebraico, grupo anaĺıtico, grupo de Lie etc. sigue siempre el siguiente proceso: Se parte de una categoŕıa G con productos finitos y un objeto cero U , es decir un objeto tal que ∀S ∈ Ob(G), HomG(U, S) = {0}, HomG(S,U) = {e}. Entonces, una estructura de grupo en un objeto G de esa categoŕıa es una terna de morfismos: µ : G×G → G e : U → G p : G → G correspondientes al producto, unidad e inverso, que verifican las propiedades usuales: 22 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Asociativa: El diagrama: G×G×G G×G G×G G µ×1G 1G×µ µ µ es conmutativo Elemento neutro: Los diagramas: G U ×G G G×G 0×1G 1G e×1G µ G G× U G G×G 1G×0 1G 1G×e µ son conmutativos Inverso:Los diagramas: G G×G G G×G 1G×1G e0 p×1G µ G G×G G G×G 1G×1G e0 1G×p µ son conmutativos. Esta definición significa que para cada objeto T el conjunto HomG(T,G) con la operación: (f.g) = µ(f, g), (f, g) : T → G×G, π1.(f, g) = f, π2.(f, g) = g, es un grupo. Independientemente de que a veces, si los objetos de la categoŕıa son conjuntos, la definición signifique que en el objeto correspondiente se ha definido una estructura de grupo. 3. La acción de un grupo de G sobre un objeto X, se define como un morfismo: σ : G×X −→ X con las propiedades usuales (presentadas en forma de diagrama como en el ejemplo anterior) y significa que para todo objeto T de G, el grupo HomG(T,G) actúa sobre el conjunto HomG(T,X). VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 23 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 22 28/10/2014 11:38:46 a.m. 23 J.M. Aroca definen un funtor contravariante de la categoŕıa de anillos (conmutativos y homo- morfismos unitarios) en la de espacios topológicos. Podemos definir un prehaz sobre Spec(A) asignando a cada abierto de la base D(f), el anillo de fracciones: Af = { a fn | a ∈ A, n ∈ N } , a este prehaz se le asocia un haz, �A por medio de una construcción que no detalla- remos, y el par (Spec(A), �A) se llama un esquema af́ın. La categoŕıa de esquemas afines es isomorfa a la categoŕıa de anillos. El grupo lineal es el esquema af́ın: GLn = Spec (Z[(xi,j), t]/(det(xi,j)t− 1)) en el que no se aprecia la estructura de grupo. En cambio para un anillo A: GLn(Spec(A)) = HomSpec(Z)(Spec(A), GLn) = = Hom(Z[(xi,j), t]/(det(xi,j)t− 1), A) = GLn(A) Ya que los homomorfismos de anillos de Z[(xi,j), t]/(det(xi,j)t− 1) en A, se obtienen dando valores a las (xi,j) y a t que anulen a det(xi,j)t− 1, es decir, se corresponden con las matrices n× n de elementos de A con determinante inversible. 2. La definición formal de esquema en grupos, grupo algebraico, grupo anaĺıtico, grupo de Lie etc. sigue siempre el siguiente proceso: Se parte de una categoŕıa G con productos finitos y un objeto cero U , es decir un objeto tal que ∀S ∈ Ob(G), HomG(U, S) = {0}, HomG(S,U) = {e}. Entonces, una estructura de grupo en un objeto G de esa categoŕıa es una terna de morfismos: µ : G×G → G e : U → G p : G → G correspondientes al producto, unidad e inverso, que verifican las propiedades usuales: 22 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Asociativa: El diagrama: G×G×G G×G G×G G µ×1G 1G×µ µ µ es conmutativo Elemento neutro: Los diagramas: G U ×G G G×G 0×1G 1G e×1G µ G G× U G G×G 1G×0 1G 1G×e µ son conmutativos Inverso:Los diagramas: G G×G G G×G 1G×1G e0 p×1G µ G G×G G G×G 1G×1G e0 1G×p µ son conmutativos. Esta definición significa que para cada objeto T el conjunto HomG(T,G) con la operación: (f.g) = µ(f, g), (f, g) : T → G×G, π1.(f, g) = f, π2.(f, g) = g, es un grupo. Independientemente de que a veces, si los objetos de la categoŕıa son conjuntos, la definición signifique que en el objeto correspondiente se ha definido una estructura de grupo. 3. La acción de un grupo de G sobre un objeto X, se define como un morfismo: σ : G×X −→ X con las propiedades usuales (presentadas en forma de diagrama como en el ejemplo anterior) y significa que para todo objeto T de G, el grupo HomG(T,G) actúa sobre el conjunto HomG(T,X). VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 23 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 23 28/10/2014 11:38:46 a.m. 24 J.M. Aroca Podemos construir ahora un nuevo funtor: F : G −→ ((Sets)), F (T ) = HomG(T,X)/HomG(T,G) que en las categoŕıas citadas como ejemplos no es representable, y de este problema surge el concepto de Stack como objeto de una categoŕıa más amplia en la que se tiene la representabilidad de este funtor. 4. Primera definición de Stack Formalmente un Stack es un haz de grupoides sobre un site (categoŕıa con una topo- loǵıa). Casi ninguna de las palabras de la definición pertenecen al vocabulario usual de un matemático no especializado en el área. Vamos a explicarlas una a una. 4.1. Grupoides Un grupoide es una categoŕıa en la que todos los morfismos son isomorfismos. Si subs- tituimos la categoŕıa por la unión disjunta de todos sus conjuntos de morfismos, junto con el conjunto de sus objetos, podemos decir también que un grupoide es un par compuesto por dos conjuntos (G,O) con: 1. Una aplicación u : O → G. 2. Dos aplicaciones d, r : G → O (dominio y rango) tales que du = ru = 1O (En consecuencia d y r son sobreyectivas y u es inyectiva por lo que podemos identificar O con Imu) 3. Una aplicación involutiva i : G → G tal que di = r (y en consecuencia r.i = d). 4. Si P = {(a, b) ∈ G × G | r(a) = d(b)} = G ×O G, una aplicación p : P → G (si (a, b) ∈ P diremos que a es multiplicable por b y llamaremos p(a, b) = ab). De modo que: La operación parcial p es asociativa, es decir, si a es multiplicable por b y b lo es por c, a(bc) = (ab)c ∀a ∈ G, au(d(a)) = u(r(a)) = a 24 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks i es el inverso respecto a p, es decir, ∀a ∈ G, ai(a) = u(r(a)), i(a)a = u(r(a)). Ejemplo 7. 1. Si V es un espacio vectorial, la categoŕıa cuyos objetos son los subespacios de di- mensión 1 de V y cuyos morfismos son las aplicaciones lineales no nulas entre estos espacios, es un grupoide. 2. Si X es un espacio topológico, el conjunto de clases de homotoṕıa de caminos en X con la operación de concatenación es un grupoide. Los objetos de la categoŕıa son los puntos de X, los morfismos entre dos puntos son los las clases de homotoṕıa de caminos que los unen. Es necesario tomar clase de homotoṕıa porque σ ∗1x ̸= σ pero ambos caminos son homótopos. Este grupoide se llama grupoide de homotoṕıa de X y se representa por π1(X). 3. La holonomı́a de una foliación es un grupoide. En una sección posterior estudiaremos como se construye este grupoide. 4. Si C es una categoŕıa, el conjunto de isomorfismos de C es un grupoide. 5. Si G es un grupo que actúa sobre un conjunto X, podemos dotar a T = X × G de estructura de grupoide: O = X,u = X ≡ X × {1}. r(x, g) = gx, d(x, g) = x. r(x, g) = d(y, h) ⇔ y = gx, (x, g).(y, h) = (x, hg). En términos de categoŕıas los objetos de T son los elementos de X y HomT (x, y) = {g ∈ G | gx = y}. Claramente en esta categoŕıa: x ≃ y ⇔ x, y estan en la misma órbita para la acción de G, de este modo las clases de isomorf́ıa del grupoide son las órbitas. SiG es un grupo en una categoŕıa C, que actúa sobre un objetoX, para todo objeto S, HomC(S,G) = G(S) es un grupo que actúa sobre el conjunto HomC(S,X) = X(S), tenemos aśı para cada objeto S el grupoide T (S) construido como en el ejemplo anterior. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 25 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 24 28/10/2014 11:38:47 a.m. 25 J.M. Aroca Podemos construir ahora un nuevo funtor: F : G −→ ((Sets)), F (T ) = HomG(T,X)/HomG(T,G) que en las categoŕıas citadas como ejemplos no es representable, y de este problema surge el concepto de Stack como objeto de una categoŕıa más amplia en la que se tiene la representabilidad de este funtor. 4. Primera definición de Stack Formalmente un Stack es un haz de grupoides sobre un site (categoŕıa con una topo- loǵıa). Casi ninguna de las palabras de la definición pertenecen al vocabulario usual de un matemático no especializado en el área. Vamos a explicarlas una a una. 4.1. Grupoides Un grupoide es una categoŕıa en la que todos los morfismos son isomorfismos. Si subs- tituimos la categoŕıa por la unión disjunta de todos sus conjuntos de morfismos, junto con el conjunto de sus objetos, podemos decir también que un grupoide es un par compuesto por dos conjuntos (G,O) con: 1. Una aplicación u : O → G. 2. Dos aplicaciones d, r : G → O (dominio y rango) tales que du = ru = 1O (En consecuencia d y r son sobreyectivas y u es inyectiva por lo que podemos identificar O con Imu) 3. Una aplicación involutiva i : G → G tal que di = r (y en consecuencia r.i = d). 4. Si P = {(a, b) ∈ G × G | r(a) = d(b)} = G ×O G, una aplicación p : P → G (si (a, b) ∈ P diremos que a es multiplicable por b y llamaremos p(a, b) = ab). De modo que: La operación parcial p es asociativa, es decir, si a es multiplicable por b y b lo es por c, a(bc) = (ab)c ∀a ∈ G, au(d(a)) = u(r(a)) = a 24 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks i es el inverso respecto a p, es decir, ∀a ∈ G, ai(a) = u(r(a)), i(a)a = u(r(a)). Ejemplo 7. 1. Si V es un espacio vectorial, la categoŕıa cuyos objetos son los subespacios de di- mensión 1 de V y cuyos morfismos son las aplicaciones lineales no nulas entre estos espacios, es un grupoide. 2. Si X es un espacio topológico, el conjunto de clases de homotoṕıa de caminos en X con la operación de concatenación es un grupoide. Los objetos de la categoŕıa son los puntos de X, los morfismos entre dos puntos son los las clases de homotoṕıa de caminos que los unen. Es necesario tomar clase de homotoṕıa porque σ ∗1x ̸= σ pero ambos caminos son homótopos. Este grupoide se llama grupoide de homotoṕıa de X y se representa por π1(X). 3. La holonomı́a de una foliación es un grupoide. En una sección posterior estudiaremos como se construye este grupoide. 4. Si C es una categoŕıa, el conjunto de isomorfismos de C es un grupoide. 5. Si G es un grupo que actúa sobre un conjunto X, podemos dotar a T = X × G de estructura de grupoide: O = X,u = X ≡ X × {1}. r(x, g) = gx, d(x, g) = x. r(x, g) = d(y, h) ⇔ y = gx, (x, g).(y, h) = (x, hg). En términos de categoŕıas los objetos de T son los elementos de X y HomT (x, y) = {g ∈ G | gx = y}. Claramente en esta categoŕıa: x ≃ y ⇔ x, y estan en la misma órbita para la acción de G, de este modo las clases de isomorf́ıa del grupoide son las órbitas. SiG es un grupo en una categoŕıa C, que actúa sobre un objetoX, para todo objeto S, HomC(S,G) = G(S) es un grupo que actúa sobre el conjunto HomC(S,X) = X(S), tenemos aśı para cada objeto S el grupoide T (S) construido como en el ejemplo anterior. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 25 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 25 28/10/2014 11:38:47 a.m. 26 J.M. Aroca 6. Si la acción de G sobre E es simple y transitiva, es decir si E ≃ G considerando la acción de G sobre si mismo por producto por la derecha, se dice que E es un G- torsor. Dado un G-conjunto X, se llama G-torsor de X a un par (E, u) donde E es un G-torsor y u : E → X un morfismo equivariante. Un morfismo de G -torsores de X de (E, u) a (F, v) es un morfismo equivariante β : E → F tal que vβ = u. Observemos que: Los G-torsores de X y sus morfismos forman una categoŕıa. Todo morfismo de G- torsores es un isomorfismo. Las imágenes en X de los G-torsores son las órbitas de X por la acción de G. Dos G- torsores de X son isomorfos si y solo si tienen como imagen la misma órbita. Es decir, la categoŕıa de G-torsores de X es también un grupoide cuyas clases de isomorfia de objetos se corresponden con las órbitas de X por la acción de G. Para cada x de X tenemos el G-torsor de X, ρx : G → X, ρx(g) = xg tenemos aśı un funtor de la categoŕıa T construida en el ejemplo anterior en la categoŕıa de G-torsores de X que es fiel, completo y esencialmente suprayectivo, por tanto ambas categoŕıas son equivalentes y equivalentes al grupoide asociado a la acción trivial de G sobre el espacio de órbitas X/G. 7. Sea X un espacio topológico y sea {Ui}i∈I un recubrimiento abierto de X, podemos construir los conjuntos: U = ⨿ i∈I Ui. G = U ×X U = ⨿ i,j∈I Ui ∩ Uj . y las aplicaciones siguientes dotan al par (G,U) de estructura de grupoide: a) u : U → G, u(x) = x es decir si x ∈ U existe un único i ∈ I con x ∈ Ui = Ui ∩ Ui ⊂ G y u está bien definida. b) d|Ui∩Uj es la inclusión Ui ∩ Uj ⊂ Ui. c) r|Ui∩Uj es la inclusión Ui ∩ Uj ⊂ Uj . d) i|Ui∩Uj es la identidad Ui ∩ Uj = Uj ∩ Ui. 26 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks e) Si (x, y) ∈ P, x ∈ Ui ∩ Uj , y ∈ Ul ∩ Uk entonces r(x) = x ∈ Uj , d(y) = y ∈ Ul, r(x) = d(y) ⇒ l = j, x = y y definimos: p(x, y) = x ∈ Ui ∩ Uk. En vez de un recubrimiento podŕıamos haber tomado un atlas de una variedad diferenciable o de un espacio anaĺıtico, substituyendo las identidades por los cambios de carta. Podemos definir un morfismo de grupoides como un funtor covariante, ya que los gru- poides son categoŕıas. En términos de conjuntos con una operación parcial esta definición significa lo siguiente: Un morfismo F : G → H es una aplicación tal que: F (G0) ⊂ H0 rF = Fr, Fd = dF F (gh) = F (g)F (h) Fi = iF De este mode se puede hablar de la categoŕıa de grupoides. Ejemplo 8. 1. Si f : X → Y es una aplicación continua, la composición con f define un morfismo entre los grupoides de homotoṕıa de X e Y . 2. Si F : V → W es un isomorfismo de espacios vectoriales, la conjugación por F (Paso de σ a F−1σF ) define un morfismo del grupoide de isomorfismos entre rectas vectoriales de V en el de W . 3. Si X e Y son G-conjuntos y β : X → Y es un morfismo de G-conjuntos, la aplicación: F̃X ×G → Y ×G, F̃ (x, g) = (F (x), g) es un morfismo de grupoides. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 27 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 26 28/10/2014 11:38:48 a.m. 27 J.M. Aroca 6. Si la acción de G sobre E es simple y transitiva, es decir si E ≃ G considerando la acción de G sobre si mismo por producto por la derecha, se dice que E es un G- torsor. Dado un G-conjunto X, se llama G-torsor de X a un par (E, u) donde E es un G-torsor y u : E → X un morfismo equivariante. Un morfismo de G -torsores de X de (E, u) a (F, v) es un morfismo equivariante β : E → F tal que vβ = u. Observemos que: Los G-torsores de X y sus morfismos forman una categoŕıa. Todo morfismo de G- torsores es un isomorfismo. Las imágenes en X de los G-torsores son las órbitas de X por la acción de G. Dos G- torsores de X son isomorfos si y solo si tienen como imagen la misma órbita. Es decir, la categoŕıa de G-torsores de X es también un grupoide cuyas clases de isomorfia de objetos se corresponden con las órbitas de X por la acción de G. Para cada x de X tenemos el G-torsor de X, ρx : G → X, ρx(g) = xg tenemos aśı un funtor de la categoŕıa T construida en el ejemplo anterior en la categoŕıa de G-torsores de X que es fiel, completo y esencialmente suprayectivo, por tanto ambas categoŕıas son equivalentes y equivalentes al grupoide asociado a la acción trivial de G sobre el espacio de órbitas X/G. 7. Sea X un espacio topológico y sea {Ui}i∈I un recubrimiento abierto de X, podemos construir los conjuntos: U = ⨿ i∈I Ui. G = U ×X U = ⨿ i,j∈I Ui ∩ Uj . y las aplicaciones siguientes dotan al par (G,U) de estructura de grupoide: a) u : U → G, u(x) = x es decir si x ∈ U existe un único i ∈ I con x ∈ Ui = Ui ∩ Ui ⊂ G y u está bien definida. b) d|Ui∩Uj es la inclusión Ui ∩ Uj ⊂ Ui. c) r|Ui∩Uj es la inclusión Ui ∩ Uj ⊂ Uj . d) i|Ui∩Uj es la identidad Ui ∩ Uj = Uj ∩ Ui. 26 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks e) Si (x, y) ∈ P, x ∈ Ui ∩ Uj , y ∈ Ul ∩ Uk entonces r(x) = x ∈ Uj , d(y) = y ∈ Ul, r(x) = d(y) ⇒ l = j, x = y y definimos: p(x, y) = x ∈ Ui ∩ Uk. En vez de un recubrimiento podŕıamos haber tomado un atlas de una variedad diferenciable o de un espacio anaĺıtico, substituyendo las identidades por los cambios de carta. Podemos definir un morfismo de grupoides como un funtor covariante, ya que los gru- poides son categoŕıas. En términos de conjuntos con una operación parcial esta definición significa lo siguiente: Un morfismo F : G → H es una aplicación tal que: F (G0) ⊂ H0 rF = Fr, Fd = dF F (gh) = F (g)F (h) Fi = iF De este mode se puede hablar de la categoŕıa de grupoides. Ejemplo 8. 1. Si f : X → Y es una aplicación continua, la composición con f define un morfismo entre los grupoides de homotoṕıa de X e Y . 2. Si F : V → W es un isomorfismo de espacios vectoriales, la conjugación por F (Paso de σ a F−1σF ) define un morfismo del grupoide de isomorfismos entre rectas vectoriales de V en el de W . 3. Si X e Y son G-conjuntos y β : X → Y es un morfismo de G-conjuntos, la aplicación: F̃X ×G → Y ×G, F̃ (x, g) = (F (x), g) es un morfismo de grupoides. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 27 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 27 28/10/2014 11:38:48 a.m. 28 J.M. Aroca 4.2. 2- Categoŕıas, 2- Funtores y prehaces Un prehaz sobre una categoŕıa C es un 2- funtor contravariante de C en una 2-categoŕıa. Debemos definir las 2 categoŕıas y los 2-funtores para saber que es un prehaz. Una 2 - categoŕıa consta de tres tipos de elementos: Objetos. Para cada par de objetos A,B, un conjunto de 1-morfismos [A,B]1. Para cada par de 1-morfismos f, g ∈ [A,B]1, un conjunto de 2- morfismos [f, g]2. De modo que: 1. Los objetos y los 1-morfismos forman una categoŕıa (es decir tenemos composición asociativa de 1-morfismos y unidades) 2. Para cada par de objetos A,B, los 1-morfismos [A,B]1 y los 2-morfismos entre ellos forman una categoŕıa a la que llamaremos Hom(A,B), es decir tenemos una com- posición (vertical) de 2-morfismos f, g, h ∈ [A,B]1, F ∈ [f, g]2, G ∈ [g, h]2 ⇒ GF ∈ [f, h]2 asociativa y con unidades 3. Tenemos una composición horizontal de 2-morfismos: ∀ f1, f2 ∈ [A,B]1, g1, g2 ∈ [B,C]1, α ∈ [f1, g1]2, β ∈ [f2, g2]2 tenemos: β ∗ α ∈ [f2f1, g2g1]2 de modo que: a) ∗ es asociativa b) 1g ∗ 1f = 1gf c) La composición de 2- morfismos conmuta con la composición horizontal, es decir si: f1, f2, f3 ∈ [A,B]1, g1, g2, g3 ∈ [B,C]1 α1 ∈ [f1, f2]2, α2 ∈ [f2, f3]2, β1 ∈ [g1, g2]2, β2 ∈ [g2, g3]2 28 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Entonces: (β2 ∗ α2)(β1 ∗ α1) = (β2β1) ∗ (α2α1) Ejemplo 9. 1. Toda categoŕıa es una 2- categoŕıa tomando como 2- morfismos: [f, g]2 = { ∅ ⇔ f ̸= g {1f} ⇔ f = g 2. Si tomamos como objetos categoŕıas ( de grupos , espacios topológicos etc.) como 1- morfismos los funtores y como 2-morfismos las transformaciones naturales, tenemos 2-categoŕıas. Observemos en estos casos la diferencia entre composición y composi- ción horizontal de 2-morfismos, es decir de transformaciones naturales entre funtores. Si F , G, H son funtores de C en D y P ∈ [F,G]2, R ∈ [G,H]2 su composición RP es: PX : F (X) → G(X), X ∈ Ob(C) RX : G(X) → H(X), X ∈ Ob(C) } ⇒ (RP )X = RXPX : F (X) → H(X) Si F1, F2, son funtores de C en D, G1, G2, son funtores de D en E y P ∈ [F1, F2]2, R ∈ [G1, G2]2 su composición horizontal R ∗ P es: PX : F1(X) → F2(X), X ∈ Ob(C) RX : G1(Y ) → G2(Y ), Y ∈ Ob(D) } ⇒ (R ∗ P )X = RF2(X).G1(PX) : G1(F1(X)) → G2(F2(X)) 3. En la categoŕıa ((Top)) de espacios topológicos y aplicaciones continuas, podemos tratar de definir los 2-morfismos por: ∀f, g : X → Y, H ∈ [f, g]2 ⇔ H : X × [0, 1] → Y H continua, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x). La composición horizontal no presentaŕıa problemas, porque si las aplicaciones co- rrespondientes son componibles: H(x, t) ∈ [f, g]2, H ′(y, t) ∈ [f ′, g′] ⇒ H(x, t) ∗H ′(x, t) = H ′(H(x, t), t) ∈ [f ′f, g′g] VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 29 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 28 28/10/2014 11:38:49 a.m. 29 J.M. Aroca 4.2. 2- Categoŕıas, 2- Funtores y prehaces Un prehaz sobre una categoŕıa C es un 2- funtor contravariante de C en una 2-categoŕıa. Debemos definir las 2 categoŕıas y los 2-funtores para saber que es un prehaz. Una 2 - categoŕıa consta de tres tipos de elementos: Objetos. Para cada par de objetos A,B, un conjunto de 1-morfismos [A,B]1. Para cada par de 1-morfismos f, g ∈ [A,B]1, un conjunto de 2- morfismos [f, g]2. De modo que: 1. Los objetos y los 1-morfismos forman una categoŕıa (es decir tenemos composición asociativa de 1-morfismos y unidades) 2. Para cada par de objetos A,B, los 1-morfismos [A,B]1 y los 2-morfismos entre ellos forman una categoŕıa a la que llamaremos Hom(A,B), es decir tenemos una com- posición (vertical) de 2-morfismos f, g, h ∈ [A,B]1, F ∈ [f, g]2, G ∈ [g, h]2 ⇒ GF ∈ [f, h]2 asociativa y con unidades 3. Tenemos una composición horizontal de 2-morfismos: ∀ f1, f2 ∈ [A,B]1, g1, g2 ∈ [B,C]1, α ∈ [f1, g1]2, β ∈ [f2, g2]2 tenemos: β ∗ α ∈ [f2f1, g2g1]2 de modo que: a) ∗ es asociativa b) 1g ∗ 1f = 1gf c) La composición de 2- morfismos conmuta con la composición horizontal, es decir si: f1, f2, f3 ∈ [A,B]1, g1, g2, g3 ∈ [B,C]1 α1 ∈ [f1, f2]2, α2 ∈ [f2, f3]2, β1 ∈ [g1, g2]2, β2 ∈ [g2, g3]2 28 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Entonces: (β2 ∗ α2)(β1 ∗ α1) = (β2β1) ∗ (α2α1) Ejemplo 9. 1. Toda categoŕıa es una 2- categoŕıa tomando como 2- morfismos: [f, g]2 = { ∅ ⇔ f ̸= g {1f} ⇔ f = g 2. Si tomamos como objetos categoŕıas ( de grupos , espacios topológicos etc.) como 1- morfismos los funtores y como 2-morfismos las transformaciones naturales, tenemos 2-categoŕıas. Observemos en estos casos la diferencia entre composición y composi- ción horizontal de 2-morfismos, es decir de transformaciones naturales entre funtores. Si F , G, H son funtores de C en D y P ∈ [F,G]2, R ∈ [G,H]2 su composición RP es: PX : F (X) → G(X), X ∈ Ob(C) RX : G(X) → H(X), X ∈ Ob(C) } ⇒ (RP )X = RXPX : F (X) → H(X) Si F1, F2, son funtores de C en D, G1, G2, son funtores de D en E y P ∈ [F1, F2]2, R ∈ [G1, G2]2 su composición horizontal R ∗ P es: PX : F1(X) → F2(X), X ∈ Ob(C) RX : G1(Y ) → G2(Y ), Y ∈ Ob(D) } ⇒ (R ∗ P )X = RF2(X).G1(PX) : G1(F1(X)) → G2(F2(X)) 3. En la categoŕıa ((Top)) de espacios topológicos y aplicaciones continuas, podemos tratar de definir los 2-morfismos por: ∀f, g : X → Y, H ∈ [f, g]2 ⇔ H : X × [0, 1] → Y H continua, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x). La composición horizontal no presentaŕıa problemas, porque si las aplicaciones co- rrespondientes son componibles: H(x, t) ∈ [f, g]2, H ′(y, t) ∈ [f ′, g′] ⇒ H(x, t) ∗H ′(x, t) = H ′(H(x, t), t) ∈ [f ′f, g′g] VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 29 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 29 28/10/2014 11:38:49 a.m. 30 J.M. Aroca pero la composición vertical habŕıa que definirla como: f, g, h ∈ [X,Y ]1, H(x, t) ∈ [f, g]2, H ′(x, t) ∈ [g, h]2 ⇒ ⇒ H ′′(x, t) = H(x, t)H ′(x, t) ∈ [f, h]2, H ′′(x, t) = H(x, 2t) 0 ≤ t ≤ 1/2, H ′′(x, t) = H(x, 2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1 y no funciona la composición por unidades, por tanto no tenemos una 2-categoŕıa. Ahora bien podemos modificar los 2-morfismos por paso al cociente, cambiando las homotoṕıas por clases de homotoṕıas: Dos aplicaciones continuas H,G : X × [0, 1] → Y,H(x, 0) = G(x, 0) = f(x), H(x, 1) = G(x, 1) = g(x) se dicen equivalentes, si difieren a su vez en una homotoṕıa, es decir: ∃L : X × [0, 1]× [0,1] → Y, L(x, t, 0) = H(x, t), L(x, t, 1) = G(x, t) Esta relación es de igualdad y se pueden considerar como 2-morfismos las clase de igualdad de homotoṕıas. Ahora los espacios topológicos, las aplicaciones continuas y las clases de homotoṕıa de homotoṕıas entre aplicaciones continuas forman una 2-categoŕıa. 4. Como un grupoide es una categoŕıa, podemos construir una 2- categoŕıa cuyos obje- tos son los grupoides, los 1-morfismos los funtores entre grupoides (homomorfismos de grupoides) y como 2-morfismos las transformaciones naturales. A esa 2- categoŕıa le llamaremos categoŕıa de grupoides. 5. Hemos visto que la correspondencia que asocia a cada espacio topológico su gru- poide de homotoṕıa define un funtor, si f, g : X → Y son aplicaciones continuas y F,G, π1(X) → π1(Y ) son los morfismos de grupoides (funtores) inducidos, una ho- motoṕıa H : X × [0, 1] → Y, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) induce un 2- morfismo H̃ : F → G por: H̃x : F (x) = f(x) → G(x) = g(x), es el camino H̃x(t) = H(x, t). Un 2- funtor entre dos 2-categoŕıas es una terna (F, ε, δ) compuesta por: 30 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks 1. una correspondencia F que asocia: A cada objeto X de la primera un objeto F (X) de la segunda. A cada 1-morfismo f : A → B un 1 morfismo F (f) : F (A) → F (B). A cada 2-morfismo α : f → g un 2-morfismo, F (α) : F (f) → F (g) y F conserva la composición de 2-morfismos y las 2-unidades, es decir F es un funtor de Hom(A,B) en Hom(F (A), F (B)). 2. Una correspondencia δ que asocia a cada objeto A un 2-isomorfismo δA : F (1A) → 1F (A). 3. Una correspondencia ε que asocia a cada par de 1-morfismos componibles f, g, un 2- isomorfismo: εg,f : F (g)F (f) ⇐ F (gf). De modo que: Para todo 1-morfismo f : X → Y , ε1Y ,f = δY ∗ 1F (f), εf,1X = 1F (f) ∗ δX . ε es asociativa, es decir si f y g, g y h son componibles,y el diagrama: F (hgf) F (h)F (gf) F (hg)F (f) F (h)F (g)F (f) εh,gf εhg,f 1F (f)∗εg,f εh,g∗1F (f) es conmutativo. F, ε respetan la composición horizontal es decir para: f1, f2 ∈ [A,B]1, g1, g2 ∈ [B,C]1, α ∈ [f1, f2]2, β ∈ [g1, g2]2, el diagrama F (g1)F (f1) F (g2)F (f2) F (g1f1) F (g2f2) F (β)∗F (α) εg1,f1 εg2,f2 F (β∗α) es conmutativo. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 31 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 30 28/10/2014 11:38:50 a.m. 31 J.M. Aroca pero la composición vertical habŕıa que definirla como: f, g, h ∈ [X,Y ]1, H(x, t) ∈ [f, g]2, H ′(x, t) ∈ [g, h]2 ⇒ ⇒ H ′′(x, t) = H(x, t)H ′(x, t) ∈ [f, h]2, H ′′(x, t) = H(x, 2t) 0 ≤ t ≤ 1/2, H ′′(x, t) = H(x, 2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1 y no funciona la composición por unidades, por tanto no tenemos una 2-categoŕıa. Ahora bien podemos modificar los 2-morfismos por paso al cociente, cambiando las homotoṕıas por clases de homotoṕıas: Dos aplicaciones continuas H,G : X × [0, 1] → Y,H(x, 0) = G(x, 0) = f(x), H(x, 1) = G(x, 1) = g(x) se dicen equivalentes, si difieren a su vez en una homotoṕıa, es decir: ∃L : X × [0, 1]× [0,1] → Y, L(x, t, 0) = H(x, t), L(x, t, 1) = G(x, t) Esta relación es de igualdad y se pueden considerar como 2-morfismos las clase de igualdad de homotoṕıas. Ahora los espacios topológicos, las aplicaciones continuas y las clases de homotoṕıa de homotoṕıas entre aplicaciones continuas forman una 2-categoŕıa. 4. Como un grupoide es una categoŕıa, podemos construir una 2- categoŕıa cuyos obje- tos son los grupoides, los 1-morfismos los funtores entre grupoides (homomorfismos de grupoides) y como 2-morfismos las transformaciones naturales. A esa 2- categoŕıa le llamaremos categoŕıa de grupoides. 5. Hemos visto que la correspondencia que asocia a cada espacio topológico su gru- poide de homotoṕıa define un funtor, si f, g : X → Y son aplicaciones continuas y F,G, π1(X) → π1(Y ) son los morfismos de grupoides (funtores) inducidos, una ho- motoṕıa H : X × [0, 1] → Y, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) induce un 2- morfismo H̃ : F → G por: H̃x : F (x) = f(x) → G(x) = g(x), es el camino H̃x(t) = H(x, t). Un 2- funtor entre dos 2-categoŕıas es una terna (F, ε, δ) compuesta por: 30 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks 1. una correspondencia F que asocia: A cada objeto X de la primera un objeto F (X) de la segunda. A cada 1-morfismo f : A → B un 1 morfismo F (f) : F (A) → F (B). A cada 2-morfismo α : f → g un 2-morfismo, F (α) : F (f) → F (g) y F conserva la composición de 2-morfismos y las 2-unidades, es decir F es un funtor de Hom(A,B) en Hom(F (A), F (B)). 2. Una correspondencia δ que asocia a cada objeto A un 2-isomorfismo δA : F (1A) → 1F (A). 3. Una correspondencia ε que asocia a cada par de 1-morfismos componibles f, g, un 2- isomorfismo: εg,f : F (g)F (f) ⇐ F (gf). De modo que: Para todo 1-morfismo f : X → Y , ε1Y ,f = δY ∗ 1F (f), εf,1X = 1F (f) ∗ δX . ε es asociativa, es decir si f y g, g y h son componibles,y el diagrama: F (hgf) F (h)F (gf) F (hg)F (f) F (h)F (g)F (f) εh,gf εhg,f 1F (f)∗εg,f εh,g∗1F (f) es conmutativo. F, ε respetan la composición horizontal es decir para: f1, f2 ∈ [A,B]1, g1, g2 ∈ [B,C]1, α ∈ [f1, f2]2, β ∈ [g1, g2]2, el diagrama F (g1)F (f1) F (g2)F (f2) F (g1f1) F (g2f2) F (β)∗F (α) εg1,f1 εg2,f2 F (β∗α) es conmutativo. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 31 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 31 28/10/2014 11:38:50 a.m. 32 J.M. Aroca Resulta dif́ıcil poner un ejemplo fácil de 2-funtor, como sólo nos interesan un tipo particular de 2-funtores (los prehaces) nos limitaremos a dar después ejemplos de ellos. Un prehaz sobre una categoŕıa C con valores en una 2 categoŕıa G es un 2- funtor contravariante de C considerada como 2 - categoŕıa en G. Es decir, es una terna de corres- pondencias (P (−), δ, ε) tales que: P asocia a cada objeto X un objeto P (X) P asocia a cada morfismo X → Y un 1-morfismo P (Y ) → P (X) δ asocia a cada objeto X un 2-1somorfismo δX : P (1X) → 1P (X) ε asocia a cada par de morfismos componibles un 2- isomorfismo: εf,g : P (f)P (g) ⇐ P (gf) de modo que: δ es compatible con ε, es decir, para todo 1-morfismo f : X → Y , ε1Y ,f = δY ∗ 1P (f), εf,1X = 1P (f) ∗ δX ε es asociativa Ejemplo 10. 1. Si componemos por la izquierda un prehaz con un 2-funtor covariante o por la derecha con un funtor covariante se obtiene un nuevo prehaz. 2. Si consideramos una categoŕıa C y en la categoŕıa de conjuntos la estructura trivial de 2 - categoŕıa, HomC(−, S) = S(−) es un prehaz de conjuntos sobre C, en este caso ε y δ son la identidad. El funtor de puntos también se puede considerar como un prehaz con valores en la 2-categoŕıa ((Cat)) si consideramos cada conjunto S(Z) como una categoŕıa con solo las identidades como morfismos. 3. Hay otra forma de considerar el funtor de puntos como un prehaz con valores en ((Cat)). Si C tiene productos fibrados y elegimos para cada objeto S y cada par de objetos X, Y sobre S un producto fibrado X ×S Y , tenemos automáticamente un prehaz sobre C con valores en ((Cat)), el que asigna a cada objeto S de C, la categoŕıa relativa C/S y a cada morfismo a : S′ → S el funtor Fa : C/S → C/S′ definido a su vez por: 32 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Fa(X → S) = (X ×S S′) → S′ Fa(f) = f × 1S′ Observemos que los objetos de C/S son los puntos de S con valores en X, es decir los elementos de S(X), pero ahora hemos dotado a este conjunto con una estructura de categoŕıa, con lo cual el funtor de puntos toma valores en ((Cat)). La aplicación imagen de un morfismo es ahora un funtor, es decir Fa es un funtor, ya que elegidos como hemos hecho todos los X ×S S′, dado el morfismo f : (Y → S) → (X → S), existe un único morfismo f ×1S′ : (Y ×S S ′ → S′) → (X×S S ′) que conmuta con las proyecciones sobre Y y X. Esta unicidad garantiza que si h : (Z → S) → (Y → S) es otro morfismo: (f × 1S′)(h× 1S′) = (fh× 1S′) como se observa en el diagrama siguiente: X ×S S′ S′ Y ×S S′ Z ×S S′ X S Y Z α1 α2 a β2 β1 f×1S′ fβ2 γ2 γ1fh×1S′ h×1S′ fhγ2 hγ2 b f c h fh d La correspondencia define a su vez un 2-funtor añadiéndole: El isomorfismo natural δX entre el funtor de C/S en C/S que lleva X → S a X ×S S → S y el funtor identidad de C/S es el definido por el isomorfismo canónico X ×S S ≃ X El isomorfismo natural εa,b, para a : S′ → S, b : S′′ → S′ corresponde al isomorfismo canónico: (X ×S S′)×S′ S′′ ≃ X ×S S′′ VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 33 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 32 28/10/2014 11:38:51 a.m. 33 J.M. Aroca Resulta dif́ıcil poner un ejemplo fácil de 2-funtor, como sólo nos interesan un tipo particular de 2-funtores (los prehaces) nos limitaremos a dar después ejemplos de ellos. Un prehaz sobre una categoŕıa C con valores en una 2 categoŕıa G es un 2- funtor contravariante de C considerada como 2 - categoŕıa en G. Es decir, es una terna de corres- pondencias (P (−), δ, ε) tales que: P asocia a cada objeto X un objeto P (X) P asocia a cada morfismo X → Y un 1-morfismo P (Y ) → P (X) δ asocia a cada objeto X un 2-1somorfismo δX : P (1X) → 1P (X) ε asocia a cada par de morfismos componibles un 2- isomorfismo: εf,g : P (f)P (g) ⇐ P (gf) de modo que: δ es compatible con ε, es decir, para todo 1-morfismo f : X → Y , ε1Y ,f = δY ∗ 1P (f), εf,1X = 1P (f) ∗ δX ε es asociativa Ejemplo 10. 1. Si componemos por la izquierda un prehaz con un 2-funtor covariante o por la derecha con un funtor covariante se obtiene un nuevo prehaz. 2. Si consideramos una categoŕıa C y en la categoŕıa de conjuntos la estructura trivial de 2 - categoŕıa, HomC(−, S) = S(−) es un prehaz de conjuntos sobre C, en este caso ε y δ son la identidad. El funtor de puntos también se puede considerar como un prehaz con valores en la 2-categoŕıa ((Cat)) si consideramos cada conjunto S(Z) como una categoŕıa con solo las identidades como morfismos. 3. Hay otra forma de considerar el funtor de puntos como un prehaz con valores en ((Cat)). Si C tiene productos fibrados y elegimos para cada objeto S y cada par de objetos X, Y sobre S un producto fibrado X ×S Y , tenemos automáticamente un prehaz sobre C con valores en ((Cat)), el que asigna a cada objeto S de C, la categoŕıa relativa C/S y a cada morfismo a : S′ → S el funtor Fa : C/S → C/S′ definido a su vez por: 32 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Fa(X → S) = (X ×S S′) → S′ Fa(f) = f × 1S′ Observemos que los objetos de C/S son los puntos de S con valores en X, es decir los elementos de S(X), pero ahora hemos dotado a este conjunto con una estructura de categoŕıa, con lo cual el funtor de puntos toma valores en ((Cat)). La aplicación imagen de un morfismo es ahora un funtor, es decir Fa es un funtor, ya que elegidos como hemos hecho todos los X ×S S′, dado el morfismo f : (Y → S) → (X → S), existe un único morfismo f ×1S′ : (Y ×S S ′ → S′) → (X×S S ′) que conmuta con las proyecciones sobre Y y X. Esta unicidad garantiza que si h : (Z → S) → (Y → S) es otro morfismo: (f × 1S′)(h× 1S′) = (fh× 1S′) como se observa en el diagrama siguiente: X ×S S′ S′ Y ×S S′ Z ×S S′ X S Y Z α1 α2 a β2 β1 f×1S′ fβ2 γ2 γ1fh×1S′ h×1S′ fhγ2 hγ2 b f c h fh d La correspondencia define a su vez un 2-funtor añadiéndole: El isomorfismo natural δX entre el funtor de C/S en C/S que lleva X → S a X ×S S → S y el funtor identidad de C/S es el definido por el isomorfismo canónico X ×S S ≃ X El isomorfismo natural εa,b, para a : S′ → S, b : S′′ → S′ corresponde al isomorfismo canónico: (X ×S S′)×S′ S′′ ≃ X ×S S′′ VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 33 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 33 28/10/2014 11:38:52 a.m. 34 J.M. Aroca Esta estructura de prehaz no interesa en śı, pero las construcciones que se hacen son de interés para los dos ejemplos siguientes. Además, en la sección siguiente usaremos esta construcción como ejemplo de categoŕıa fibrada. 4. Si tomamos la categoŕıa ((Top)) y para cada espacio topológico X consideramos la categoŕıa ((RecX)) de espacios recubridores de X, que es una subcategoŕıa completa (con los mismos morfismos) que ((Top))/X, la construcción anterior funciona, porque si R → X es un recubrimiento de X, R ×X Y → Y es un recubrimiento de Y y en la categoŕıa de espacios topológicos se puede elegir un representante canónico del producto fibrado. 5. En la categoŕıa de G conjuntos hay productos fibrados; Si f : X → S, g : Y → S son morfismos equivariantes: {(x, y) ∈ X × Y | f(x) = g(y)}, con la acción (x, y)g = (xg, yg) es un producto fibradoX×SY además si α : E → Y es unG-torsor de Y y f : X → Y es equivariante, (E×Y X,π2) es un G-torsor de X, de este modo la correspondencia que asocia a cada G- conjunto X el grupoide Tors(X) es un prehaz de grupoides sobre la categoŕıa ((G− sets)). 4.3. Topoloǵıa en una categoŕıa Una topoloǵıa, o más precisamente una base de abiertos, en una categoŕıa C, es un conjunto Cov(C) de familias de morfismos: {Ui → U}i∈I a cuyos elementos se llama recubrimientos, tal que: 1. Todo isomorfismo de C : {V ≃ U} es un recubrimiento de U . 2. Si {Ui → U}i∈I y ∀ i ∈ I, {Ui,j → Ui}j∈Ji están en Cov(C), {Ui,j → U}i∈I, j∈Ji está en Cov(C). 3. Si {Ui → U}i∈I está en Cov(C), y f : V → U es un morfismo en C, {V ×UUi → V }i∈I está en Cov(C). 34 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Una categoŕıa con una topoloǵıa se llama un site. Un abierto en un objeto X es un morfismo U → X incluido en un recubrimiento. Si U → X, V → X son abiertos, por la propiedad 3, U ×X V → V es abierto de V y por la propiedad 2, U ×X V → X es abierto de X, de modo que la familia de abiertos es cerrada para intersecciones finitas, ya que el producto fibrado juega el papel de la intersección. Y aunque técnicamente hemos definido solo la base de abiertos, se puede dar una construcción de toda la topoloǵıa generada por un site. Pero para lo que necesitamos nos basta con los abiertos de la base y no nos preocuparemos de la condición de que la union de abiertos sea abierta. Una topoloǵıa en una categoŕıa C, induce topoloǵıas en todos los conjuntos X(T ). Cada morfismo Ui → X de un recubrimiento de X induce una aplicación Ui(T ) → X(T ), las imágenes de estas aplicaciones son una base de abiertos para una topoloǵıa de X(T ), en general para un morfismo f : S → T la aplicación inducida f∗ : X(T ) → X(S) no es continua, pero para cada morfismo g : X → Y , g∗ : X(S) → Y (S) si es continua. Ejemplo 11. 1. Sea X un espacio topológico: Objetos de TX los abiertos de X. [U, V ] = ∅ ⇔ U � V, [U, V ] = {iU,V } ⇔ U ⊂ V . {Ui → U}i∈I ∈ Cov(C) si y solo si {Ui}i∈I es un recubrimiento abierto de U . Es un site y en este caso el funtor de puntos es trivial porque X(U) se reduce a un solo elemento o el vacio. 2. La categoŕıa de espacios topológicos con la familia de recubrimientos formada por todos los recubrimientos abiertos de todos los espacios topológicos es también un site. Ahora para el espacio P compuesto por un solo punto, para cada espacio topológico X, X(P ) coincide con X. 3. En la categoŕıa ((Sets)) la familia de recubrimientos: DCov = {{Ui → U}i∈I , U = ∪ i∈I Ui} es una topoloǵıa que define en cada conjunto X(P ) donde P es el conjunto de un solo punto la topoloǵıa discreta, pero no en los conjuntos X(T ) para T general. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 35 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 34 28/10/2014 11:38:52 a.m. 35 J.M. Aroca Esta estructura de prehaz no interesa en śı, pero las construcciones que se hacen son de interés para los dos ejemplos siguientes. Además, en la sección siguiente usaremos esta construcción como ejemplo de categoŕıa fibrada. 4. Si tomamos la categoŕıa ((Top)) y para cada espacio topológico X consideramos la categoŕıa ((RecX)) de espacios recubridores de X, que es una subcategoŕıa completa (con los mismos morfismos) que ((Top))/X, la construcción anterior funciona, porque si R → X es un recubrimiento de X, R ×X Y → Y es un recubrimiento de Y y en la categoŕıa de espacios topológicos se puede elegir un representante canónico del producto fibrado. 5. En la categoŕıa de G conjuntos hay productos fibrados; Si f : X → S, g : Y → S son morfismos equivariantes: {(x, y) ∈ X × Y | f(x) = g(y)}, con la acción (x, y)g = (xg, yg) es un producto fibradoX×SY además si α : E → Y es unG-torsor de Y y f : X → Y es equivariante, (E×Y X,π2) es un G-torsor de X, de este modo la correspondencia que asocia a cada G- conjunto X el grupoide Tors(X) es un prehaz de grupoides sobre la categoŕıa ((G− sets)). 4.3. Topoloǵıa en una categoŕıa Una topoloǵıa, o más precisamente una base de abiertos, en una categoŕıa C, es un conjunto Cov(C) de familias de morfismos: {Ui → U}i∈I a cuyos elementos se llama recubrimientos, tal que: 1. Todo isomorfismo de C : {V ≃ U} es un recubrimiento de U . 2. Si {Ui → U}i∈I y ∀ i ∈ I, {Ui,j → Ui}j∈Ji están en Cov(C), {Ui,j → U}i∈I, j∈Ji está en Cov(C). 3. Si {Ui → U}i∈I está en Cov(C), y f : V → U es un morfismo en C, {V ×UUi → V }i∈I está en Cov(C). 34 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Una categoŕıa con una topoloǵıa se llama un site. Un abierto en un objeto X es un morfismo U → X incluido en un recubrimiento. Si U → X, V → X son abiertos, por la propiedad 3, U ×X V → V es abierto de V y por la propiedad 2, U ×X V → X es abierto de X, de modo que la familia de abiertos es cerrada para intersecciones finitas, ya que el producto fibrado juega el papel de la intersección. Y aunque técnicamente hemos definido solo la base de abiertos, se puede dar una construcción de toda la topoloǵıa generada por un site. Pero para lo que necesitamos nos basta con los abiertos de la base y no nos preocuparemos de la condición de que la union de abiertos sea abierta. Una topoloǵıa en una categoŕıa C, induce topoloǵıas en todos los conjuntos X(T ). Cada morfismo Ui → X de un recubrimiento de X induce una aplicación Ui(T ) → X(T ), las imágenes de estas aplicaciones son una base de abiertos para una topoloǵıa de X(T ), en general para un morfismo f : S → T la aplicación inducida f∗ : X(T ) → X(S) no es continua, pero para cada morfismo g : X → Y , g∗ : X(S) → Y (S) si es continua. Ejemplo 11. 1. Sea X un espacio topológico: Objetos de TX los abiertos de X. [U, V ] = ∅ ⇔ U � V, [U, V ] = {iU,V } ⇔ U ⊂ V . {Ui → U}i∈I ∈ Cov(C) si y solo si {Ui}i∈I es un recubrimiento abierto de U . Es un site y en este caso el funtor de puntos es trivial porque X(U) se reduce a un solo elemento o el vacio. 2. La categoŕıa de espacios topológicos con la familia de recubrimientos formada por todos los recubrimientos abiertos de todos los espacios topológicos es también un site. Ahora para el espacio P compuesto por un solo punto, para cada espacio topológico X, X(P ) coincide con X. 3. En la categoŕıa ((Sets)) la familia de recubrimientos: DCov = {{Ui → U}i∈I , U = ∪ i∈I Ui} es una topoloǵıa que define en cada conjunto X(P ) donde P es el conjunto de un solo punto la topoloǵıa discreta, pero no en los conjuntos X(T ) para T general. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 35 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 35 28/10/2014 11:38:53 a.m. 36 J.M. Aroca 4. Si G es un grupo y formamos la categoŕıa de G-conjuntos y morfismos equivariantes, ((G− Sets)) y tomamos como recubrimientos las familias: {ψi : Ui → U}i∈I , ∪ i∈I Im(ψi) = U tenemos un site. Si P es el conjunto con un solo punto y la acción trivial de G, X(P ) es el conjunto de puntos aislados de X y el site induce en este conjunto la topoloǵıa discreta. Si tomamos en G la acción por producto de G, X(G) coincide con X y la topoloǵıa inducida por el site es la que tiene como base de abiertos las órbitas de X por la acción de G. 4.4. Haces en una categoŕıa En una categoŕıa con una topoloǵıa se puede establecer la noción de haz en la forma habitual es decir como un prehaz con valores en una 2- categoŕıa, que verifican condiciones de pegado. Para más comodidad nos limitaremos al caso que nos interesa, el de haces con valores en la 2-categoŕıa ((Cat)) cuyos objetos son categoŕıas, cuyos 1- morfismos son funtores y cuyos 2- morfismos son transformaciones naturales. Un prehaz P sobre C y con valores en ((Cat)) asigna a cada objeto X una categoŕıa P (X) y a cada morfismo f : X → Y un funtor P (f) : P (Y ) → P (X) al que se suele llamar imagen rećıproca o pullback por f , y se representas por f∗. Cuando el morfismo corresponda a un abierto del site fi : Ui → X, si A es un objeto o α un morfismo de P (X), escribiremos indistintamente f∗ i (A) = A|Ui = A|i, f∗ i (α) = α|Ui = α|i Si {Ui → U}i∈I es un recubrimiento, son también recubrimientos: {Ui ×U Uj = Ui,j → Uj}i∈I y también {Ui,j → Ui}j∈I {Ui ×U Uj = Ui,j → U}i,j∈I {Ui×U Uj×U Uk = Ui,j,k → Uj,k}i∈I y también {Ui,j,k → Ui,k}j∈I , {Ui,j,k → Ui,j}k∈I {Ui,j,k → Uk}i,j∈I {Ui,j,k → U}i,j,k∈I Si la categoŕıa C tiene coproductos para cada recubrimiento {Ui → U}i∈I , si llamamos V = ⨿ i∈I Ui es : 36 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks V ×U V = ⨿ i,j∈I Ui ×U Uj = ⨿ i,j∈I Ui,j V ×U V × V = ⨿ i,j,k∈I Ui ×U Uj ×U Uk = ⨿ i,j,k∈I Ui,j,k y podemos construir la resolución de Çech (en la que los morfismos multiples corresponden a las distintas proyecciones señaladas arriba) ...V ×U V ×U V −→⇒V ×U V ⇒ V → U ⇔ ... ⨿ i,j,k∈I Ui,j,k −→⇒ ⨿ i,j∈I Ui,j ⇒ ⨿ i∈I Ui → U Entonces diremos que el prehaz P es un haz si verifica las siguientes condiciones de pegado: 1. Pegado de morfismos: Si A,B son objetos de P (U) y αi : A|i → B|i morfismos tales que αi|i,j = αj |i,j , ∀i, j, existe un morfismo α : A → B tal que α|i = αi, ∀i 2. Unicidad Si dos morfismos α, β : A → B verifican que αi = βi, ∀i, es α = β 3. Pegado de objetos Si para cada i ∈ I, Ai es un objeto de P (Ui) y αi,j : Aj |i,j → Ai|i,j son morfismos tales que: ∀i, j, k, αi,j |i,j,kαj,k|i,j,k = αi,k|i,j,k. Existen un objeto A en P (U) e isomorfismos αi : A|i ≃ Ai, tales que αj,kαj |j,k = αk|j,k Ahora queda completamente explicada la definición. Definición 12. (Primera definición de Stack) Un Stack es un haz de grupoides sobre una categoŕıa Ejemplo 13. 1. En una categoŕıa C con productos fibrados un epimorfismo efectivo es una familia de morfismos {fi : Ui → U}i∈I tal que para todo objeto Z y toda familia de morfismos {gi : Ui → Z}i∈I tal que gi|i,j = gj |i,j , ∀i, j ∈ I existe un único g : U → Z tal que g|i = gi ∀i ∈ I, y un epimorfismo efectivo {fi : Ui → U}i∈I se llama universal si para todo objeto sobre U , h : V → U , la familia {πi,2 : Ui ×U V → V }i∈I es también un epimorfismo universal. Los epimorfismos estrictos universales son los recubrimientos de una topoloǵıa sobre la categoŕıa, y en esa topoloǵıa todos los VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 37 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 36 28/10/2014 11:38:53 a.m. 37 J.M. Aroca 4. Si G es un grupo y formamos la categoŕıa de G-conjuntos y morfismos equivariantes, ((G− Sets)) y tomamos como recubrimientos las familias: {ψi : Ui → U}i∈I , ∪ i∈I Im(ψi) = U tenemos un site. Si P es el conjunto con un solo punto y la acción trivial de G, X(P ) es el conjunto de puntos aislados de X y el site induce en este conjunto la topoloǵıa discreta. Si tomamos en G la acción por producto de G, X(G) coincide con X y la topoloǵıa inducida por el site es la que tiene como base de abiertos las órbitas de X por la acción de G. 4.4. Haces en una categoŕıa En una categoŕıa con una topoloǵıa se puede establecer la noción de haz en la forma habitual es decir como un prehaz con valores en una 2- categoŕıa, que verifican condiciones de pegado. Para más comodidad nos limitaremos al caso que nos interesa, el de haces con valores en la 2-categoŕıa ((Cat)) cuyos objetos son categoŕıas, cuyos 1- morfismos son funtores y cuyos 2- morfismos son transformaciones naturales. Un prehaz P sobre C y con valores en ((Cat)) asigna a cada objeto X una categoŕıa P (X) y a cada morfismo f : X → Y un funtor P (f) : P (Y ) → P (X) al que se suele llamar imagen rećıproca o pullback por f , y se representas por f∗. Cuando el morfismo corresponda a un abierto del site fi : Ui → X, si A es un objeto o α un morfismo de P (X), escribiremos indistintamente f∗ i (A) = A|Ui = A|i, f∗ i (α) = α|Ui = α|i Si {Ui → U}i∈I es un recubrimiento, son también recubrimientos: {Ui ×U Uj = Ui,j → Uj}i∈I y también {Ui,j → Ui}j∈I {Ui ×U Uj = Ui,j → U}i,j∈I {Ui×U Uj×U Uk = Ui,j,k → Uj,k}i∈I y también {Ui,j,k → Ui,k}j∈I , {Ui,j,k → Ui,j}k∈I {Ui,j,k → Uk}i,j∈I {Ui,j,k → U}i,j,k∈I Si la categoŕıa C tiene coproductos para cada recubrimiento {Ui → U}i∈I , si llamamos V = ⨿ i∈I Ui es : 36 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks V ×U V = ⨿ i,j∈I Ui ×U Uj = ⨿ i,j∈I Ui,j V ×U V × V = ⨿ i,j,k∈I Ui ×U Uj ×U Uk = ⨿ i,j,k∈I Ui,j,k y podemos construir la resolución de Çech (en la que los morfismos multiples corresponden a las distintas proyecciones señaladas arriba) ...V ×U V ×U V −→⇒V ×U V ⇒ V → U ⇔ ... ⨿ i,j,k∈I Ui,j,k −→⇒ ⨿ i,j∈I Ui,j ⇒ ⨿ i∈I Ui → U Entonces diremos que el prehaz P es un haz si verifica las siguientes condiciones de pegado: 1. Pegado de morfismos: Si A,B son objetos de P (U) y αi : A|i → B|i morfismos tales que αi|i,j = αj |i,j , ∀i, j, existe un morfismo α : A → B tal que α|i = αi, ∀i 2. Unicidad Si dos morfismos α, β : A → B verifican que αi = βi, ∀i, es α = β 3. Pegado de objetos Si para cada i ∈ I, Ai es un objeto de P (Ui) y αi,j : Aj |i,j → Ai|i,j son morfismos tales que: ∀i, j, k, αi,j |i,j,kαj,k|i,j,k = αi,k|i,j,k. Existen un objeto A en P (U) e isomorfismos αi : A|i ≃ Ai, tales que αj,kαj |j,k = αk|j,k Ahora queda completamente explicada la definición. Definición 12. (Primera definición de Stack) Un Stack es un haz de grupoides sobre una categoŕıa Ejemplo 13. 1. En una categoŕıa C con productos fibrados un epimorfismo efectivo es una familia de morfismos {fi : Ui → U}i∈I tal que para todo objeto Z y toda familia de morfismos {gi : Ui → Z}i∈I tal que gi|i,j = gj |i,j , ∀i, j ∈ I existe un único g : U → Z tal que g|i = gi ∀i ∈ I, y un epimorfismo efectivo {fi : Ui → U}i∈I se llama universal si para todo objeto sobre U , h : V → U , la familia {πi,2 : Ui ×U V → V }i∈I es también un epimorfismo universal. Los epimorfismos estrictos universales son los recubrimientos de una topoloǵıa sobre la categoŕıa, y en esa topoloǵıa todos los VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 37 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 37 28/10/2014 11:38:54 a.m. 38 J.M. Aroca funtores S(−) (y en consecuencia todos los funtores contravariantes representables con valores en la categoŕıa de conjuntos) son haces. Si consideramos los funtores S(−) como funtores con valores en ((Cat)) como hicimos antes, sus imágenes son grupoides y por tanto cada funtor S(−) es un stack, de modo que para esta topoloǵıa tenemos una inmersión de la categoŕıa C en la categoŕıa de stacks sobre ella, que lleva cada objeto S al stack S(−). 2. Si tomamos como morfismos en cada conjunto S(−) los morfismos sobre S, tenemos también la estructura de prehaz que hemos señalado antes, pero no una estructura de haz, porque se verifican los dos primeros axiomas de la definición de haz, pero en general no se cumple el tercero. 3. Si tomamos el prehaz sobre la categoŕıa ((Top)) que asocia a cada espacio topológico X la categoŕıa ((Rec(X))) de sus espacios recubridores, y consideramos en ((Top)) la topoloǵıa definida por todos los recubrimientos abiertos, como los recubrimientos abiertos son epimorfismos universales efectivos se cumplen los dos primeros axiomas de la definición de haz, y también se cumple el tercero porque dados espacios recubri- dores de los abiertos de un recubrimiento de X que coinciden en las intersecciones, se pueden pegar para dar lugar a un espacio recubridor del espacio total. Observemos que la restricción a los abiertos de este espacio recubridor es isomorfa a los espacios recubridores de partida. Por tanto este prehaz es un haz. 4. Si tomamos en la categoŕıa ((G− sets)) la topoloǵıa definida en la sección anterior, los recubrimientos son epimorfismos efectivos estrictos y el prehaz Tors(−) verifica los dos primeros axiomas de la definición de haz. Además si: {Ui}i∈I es un recubrimiento de U . (Ei, αi) es un torsor sobre Ui para cada i ∈ I. gij : Ei|Ui∩Uj → Ej |Ui∩Uj son morfismos que verifican la condición de cociclo de la definición. Se puede definir sobre la union disjunta de los Ei la relación de igualdad dada por los gi,j y el conjunto cociente E es un torsor sobre X que restringe a torsores isomorfos a los Ei. Por tanto Tors(−) es un stack. 38 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks 5. Segunda definición de Stack 5.1. Categoŕıas fibradas. Descenso La teoŕıa de descenso de Grothendieck coloca en un marco adecuado la teoŕıa clásica aritmética de modo que su aplicación a la geometŕıa resulta natural. En el enfoque de Grothendieck la teoŕıa de descenso es esencialmente un puente local-global: Si tenemos una propiedad, objeto, o morfismo para todos los abiertos de un recubrimiento de X, ¿la tenemos para X?. En su lenguaje un recubrimiento se puede substituir por la unión disjunta de sus elementos y en consecuencia es un morfismo U → X. La restricción significa producto fibrado, o algebraicamente cambio de base, es decir si A → X es un objeto sobre X, U ×X A representa la restricción de A a los abiertos del recubrimiento U . Entonces la teoŕıa de descenso responde a las preguntas siguientes: (Descenso de propiedades) Si A → X es un objeto sobre X y U ×X A tiene una propiedad. ¿Cuándo tiene A esa propiedad?. (Descenso de morfismos) Si A → X y B → X son objetos sobre X y g : (U ×X A → U) → (U ×X B → U) es un morfismo. ¿Cuándo existe un mor- fismo f : (A → X) → (B → X) tal que g = 1U × f?. (Descenso de objetos) Si B → U es un objeto sobre U . ¿ Cuándo existe un objeto sobre X, A → X, tal que B = U ×X B?. Dado un funtor P : F → C, para cada objeto S de C llamamos fibra de P en S a la subcategoŕıa de F, F(S) cuyos objetos son los elementos de P−1(S) y para cada par de objetos A,B ∈ P−1(S), los morfismos de A en B son los f : A → B, P (f) = 1S . Las fibras de P son los objetos de una 2-subcategoŕıa de ((Cat)) a la que representaremos por ((Fib(P ))). Una categoŕıa fibrada sobre una categoŕıa B es un par (F, P ), formado por una cate- goŕıa F y un funtor covariante P : F → B tales que existe un un prehaz de categoŕıas, (−)∗, sobre B, que asigna a cada S la categoŕıa F(S). Es decir, una correspondencia que asocia a cada morfismo f : S → S′ un funtor: f∗ : F(S′) → F(S), a cada par de morfismos componibles f, g un isomorfismo de funtores εg,f : f∗g∗ → (gf)∗ que es asociativo, y a cada objeto S de B un isomorfismo natural δS : 1∗S → 1F(S), que es compatible con ε. Este prehaz se llama prehaz asociado a la categoŕıa fibrada, y se incorpora a su descripción. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 39 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 38 28/10/2014 11:38:55 a.m. 39 J.M. Aroca funtores S(−) (y en consecuencia todos los funtores contravariantes representables con valores en la categoŕıa de conjuntos) son haces. Si consideramos los funtores S(−) como funtores con valores en ((Cat)) como hicimos antes, sus imágenes son grupoides y por tanto cada funtor S(−) es un stack, de modo que para esta topoloǵıa tenemos una inmersión de la categoŕıa C en la categoŕıa de stacks sobre ella, que lleva cada objeto S al stack S(−). 2. Si tomamos como morfismos en cada conjunto S(−) los morfismos sobre S, tenemos también la estructura de prehaz que hemos señalado antes, pero no una estructura de haz, porque se verifican los dos primeros axiomas de la definición de haz, pero en general no se cumple el tercero. 3. Si tomamos el prehaz sobre la categoŕıa ((Top)) que asocia a cada espacio topológico X la categoŕıa ((Rec(X))) de sus espacios recubridores, y consideramos en ((Top)) la topoloǵıa definida por todos los recubrimientos abiertos, como los recubrimientos abiertos son epimorfismos universales efectivos se cumplen los dos primeros axiomas de la definición de haz, y también se cumple el tercero porque dados espacios recubri- dores de los abiertos de un recubrimiento de X que coinciden en las intersecciones, se pueden pegar para dar lugar a un espacio recubridor del espacio total. Observemos que la restricción a los abiertos de este espacio recubridor es isomorfa a los espacios recubridores de partida. Por tanto este prehaz es un haz. 4. Si tomamos en la categoŕıa ((G− sets)) la topoloǵıa definida en la sección anterior, los recubrimientos son epimorfismos efectivos estrictos y el prehaz Tors(−) verifica los dos primeros axiomas de la definición de haz. Además si: {Ui}i∈I es un recubrimiento de U . (Ei, αi) es un torsor sobre Ui para cada i ∈ I. gij : Ei|Ui∩Uj → Ej |Ui∩Uj son morfismos que verifican la condición de cociclo de la definición. Se puede definir sobre la union disjunta de los Ei la relación de igualdad dada por los gi,j y el conjunto cociente E es un torsor sobre X que restringe a torsores isomorfos a los Ei. Por tanto Tors(−) es un stack. 38 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks 5. Segunda definición de Stack 5.1. Categoŕıas fibradas. Descenso La teoŕıa de descenso de Grothendieck coloca en un marco adecuado la teoŕıa clásica aritmética de modo que su aplicación a la geometŕıa resulta natural. En el enfoque de Grothendieck la teoŕıa de descenso es esencialmente un puente local-global: Si tenemos una propiedad, objeto, o morfismo para todos los abiertos de un recubrimiento de X, ¿la tenemos para X?. En su lenguaje un recubrimiento se puede substituir por la unión disjunta de sus elementos y en consecuencia es un morfismo U → X. La restricción significa producto fibrado, o algebraicamente cambio de base, es decir si A → X es un objeto sobre X, U ×X A representa la restricción de A a los abiertos del recubrimiento U . Entonces la teoŕıa de descenso responde a las preguntas siguientes: (Descenso de propiedades) Si A → X es un objeto sobre X y U ×X A tiene una propiedad. ¿Cuándo tiene A esa propiedad?. (Descenso de morfismos) Si A → X y B → X son objetos sobre X y g : (U ×X A → U) → (U ×X B → U) es un morfismo. ¿Cuándo existe un mor- fismo f : (A → X) → (B → X) tal que g = 1U × f?. (Descenso de objetos) Si B → U es un objeto sobre U . ¿ Cuándo existe un objeto sobre X, A → X, tal que B = U ×X B?. Dado un funtor P : F → C, para cada objeto S de C llamamos fibra de P en S a la subcategoŕıa de F, F(S) cuyos objetos son los elementos de P−1(S) y para cada par de objetos A,B ∈ P−1(S), los morfismos de A en B son los f : A → B, P (f) = 1S . Las fibras de P son los objetos de una 2-subcategoŕıa de ((Cat)) a la que representaremos por ((Fib(P ))). Una categoŕıa fibrada sobre una categoŕıa B es un par (F, P ), formado por una cate- goŕıa F y un funtor covariante P : F → B tales que existe un un prehaz de categoŕıas, (−)∗, sobre B, que asigna a cada S la categoŕıa F(S). Es decir, una correspondencia que asocia a cada morfismo f : S → S′ un funtor: f∗ : F(S′) → F(S), a cada par de morfismos componibles f, g un isomorfismo de funtores εg,f : f∗g∗ → (gf)∗ que es asociativo, y a cada objeto S de B un isomorfismo natural δS : 1∗S → 1F(S), que es compatible con ε. Este prehaz se llama prehaz asociado a la categoŕıa fibrada, y se incorpora a su descripción. VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA 39 14132 Escuela Doctoral Intercontinental Matematicas TAREA.indd 39 28/10/2014 11:38:55 a.m. 40 J.M. Aroca Esencialmente categoŕıa fibrada y prehaz son conceptos equivalentes, la categoria fi- brada determina el prehaz, ya que aparece en su definicion, y para cada prehaz se puede construir una categoŕıa fibrada (Construcción de Grothendieck) que lo tiene como prehaz asociado. Si H : B → ((Cat)) es un prehaz, podemos construir una categoŕıa ∫ H por: Los objetos de ∫ H, son los pares (B,X) donde B ∈ Ob(B) y X ∈ Ob(H(B)). Los morfismos entre (B,X) y (B′, X ′), son los pares (f, α) donde: f ∈ HomB(B,B′), α ∈ HomH(B)(X,H(f)(X ′)) La composición de morfismos: (g, β)(f, α) = (gf,H(f)(β)α) Si π1 : ∫ H → B es la primera proyección, ( ∫ H,π1) es una categoŕıa fibrada, cuyo prehaz asociado es H. Si (F, P, (−)∗) es una categoŕıa fibrada sobre B, y f : B′ → B es un morfismo de B, podemos construir: B′′ = B′ ×B B′ B′ B′ B π1 π2 g f f , g = fπi = fπ2 y para cada par de objetos A,B ∈ F(B) tenemos un diagrama: HomF(B)(A,B) f∗ ��HomF(B′)(f ∗(A), f∗(B)) π∗ 1 �� π∗ 2 ��HomF(B′′)(g ∗(A), g∗(B)) Entonces decimos que f es un morfismo de descenso para (F, P, (−)∗) si el diagrama anterior es exacto, es decir si para cada morfismo α : f∗(A) → f∗(B) tal que π∗ 1(α) = π∗ 2(α) existe un único morfismo β : A → B, con f∗(β) = α. Ejemplo 14. Supongamos que B tiene coproductos y está dotada de una topoloǵıa. Sea X un objeto de B y C = {fi : Ui → X}i∈I un recubrimiento de X. Si llamamos U = ⨿ i ∈ IUi, veamos cuando el morfismo f : U → X inducido por el recubrimiento es un morfismo de descenso. 40 VI Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP - UVA Introducción a la teoŕıa de los Stacks Si A y B son objetos de F(X) y α es un morfismo de f∗(A) en f∗(B), las inmersiones de los Ui en U dan lugar a una serie de morfismos αi : A|Ui → B|Ui , la condición π∗ 1(α) = π∗ 2(α) significa que: αi|Ui,j = αj |Ui,j y la condición de descenso significa que: ∃ β : A → B, β|ui = αi, ∀i ∈ I. Es decir la condicion de morfismo de descenso significa que el morfismo verifica la propiedad de descenso para morfismos. Un dato de pegado para un objetoA′ de F(B′) respecto de α : B′ → B es un isomorfismo τ : π∗ 1(A ′) ≃ π∗ 2(A ′). El dato de pegado se llama efectivo si existen un objeto A en F(B) y un isomorfismo φ : f∗(A) ≃ A′, tales que el siguiente diagrama es conmutativo π∗ 1(f ∗(A)) π∗ 2(f ∗(A)) π∗ 1(A ′) π∗ 2(B ′) µ π∗ 1(φ) π∗ 2(φ) τ , µ = [π∗ 1(f ∗(A)) ≃ (fπ1) ∗(A) = (fπ2) ∗(A) ≃ π∗ 2(f ∗(A))] El dato de pegado se llama dato de descenso si verifica que: π∗ 2,3(τ)π ∗ 1,2(τ) = π∗ 1,3(τ) donde los πi,j son los tres morfismos naturales B′ ×B B′ ×B B′−→⇒B′ ×B B′ Ejemplo 15. En la situación del ejemplo anterior, el objeto A′ es una familia de objetos {Ei}i∈I de las F(Ui) y: 1. Un dato de pegado es una familia de isomorfismos en F(Ui,j); {fi,j : Ei|Ui,j → Ej |Ui,j}i,j∈I . 2. Un dato de descenso es un dato de pegado {fi,j : Ei|Ui,j → Ej |Ui,j}i,j∈I , que verifica la condición de cociclo: fi,j |Ui,j,k = fi,k|Ui,j,k fk,j |Ui,j,k , ∀i, j, k ∈ I. VI Escuela Doctoral Intercontinental de